7.9. Der Mittelwertsatz

Wir beginnen diesen Abschnitt mit der Einführung sog. Extremstellen. Sie sind die Grundlage zahlreicher Anwendungen der Differentialrechnung von denen wir einige in 7.11 vorstellen werden.

Den Hauptteil nehmen allerdings der Mittelwertsatz und seine Folgerungen ein. Obwohl dieser Satz anschaulich leicht einzusehen ist (siehe dazu die Skizze in [7.9.4]), ist sein Beweis nicht trivial. Wesentliches Argument ist dabei der Satz über die Annahme des Maximums und Minimums ([6.6.5]) einer stetigen Funktion.

Der Mittelwertsatz erweist sich als ein mächtiges Instrument zur Weiterführung der Analysis.

Wir verdeutlichen die neuen Begriffe anhand der nebenstehende Skizze. Sie zeigt die Funktion  ${\displaystyle f:[-\mathrm{2,}\infty [\to ℝ}$, gegeben durch ${\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}{x}^4-\frac{5}{6}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{5}{2}x}$. Offensichtlich besitzt  f in −1 und in 2,5 jeweils ein lokales Minimum, wobei in −1 sogar ein globales Minimum vorliegt. in −2 und 1 jeweils ein lokales Maximum. kein globales Maximum, da sie nach oben unbeschränkt ist.

Man beachte, dass die differenzierbare Funktion  f an allen inneren Extremstellen, nicht aber in −2, eine waagerechte Tangente besitzt.

Beachte:

• Der Begriff Extremum ist nicht an die Differenzierbarkeit gebunden. So besitzt etwa die nicht differenzierbare Betragsfunktion ${\displaystyle |\mathrm{X}|}$ in 0 ein globales Minimum.

• Jede globale Extremstelle ist auch eine lokale, denn gilt eine Abschätzung auf ganz A, so gilt sie erst recht auf jeder Teilmenge der Art ${\displaystyle A_{a,\epsilon }}$, also z.B. auch auf ${\displaystyle A_{a\mathrm{,1}}}$. Wie die obige Skizze verdeutlicht, ist die Umkehrung i.a. falsch.

• Aufgrund der Verwendung von ${\displaystyle \le }$ und ${\displaystyle \ge }$ in [7.9.1] hat eine konstante Funktion an jeder Stelle gleichzeitig ein globales Maximum und ein globales Minimum. Bei strengen Extrema kann ein solches Verhalten nicht vorkommen.
   

Eine wichtige Aufgabe wird es sein, lokale Extremstellen zu ermitteln. Nach der oben gemachten Beobachtung sind dabei waagerechte Tangentenstellen von besonderem Interesse. Wir erhalten so ein erstes Kriterium für die Existenz lokaler Extremstellen.

Beachte:

• Das notwendige Kriterium bestätigt das vermutete geometrische Verhalten: Tangenten an inneren lokalen Extremstellen sind stets waagerecht.

• [7.9.2] ist nicht umkehrbar (man sagt hier auch: nicht hinreichend), denn so hat etwa die Kubikfunktion ${\displaystyle {\mathrm{X}}^3}$ kein lokales Extremum in 0, dennoch ist aber ${\displaystyle ({\mathrm{X}}^3{)}^{\prime }(0)=0}$. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass das notwenige Kriterium faktisch auch nur die Stellen mit waagerechten Tangenten herausfiltert.

  Die Suche nach geeigneten hinreichenden Kriterien ist somit eine sinnvolle Aufgabe. Mit [7.9.17] finden wir am Ende dieses Abschnitts ein erstes Kriterium dieser Art.

• An Randpunkten gilt das notwendige Kriterium nicht. So besitzt z.B. die Einschränkung ${\displaystyle \mathrm{X}|{ℝ}^{\ge 0}}$ in 0 ein lokales (sogar globales) Minimum, hat hier aber den Ableitungswert 1.

• [7.9.2] liest man oft in der Formulierung:  ${\displaystyle f^{\prime }(a)=0}$ ist eine notwendige Bedingung für das Vorliegen einer lokalen Extremstelle im Inneren. Sucht man also alle lokalen Extremstellen einer differenzierbaren Funktion, so kommen dafür höchstens die Nullstellen der ersten Ableitung infrage.
   

Beachte:

• Der Satz von Rolle ist ein reiner Existenzsatz. Eine Information über die Eindeutigkeit und die Lage von ${\displaystyle \tilde{x}}$ wird nicht gegeben.

