7.3. Differenzierbare Funktionen

Auch in diesem Abschnitt orientieren wir uns an dem in 7.1. gewonnenen Ergebnis. Mit den Differenzenquotientenfunktionen haben wir für das Spektrum der Sekantensteigungen eine passende mathematische Beschreibung gefunden. Hier nun werden wir, mit [7.1.2] als Vorgabe, die Tangentensteigung selbst definieren.

Definition:  Es sei $a\in A$ ein Häufungspunkt von $A\subset ℝ$.   Eine Funktion  $f:A\to ℝ$ heißt differenzierbar in a, falls die Differenzenquotientenfunktion  ${\displaystyle m_a}$ in a stetig fortsetzbar ist. In diesem Fall nennen wir die reelle Zahl ${\displaystyle f^{\prime }(a)≔\underset{x\to a}{\lim }{m}_a(x)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$ [7.3.1] die Ableitung (genauer: die Ableitungszahl) von  f in a.

Beachte:

• Als Grenzwert der Sekantensteigungen interpretieren wir  $f^{\prime }(a)$ als die Steigung der Tangente an  f im Punkt (a, f(a)).

• Da a ein Häufungspunkt von A - und damit auch von $A\backslash \left\{a\right\}$ - ist, besitzt  ${\displaystyle m_a}$ höchstens eine stetige Fortsetzung in a. Ihr Limes in a, d.h. die Zahl  $f^{\prime }(a)$ ist daher eindeutig bestimmt.

• Das Symbol  ${\displaystyle f^{\prime }(a)}$ geht auf Cauchy zurück und ist heute weit verbreitet. Gebräuchlich ist aber auch die von Leibniz eingeführte Schreibweise ${\displaystyle \frac{df}{dx}(a)}$ oder auch ${\displaystyle \frac{d}{dx}f(a)}$ für die Ableitungszahl. Sie entstammt der Vorstellung, dass im Grenzprozess der Quotient der Differenzen ${\displaystyle \mathrm{\Delta }f=f(x)-f(a)}$ und ${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=x-a}$ in den mystischen

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  Man beachte, dass Leibniz (1646 - 1716) noch nicht über einen präzisen Grenzwertbegriff verfügen konnte. Erst Cauchy (1789 - 1857) selbst entwickelte hier ein mathematisch befriedigendes Konzept.

  Quotienten der Differentiale  df und dx übergeht. ${\displaystyle \frac{df}{dx}}$ lesen wir als "df nach dx" um, zumindest sprachlich, die Verwechselung mit einem wirklichen Quotienten auszuschließen.

• Auch hier hat die Physik eine eigene Notation: Für Funktionen, die die Zeit als Argument verwenden, also etwa Funktionen des Typs ${\displaystyle t\mapsto s(t)}$ (vgl. dazu die Anmerkung in [7.2]) bezeichnet man die Ableitungszahl mit einem Punktsymbol

  ${\displaystyle \dot{s}(t_0)=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}}$

  und nennt sie die Momentangeschwindigkeit (auch: lokale Geschwindigkeit) zum Zeitpunkt ${\displaystyle t_0}$. In der Regel schreibt man dann:  ${\displaystyle v(t_0)=\dot{s}(t_0)}$.

  Aus diesem Sprachfeld stammt auch die Bezeichnung "momentane Änderungsrate der Funktion  f im Punkt a" für die Ableitungszahl  ${\displaystyle f^{\prime }(a)}$.

  
   

