7.2. Differenzenquotientenfunktionen

Wir setzen nun die im einführenden Beispiel gewählte Strategie in ein allgemeines Verfahren um. Dabei war die Kenntnis der Sekantensteigungen von zentraler Bedeutung. In einem ersten Schritt werden wir daher jeder Funktion  f, bei Auswahl eines festen Punktes a, einen Überblick über alle Sekantensteigungen zuweisen.

Beachte:

• ${\displaystyle m_a:A\backslash \{a\}\to ℝ}$  und  ${\displaystyle m_a(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$ .
  Gemäß Konstruktion gehört der vorgewählte Punkt a nicht zum Definitionsbereich einer Differenzquotientenfunktion.
   
• Gelegentlich schreiben wir ${\displaystyle m_{f,a}}$ statt  ${\displaystyle m_a}$ um die Zugehörigkeit zu  f deutlicher hervor zu heben.
   

• Die Funktionswerte der Differenzenquotientenfunktion sind die Sekantensteigungszahlen.

  Oft sieht man in dem Wert ${\displaystyle m_a(x)}$ aber auch ein Maß für das Änderungsverhalten der Funktion und nennt ihn dann die Änderungsrate (auch: mittlere Änderungsrate) von  f zwischen a und x.

• Spezielle Notationen werden in der Physik benutzt: Bei der Bewegung eines Punktes etwa bezeichnet man den in t Zeiteinheiten zurückgelegten Weg mit ${\displaystyle s(t)}$. Die zur Funktion ${\displaystyle t\mapsto s(t)}$ gehörenden Änderungsraten ${\displaystyle \frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}}$, also die Quotienten

  ${\displaystyle \frac{\text{zurückgelegter Weg}}{\text{verbrauchte Zeit}}}$,

  notiert man meist in der Form ${\displaystyle \mathrm{\Delta }v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}}$

  i

  Die Wahl des Buchstabens v erklärt sich aus dem Wort velocitas, lateinisch für Geschwindigkeit (engl. velocity).

  . Man spricht dann von der mittleren Geschwindigkeit (auch: Durchschnittsgeschwindigkeit) des Punktes zwischen den Zeitpunkten ${\displaystyle t_1}$ und ${\displaystyle t_2}$, bzw. zwischen den Wegpunkten ${\displaystyle s(t_1)}$ und ${\displaystyle s(t_2)}$.
   

Im folgenden Beispiel notieren wir Differenzenquotientenfunktionen zu einigen Standardfunktionen. Die über die bloße Aufstellung hinaus gehenden Umformungen benötigen wir erst im nächsten Abschnitt.

Beispiel:  Wir berechnen die Differenzenquotientenfunktion bzgl. a zu einer linearen Funktion  $mX+b$  für ein beliebiges a:   ${\displaystyle m_a=\frac{mX+b-(ma+b)}{X-a}=\frac{m(X-a)}{X-a}=m\frac{X-a}{X-a}}$ . [7.2.2]   zur Potenzfunktion  $X^n$  für beliebiges a und $n\in \mathbb{N}$ :   ${\displaystyle \begin{array}{ll}{m}_a\hfill & =\frac{X^n-a^n}{X-a}\hfill \\ \hfill & \underset{(\ast )}{=}\frac{(X-a)(X^{n-1}+a{X}^{n-2}+\cdots +a^{n-2}X+a^{n-1})}{X-a}\hfill \\ \hfill & =\frac{(X-a)\sum _{i=0}^{n-1}{a}^i{X}^{n-i-1}}{X-a}\text{ .}\hfill \end{array}}$ [7.2.3] Die Gleichheit (*) zeigen wir in einem Induktionsbeweis.   zur Kehrwertfunktion  ${\displaystyle \frac{1}{X}}$ für $a\ne 0$ :   ${\displaystyle m_a=\frac{\frac{1}{X}-\frac{1}{a}}{X-a}=\frac{a-X}{aX(X-a)}=-\frac{X-a}{aX(X-a)}}$ . [7.2.4]   zur Wurzelfunktion  $\sqrt{X}$ für $a\ge 0$ :   ${\displaystyle m_a=\frac{\sqrt{X}-\sqrt{a}}{X-a}=\frac{X-a}{(\sqrt{X}+\sqrt{a})(X-a)}}$ . [7.2.5]   zur Betragsfunktion  $|X|$  für $a=0$ :   ${\displaystyle m_0=\frac{|X|-|0|}{X-0}=\frac{|X|}{X}}$ . [7.2.6]

Es lohnt sich immer zu überprüfen, ob neu eingeführte Begriffe mit den Grundrechenarten verträglich sind, denn oft ergeben sich daraus leistungsfähige Rechentechniken. Die folgende Bemerkung belegt, dass die Zuweisung  ${\displaystyle f\mapsto m_{f,a}}$  die vier Grundrechenarten respektiert.

Bemerkung:  Es sei  $A,B\subset ℝ$ und $a\in A\cap B$. Dann gilt für  $f:A\to ℝ$ und $g:B\to ℝ$ :   1.${\displaystyle m_{f+g,a}=m_{f,a}+m_{g,a}}$ [7.2.7] 2.${\displaystyle m_{f-g,a}=m_{f,a}-m_{g,a}}$ [7.2.8] 3.${\displaystyle m_{f\cdot g,a}=m_{f,a}\cdot g+f(a)\cdot m_{g,a}}$ [7.2.9] 4.${\displaystyle m_{\frac{f}{g},a}=\frac{m_{f,a}\cdot g-f\cdot m_{g,a}}{g(a)\cdot g}}$ [7.2.10] Beweis:   1. ►  ${\displaystyle m_{f+g,a}=\frac{(f+g)-(f+g)(a)}{X-a}=\frac{f-f(a)}{X-a}+\frac{g-g(a)}{X-a}=m_{f,a}+m_{g,a}}$ . 2. ►  Die Rechnung verläuft genauso wie in 1. 3. ►  Hier kommen wir mit dem Standardtrick "Addition der Null", hier $0=-f(a)g+f(a)g$, zum Ziel:   ${\displaystyle \begin{array}{ll}{m}_{f\cdot g,a}\hfill & =\frac{fg-fg(a)}{X-a}\hfill \\ \hfill & =\frac{fg-f(a)g+f(a)g-f(a)g(a)}{X-a}\hfill \\ \hfill & =\frac{(f-f(a))g}{X-a}+\frac{f(a)(g-g(a))}{X-a}\hfill \\ \hfill & =m_{f,a}\cdot g+f(a)\cdot m_{g,a}\text{ .}\hfill \end{array}}$ 4. ►  Auch jetzt addieren wir die Null, und zwar in der Form $0=fg-fg$.   ${\displaystyle \begin{array}{ll}{m}_{\frac{f}{g},a}\hfill & =\frac{\frac{f}{g}-\frac{f}{g}(a)}{X-a}\hfill \\ \hfill & =\frac{g(a)f-f(a)g}{(X-a)g(a)g}\hfill \\ \hfill & =\frac{fg-f(a)g-fg+g(a)f}{(X-a)g(a)g}\hfill \\ \hfill & =\frac{\frac{(f-f(a))\cdot g}{X-a}-\frac{f\cdot (g-g(a))}{X-a}}{g(a)g}\hfill \\ \hfill & =\frac{m_{f,a}\cdot g-f\cdot m_{g,a}}{g(a)\cdot g}\text{ .}\hfill \end{array}}$

7.1.

7.3.