7.4. Lokale Aspekte

Analog zur Stetigkeit erweist sich auch die Differenzierbarkeit in a als eine lokale Eigenschaft. Sie ist also u.a. einschränkungstreu:

Bemerkung: Sei

a \in A \subset B

ein Häufungspunkt von A (und damit auch von B) und

f : B \to ℝ

. Ist f in a differenzierbar, so ist auch

f | A

differenzierbar in a mit derselben Ableitung:

(f | A)^{'} (a) = f^{'} (a)

[7.4.1]

Die Umkehrung ist auch hier i.a. falsch: Nach einem Beispiel in 7.3 ist die Betragsfunktion $| X |$ in 0 nicht differenzierbar, ihre Einschränkung $| X | | ℝ^{\geq 0} = X | ℝ^{\geq 0}$ dagegen schon.

Beweis: Die Behauptung folgt direkt aus [6.9.1], denn die Differenzenquotientenfunktion zu $f | A$ ist eine Einschränkung der Differenzenquotientenfunktion zu f:

m_{f | A, a} = m_{f, a} | A \ {a}

So hat man z.B. für jede Teilmenge A von $ℝ$ mit $a \in A$ als Häufungspunkt:

(c | A)^{'} (a) = 0

und

(X | A)^{'} (a) = 1

Der lokale Charakter der Differenzierbarkeit zeigt sich auch im Verhalten lokal identischer Funktionen.

Bemerkung:

a \in A \cap B

sei ein Häufungspunkt von

A \cap B

. Sind

f : A \to ℝ

und

g : B \to ℝ

in a lokal identisch

, so gilt:

f ist differenzierbar in a

\Leftrightarrow

g ist differenzierbar in a.

[7.4.2]

Im Differenzierbarkeitsfall hat man zusätzlich:

f^{'} (a) = g^{'} (a)

Beweis:
Mit f und g sind auch die Differenzenquotientenfunktionen $m_{f, a}$ und $m_{g, a}$ in a lokal identisch. Nach [6.9.2] ist $m_{f, a}$ genau dann in a stetig fortsetzbar, wenn dies auf $m_{g, a}$ zutrifft. In diesem Fall haben darüber hinaus beide Differenzenquotientenfunktionen denselben Grenzwert.

Beachte:

Da f und $f | A_{a, ε}$ in a immer lokal identisch sind, gestattet es [7.4.2], Untersuchungen zur Differenzierbarkeit nur lokal zu führen:

f ist differenzierbar in a $\Leftrightarrow f | A_{a, ε}$ ist differenzierbar in a für ein $ε > 0$

Existieren die Ableitungszahlen, sind sie identisch: $f^{'} (a) = (f | A_{a, ε})^{'} (a)$ .

[7.4.2] ist insbesondere ein elegantes Werkzeug bei der Untersuchung abschnittsweise definierter Funktionen. Wir zeigen dies im folgenden Beispiel für die Betragsfunktion.

Beispiel: Die Betragsfunktion ist in jedem $a \neq 0$ differenzierbar. Dabei gilt für die Ableitungszahl

${| X |}^{'} (a) = \frac{| a |}{a} = {\begin{array}{r} 1, falls a > 0 \\ - 1, falls a < 0 \end{array}$
[7.4.3]

Beweis:
Für $a > 0$ ist $| X |$ lokal identisch mit X, besitzt also hier die Ableitungszahl 1.
Für $a < 0$ ist $| X |$ lokal identisch mit −X, besitzt also hier die Ableitungszahl −1.

Nach dem oben erwähnten Beispiel aus 7.3 ist die Betragsfunktion in 0 nicht differenzierbar. [7.4.3] belegt also, dass sie in nur einem einzigen Punkt nicht differenzierbar ist.
Das folgende Beispiel dagegen stellt eine Funktion vor, die in ausschließlich einem Punkt differenzierbar ist. Beide Beispiele zeigen, dass das Differenzierbarkeitsverhalten in einem Punkt keinen Einfluss auf das Verhalten in den Nachbarpunkten hat.

Beispiel: Die Funktion $f ≔ X^{2} \cdot χ_{ℚ}$ , also

f (x) = {\begin{array}{l} x^{2}, falls x \in ℚ \\ 0, falls x \notin ℚ \end{array}

[7.4.4]

ist in 0 differenzierbar. In jedem $a \neq 0$ ist sie nicht differenzierbar.

Beweis:

Für alle $x \neq 0$ hat man die Abschätzung

$0 \leq | \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} - 0 | = | \frac{f (x)}{x} | \leq | x |$

Nach [6.9.10]/[6.9.11] ist f damit in 0 differenzierbar und $f^{'} (0) = 0$ .
Wäre f in einem $a \neq 0$ differenzierbar, so wäre sie dort auch stetig (siehe [7.5.2]) und damit auch die Funktion $\frac{f}{X}$ , im Widerspruch zu [6.2.15].

Zu den lokalen Aspekten gehört auch die Frage nach der Verklebbarkeit (siehe [6.8.7]), hier der differenzierbaren Verklebbarkeit, zweier Funktionen. Die folgende Bemerkung zeigt, dass zwei Funktionen differenzierbar verklebt werden können sobald ihre Funktions- und Ableitungswerte in a identisch sind.

Bemerkung: $f : A \to ℝ$ und $g : B \to ℝ$ seien zwei Funktionen mit $f | A \cap B = g | A \cap B$ , $a \in A \cap B$ ein Häufungspunkt sowohl von A wie auch auch von B. Dann gilt:

	$f \cup g$ ist differenzierbar in a
$\Leftrightarrow$	f und g sind in a differenzierbar mit $f^{'} (a) = g^{'} (a)$

[7.4.5]

Beweis: " $\Rightarrow$ " folgt mit [7.4.1] direkt aus den Gleichheiten $f = f \cup g | A$ und $g = f \cup g | B$ .

" $\Leftarrow$ ": Gemäß Voraussetzung ist für alle $x \in A \cap B, x \neq a$

\frac{f (x) - f (a)}{x - a} = \frac{g (x) - g (a)}{x - a}

Man hat also $m_{f, a} | A \cap B = m_{g, a} | A \cap B$ , und da $\lim_{x \to a} m_{f, a} (x) = f^{'} (a) = g^{'} (a) = \lim_{x \to a} m_{g, a} (x)$ folgt mit [6.8.9]:

m_{f \cup g, a} = m_{f, a} \cup m_{g, a}

ist in a stetig fortsetzbar. Also ist $f \cup g$ in a differenzierbar mit $f^{'} (a) = g^{'} (a)$ als Ableitungszahl.

7.3. 7.5.