7.7. Die Ableitung

Bei unseren Untersuchungen zur Differenzierbarkeit haben wir uns bisher stets auf einen festen Punkt a konzentriert. Dabei zeigen bereits die meisten Beispielfunktionen, dass Funktionen oft in vielen, ja sogar in allen Punkten ihres Definitionsbereichs differenzierbar sein können.

In diesem Abschnitt stellen wir nun diesen Gesichtspunkt in den Vordergrund, d.h. wir gehen von der lokalen zur globalen Sichtweise über.

Beachte:

• Eine Funktion  ${\displaystyle f:B\to ℝ}$ kann höchstens dann in einem ${\displaystyle x\in A}$ differenzierbar sein, wenn x ein Häufungspunkt

  i

  d.h. es gibt eine Folge ${\displaystyle (a_n)}$ in B so dass ${\displaystyle x\ne a_n\to x}$.

  von B ist. Wir betrachten daher im Folgenden nur solche Mengen A, bei denen alle Elemente Häufungspunkte von A (und damit auch von B) sind.
   

• Wir berücksichtigen wieder die spezielle Notation in der Physik (vgl. [7.3]) und schreiben bei differenzierbaren Funktionen der Form ${\displaystyle t\mapsto s(t)}$ meist ${\displaystyle \dot{s}}$ statt ${\displaystyle s^{\prime }}$.

  
   

Die bisherigen Beispiele aus 7.3, 7.4, 7.5 und 7.6 lassen sich in neuen Sprache nun folgendermaßen darstellen:

• ${\displaystyle c,\mathrm{X},m\mathrm{X}+b,{\mathrm{X}}^n,\exp ,\sin ,\cos \in {\mathcal{D}}^1(ℝ)}$ und

  ${\displaystyle c^{\prime }=0}$

  ${\displaystyle {\mathrm{X}}^{\prime }=1}$

  ${\displaystyle (m\mathrm{X}+b{)}^{\prime }=m}$

  ${\displaystyle ({\mathrm{X}}^n{)}^{\prime }=n{\mathrm{X}}^{n-1}}$

  ${\displaystyle {\exp }^{\prime }=\exp }$

  ${\displaystyle {\sin }^{\prime }=\cos }$

  ${\displaystyle {\cos }^{\prime }=-\sin }$

• ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{X}}\in {\mathcal{D}}^1({ℝ}^{\ne 0})}$ und  ${\displaystyle (\frac{1}{\mathrm{X}}{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\mathrm{X}}^2}}$

• ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{X}}\in {\mathcal{D}}^1({ℝ}^{>0})}$ und  ${\displaystyle {\sqrt{\mathrm{X}}}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{X}}}}$.  Beachte aber:  ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{X}}\notin {\mathcal{D}}^1({ℝ}^{\ge 0})}$

• ${\displaystyle |\mathrm{X}|\in {\mathcal{D}}^1({ℝ}^{\ne 0})}$ und  ${\displaystyle |\mathrm{X}{|}^{\prime }=\frac{|\mathrm{X}|}{\mathrm{X}}}$.  Beachte aber:  ${\displaystyle |\mathrm{X}|\notin {\mathcal{D}}^1(ℝ)}$

• ${\displaystyle \tan \in {\mathcal{D}}^1(\{x\in ℝ|x\ne (2k-1)\frac{\pi }{2}\})}$ und  ${\displaystyle {\tan }^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^2}}$

• ${\displaystyle \cot \in {\mathcal{D}}^1(\{x\in ℝ|x\ne k\pi \})}$ und  ${\displaystyle {\cot }^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^2}}$

• Die Grenzfunktion  ${\displaystyle f=\sum _{i=0}^{\infty }{a}_i{(\mathrm{X}-a)}^i}$ einer konvergenten Potenzreihe ist differenzierbar mit

  ${\displaystyle f^{\prime }=\sum _{i=1}^{\infty }{a}_{i}i{(\mathrm{X}-a)}^{i-1}}$

Nicht nur die alten Beispiele lassen sich in die neue Situation übertragen, sondern auch viele Eigenschaften. So läßt sich etwa der in [7.5.2] dargestellte Zusammenhang folgendermaßen notieren:

Das Beispiel der Betragsfunktion zeigt dabei, dass diese Inklusion i.a. keine Gleichheit ist.

Differenzierbare Funktionen müssen stetig sein. In diesem Zusammenhang ist es interessant zu wissen, dass dies für die Ableitungsfunktion nicht gelten muss (dazu gibt es ein Beispiel in Kapitel 8). Die folgende Definition verschärft daher den Differenzierbarkeitsbegriff.

Natürlich können auch die lokal formulierten Ableitungsregeln [7.6.1-4] und [7.6.11] der neuen Schreibweise angepasst werden. In dieser Form sind sie überdies auch "lesefreundlicher".

Die verschiedenen Spezialfälle des letzten Abschnitts können natürlich auch global formuliert werden. Unter den Voraussetzungen der vorstehenden Bemerkung notieren wir also:

Ähnlich wie ${\displaystyle {\mathcal{C}}^0(A)}$ in [6.3] lassen sich auch die Mengen ${\displaystyle {\mathcal{D}}^1(A)}$ und ${\displaystyle {\mathcal{C}}^1(A)}$ algebraisieren, denn mit ${\displaystyle 0|A\mathrm{,1}|A\in {\mathcal{C}}^1(A)}$ ergibt sich aus [7.7.4-6]:

• ${\displaystyle ({\mathcal{D}}^1(A),+)}$ und ${\displaystyle ({\mathcal{C}}^1(A),+)}$ sind ablesche Gruppen

  i

  Die Addition + ist assoziativ und kommutativ. 0 ist das neutrale Element, d.h.  ${\displaystyle f+\mathbf{0}=f}$  für alle  f. Jedes f besitzt genau ein inverses Element, hier ${\displaystyle -f}$, so dass  ${\displaystyle f+(-f)=\mathbf{0}}$ ist.

  .
• ${\displaystyle ({\mathcal{D}}^1(A),+,\cdot )}$ und ${\displaystyle ({\mathcal{C}}^1(A),+,\cdot )}$ sind kommutative Ringe mit Einselement

  i

  Es gelten die Axiome einer abelschen Gruppe. Die Multiplikation · ist assoziativ und kommutativ. · ist distributiv bzgl. +. 1 ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. ${\displaystyle \mathbf{1}·f=f}$ für alle f.

  .

7.6.

7.8.