Beispiel:   Jede lineare Funktion  $mX+b$  ist in jedem $a\in ℝ$ differenzierbar und   ►   $(mX+b{)}^{\prime }(a)=m$ [7.3.2] denn nach [7.2.2] ist  ${\displaystyle m_a}$ in a stetig fortsetzbar durch die konstante Funktion m auf $ℝ$. Damit ergibt sich nun:   $(mX+b{)}^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }{m}_a(x)=m(a)=m$.   Für $n\in \mathbb{N}$ ist die Potenzfunktion  $X^n$  in jedem $a\in ℝ$ differenzierbar und   ►   $(X^n{)}^{\prime }(a)=n{a}^{n-1}$ [7.3.3] denn nach [7.2.3] ist  ${\displaystyle m_a}$ in a stetig fortsetzbar durch ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{a}^i{X}^{n-i-1}}$. Für die Ableitungszahl bedeutet dies:   ${\displaystyle (X^n{)}^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }{m}_a(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{a}^i{X}^{n-i-1}(a)=\sum _{i=0}^{n-1}{a}^i{a}^{n-i-1}=n{a}^{n-1}}$.   Die Kehrwertfunktion  ${\displaystyle \frac{1}{X}}$ ist in jedem $a\ne 0$ differenzierbar und   ►   ${\displaystyle (\frac{1}{X}{)}^{\prime }(a)=-\frac{1}{a^2}}$ [7.3.4] denn gemäß [7.2.4] ist ${\displaystyle -\frac{1}{aX}}$ die stetige Fortsetzung von  ${\displaystyle m_a}$ in a. Also berechnet sich die Ableitungszahl zu   ${\displaystyle (\frac{1}{X}{)}^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }{m}_a(x)=-\frac{1}{aX}(a)=-\frac{1}{a^2}}$ .   Die Wurzelfunktion  $\sqrt{X}$ ist in jedem $a>0$ differenzierbar und   ►   ${\displaystyle {\sqrt{X}}^{\prime }(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}}$ [7.3.5] denn nach [7.2.5] wird  ${\displaystyle m_a}$ in a stetig fortgesetzt durch ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{X}+\sqrt{a}}}$ , also ist   ${\displaystyle {\sqrt{X}}^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }{m}_a(x)=\frac{1}{\sqrt{X}+\sqrt{a}}(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}}$ .   Die Wurzelfunktion  $\sqrt{X}$ ist nicht differenzierbar in 0. Ihre Differenzenquotientenfunktion ${\displaystyle m_0=\frac{1}{\sqrt{X}}}$ ist in 0 nicht stetig fortsetzbar, denn so ist z.B. ${\displaystyle (\frac{1}{n^2})}$ eine Nullfolge in ${ℝ}^{>0}$, ihre Bildfolge ${\displaystyle (m_0(\frac{1}{n^2}))=(n)}$ aber ist divergent.   Die Betragsfunktion  $|X|$  ist in 0 nicht differenzierbar:  ${\displaystyle \frac{|X|}{X}}$ (siehe [7.2.6]) läßt keine stetige Fortsetzung in 0 zu. Dazu betrachte man die Nullfolge ${\displaystyle (\frac{{(-1)}^n}{n})}$ in ${ℝ}^{\ne 0}$; ihre Bildfolge $({(-1)}^n)$ ist divergent.

Beachte:

• Nach Beispiel [7.3.2] sind insbesondere die konstanten Funktionen c und die Identität X überall differenzierbar. Sie besitzen die folgenden Ableitungszahlen:
   

  ${\displaystyle \begin{array}{c}{c}^{\prime }(a)=0\\ X^{\prime }(a)=1\text{.}\end{array}}$

  [7.3.6]

  
   

Am Beginn unserer Überlegungen stand die Suche nach Tangenten. Das Hauptproblem, das Finden der richtigen Steigung, ist mit den Ableitungszahlen gelöst worden. Wir können also nun Tangenten errechnen.

Definition:   Ist   $f:A\to ℝ$ in $a\in A$ differenzierbar, so heißt die Funktion   ${\displaystyle t_a≔f(a)+(X-a)f^{\prime }(a)}$ [7.3.7]   die zu  f gehörige Tangentenfunktion bzgl. a.

Beachte:

• Gelegentlich schreiben wir  ${\displaystyle t_{f,a}}$ statt  ${\displaystyle t_a}$ um deutlicher auf die Zugehörigkeit zu  f hinzuweisen.

• ${\displaystyle t_a}$ ist eine lineare Funktion, die den Graphen von  f im Punkt (a, f(a)) trifft, denn ${\displaystyle t_a(a)=f(a)}$, und $f^{\prime }(a)$ als Steigungszahl hat.

