7.1. Das Tangentenproblem

In diesem Abschnitt versuchen wir an eine gegebene Funktion  f eine Tangente anzulegen. Dabei gehen wir von der intuitiven Idee aus, eine Tangente ist eine Gerade, die den Funktionsgraphen an einem fest vorgebenen Punkt (a, f(a)) trifft und sich dort optimal anschmiegt.

Unter den unendlich vielen linearen Funktionen, Funktionen des Typs $mX+b$ also, die durch (a, f(a)) gehen, suchen wir diejenige, die die "richtige" Steigung m besitzt. Bei der Funktion   $f≔\frac{1}{4}{X}^2$  etwa erwarten wir für $a=2$ das folgende Bild:

Zwar läßt sich anhand der Skizze vermuten, dass die Steigungszahl m den Wert 1 haben muss, die Frage aber bleibt, wie man dies auch rechnerisch bestätigen kann. Eigentlich sind Geradensteigungen nicht problematisch: Hat man zwei verschiedene Geradenpunkte, so erhält man m als die Verhältniszahl
 

Bei unserer Tangente steht uns jedoch nur ein gesicherter Punkt zur Verfügung, nämlich (2, f(2)), so dass die Steigungszahl nicht elementar errechnet werden kann.

Da aber für die Neigung der Tangente letztlich die Gestalt von  f verantwortlich sein muss, versuchen wir unser Ziel auf folgendem Umweg zu erreichen: Wir betrachten zunächst die durch den Punkt (2, f(2)) gehenden Sekanten von  f, Geraden also, die durch (2, f(2)) und einen weiteren Graphenpunkt (x, f(x)) gehen.

Für diese Sekanten lassen sich die Steigungszahlen ${\displaystyle m_2(x)}$ jetzt leicht ermitteln, denn ist ${\displaystyle x\ne 2}$, so ist der Höhenzuwachs die Differenz der Funktionswerte -  $f(x)-f(2)$ - und der Längezuwachs die Differenz der x-Werte, also:

Mit dem folgenden Applet verschaffen wir uns einen Überblick über die verschiedenen Sekantenlagen und Sekantensteigungen.

Dieser Darstellung entnehmen wir zwei Informationen: Je näher der zweite Punkt bei dem ersten liegt, also: je näher x bei 2 liegt, um so weniger unterscheiden sich

• Sekante und Tangente
   
• ${\displaystyle m_2(x)}$ und die Zahl 1.
   

Wir dürfen also folgendermaßen argumentieren: Konvergiert x gegen 2, so laufen die Sekantensteigungen ${\displaystyle m_2(x)}$ gegen die Tangentensteigung 1. Die rechnerische Herleitung der Tangentensteigung haben wir also gefunden, wenn wir den Grenzwert ${\displaystyle \underset{x\to 2}{\lim }{m}_2(x)}$ ermitteln können. Nun ist aber nach [7.1.1] die Funktion ${\displaystyle m_2}$ in 2 stetig fortsetzbar und besitzt dort den folgenden Limes:
 

${\displaystyle \underset{x\to 2}{\lim }{m}_2(x)=\frac{1}{4}(2+2)=1}$.

[7.1.2]

Mit diesem Ergebnis können wir nun die Tangente selbst, genauer die Tangentenfunktion  ${\displaystyle t_2}$, ermitteln: Mit $m=1$ erhalten wir zunächst ${\displaystyle t_2=X+b}$ und die Bedingung ${\displaystyle t_2(2)=f(2)\iff 2+b=1}$ liefert $b=-1$ . Also ist
 

7.2.