• Unabhängig von A ist der Definitionsbereich der Tangentenfunktionen immer ganz $ℝ$.

Ergänzend zur Tangente interessiert man sich oft für die sog. Normale, d.h. für die durch (a, f(a)) gehende Senkrechte zur Tangenten. Eine nicht senkrechte Normale können wir durch eine lineare Funktion beschreiben:

Beachte:

• Für die Normalenfunktion benutzen wir, wenn nötig, auch die erweiterte Notation ${\displaystyle n_{f,a}}$.

• Da ${\displaystyle n_a(a)=f(a)}$ geht ${\displaystyle n_a}$ tatsächlich durch (a, f(a)). Ihre Steigung ist der Kehrwert der Steigung von ${\displaystyle t_a}$ mit vertauschtem Vorzeichen. ${\displaystyle n_a}$ steht daher senkrecht

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  Ist g eine Gerade mit einer von Null verschiedenen Steigungszahl ${\displaystyle m=\frac{h}{l}\ne 0}$, so besitzt die durch Drehung um 90° entstehende zu g senkrechte Gerade ${\displaystyle g^{\perp }}$ die Steigung ${\displaystyle \frac{l}{-h}=-\frac{1}{m}}$

  auf ${\displaystyle t_a}$.

• Unabhängig von A ist der Definitionsbereich der Normalenfunktion immer ganz ${\displaystyle ℝ}$.

Als Beispiel berechnen wir die Tangenten- und die Normalenfunktion zur Kubikfunktion ${\displaystyle {\mathrm{X}}^3}$ bzgl. 1. Mit ${\displaystyle {\mathrm{X}}^3(1)=1}$ und ${\displaystyle ({\mathrm{X}}^3{)}^{\prime }(1)=3\cdot 1^2=3}$ erhält man ${\displaystyle \begin{array}{l}{t}_1=1+(\mathrm{X}-1)\cdot 3=3\mathrm{X}-2\\ n_1=1-(\mathrm{X}-1)\cdot \frac{1}{3}=-\frac{1}{3}\mathrm{X}+\frac{4}{3}\end{array}}$

Gelegentlich ist es von Vorteil, die Tangente als eine Gerade in vektorieller Schreibweise zu notieren. Dazu benötigt man nur einen Geradenpunkt, hier bietet sich natürlich (a, f(a)) an, sowie einen Richtungsvektor. Dazu beachte man, dass bei einem Längenzuwachs von 1 der Wert  ${\displaystyle f^{\prime }(a)}$ den entsprechenden Höhenzuwachs angibt. Also hat man:

Ferner steht der Vektor  ${\displaystyle \mathrm{\left(}\begin{array}{c}{f}^{\prime }(a)\\ -1\end{array}\mathrm{\right)}}$  senkrecht auf  ${\displaystyle \mathrm{\left(}\begin{array}{c}1\\ f^{\prime }(a)\end{array}\mathrm{\right)}}$  so dass die Normale in der Form

notiert werden kann. Die Darstellung [7.3.10] hat zudem den Vorteil, dass mit ihr auch eine senkrechte Normale beschrieben werden kann. Im nicht senkrechten Fall beachte man aber, dass die Vektoren ${\displaystyle \mathrm{\left(}\begin{array}{c}{f}^{\prime }(a)\\ -1\end{array}\mathrm{\right)}}$  und  ${\displaystyle \mathrm{\left(}\begin{array}{c}1\\ -\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$f^{\prime }(a)$}\right.\end{array}\mathrm{\right)}}$ dieselbe Richtung repräsentieren.

Als Beispiel betrachten wir noch einmal ${\displaystyle {\mathrm{X}}^3}$ im Punkt 1. ${\displaystyle {\mathrm{X}}^3}$ besitzt hier die Tangente ${\displaystyle \mathrm{\left(}\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+<\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\mathrm{\right)}>}$ und die Normale ${\displaystyle \mathrm{\left(}\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+<\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\mathrm{\right)}>}$.

7.2.

7.4.