• Auf die Stetigkeit in a und b kann man nicht verzichten. Als Beispiel betrachte man etwa die in 1 unstetige Funktion  ${\displaystyle f:[\mathrm{0,1}]\to ℝ}$, gegeben durch  ${\displaystyle f(x)≔\{\begin{array}{l}x\text{, falls }x\ne 1\hfill \\ 0\text{, falls }x=1\hfill \end{array}}$. Zwar ist  ${\displaystyle f(0)=f(1)}$, aber  ${\displaystyle f^{\prime }(x)=1}$ für alle ${\displaystyle x\in ]\mathrm{0,1}[}$.

• Mit  ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ist die Verbindungsstrecke der Punkte ${\displaystyle (a,f(a))}$ und ${\displaystyle (b,f(b))}$ waagerecht. Der Satz von Rolle erlaubt daher die folgende, geometrische Lesart:

  Es gibt einen inneren Punkt ${\displaystyle \tilde{x}}$, an dem die Tangente parallel zur Verbindungsstrecke der Graphenendpunkte läuft.

  Die nebenstehende Skizze zeigt dies für die Funktion ${\displaystyle \frac{2}{3}{\mathrm{X}}^3+\frac{4}{3}{\mathrm{X}}^2-\frac{2}{3}\mathrm{X}-\frac{5}{6}}$ auf dem Intervall ${\displaystyle [-\mathrm{2,1}]}$. Neben der eingezeichneten Stelle ${\displaystyle \tilde{x}=\frac{-2-\sqrt{7}}{3}\approx -\mathrm{1,55}}$ gibt es hier mit ${\displaystyle \frac{-2+\sqrt{7}}{3}\approx \mathrm{0,22}}$ noch eine weitere Möglichkeit für eine waagerechte Tangentenstelle.
   

Interessanterweise bleibt diese geometrische Eigenschaft auch dann erhalten, wenn man auf die Bedingung ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ verzichtet, wie etwa das Beispiel der Funktion ${\displaystyle \frac{2}{3}{\mathrm{X}}^3+\frac{4}{3}{\mathrm{X}}^2+\frac{1}{2}}$ auf ${\displaystyle [-\mathrm{2,1}]}$ verdeutlicht. Die inhaltliche Ausformulierung führt zum Mittelwertsatz.

Satz (Mittelwertsatz):  Zu jedem ${\displaystyle f\in {\mathcal{C}}^0([a,b])\cap {\mathcal{D}}^1(]a,b[)}$ gibt es ein ${\displaystyle \tilde{x}\in ]a,b[}$, so dass ${\displaystyle f^{\prime }(\tilde{x})=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$ [7.9.4] Beweis: Wir wenden den Satz von Rolle [7.9.3] an. Dazu modifizieren die vorgegebene Funktion  f und setzen

${\displaystyle g≔f-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(\mathrm{X}-a)}$. Mit ${\displaystyle g(b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(a)=g(a)}$ erfüllt g die spezielle Bedingung des Rolleschen Satzes. Offensichtlich ist g stetig auf ${\displaystyle [a,b]}$ und differenzierbar auf ${\displaystyle ]a,b[}$. Nach [7.9.3] gibt es also ein ${\displaystyle \tilde{x}\in ]a,b[}$, so dass ${\displaystyle 0=g^{\prime }(\tilde{x})=f^{\prime }(\tilde{x})-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$. Das aber ist die Behauptung.

Beachte:

• Einerseits folgt der Mittelwertsatz aus dem Satz von Rolle, denn er war das entscheidende Argument im Beweis, andererseits stellt der Rollesche Satz einen Spezialfall des Mittelwertsatzes dar: Ist nämlich  ${\displaystyle f(a)=f(b)}$, so hat man  ${\displaystyle f(\tilde{x})=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0}$. Beide Sätze sind also gleichwertig:

  Satz von Rolle${\displaystyle \iff }$Mittelwertsatz
  
   

Mit dem Mittelwertsatz steht uns eine der zentralen Aussagen der Analysis zur Verfügung. Diese Einschätzung wird durch zahlreiche, nicht triviale Anwendungen bestätigt werden. Allerdings eignet sich die notierte Form [7.9.4] selten direkt für eine Anwendung. Wir werden daher dieser geometrisch orientierten Fassung des Mittelwertsatzes eine äquivalente Version zur Seite stellen, die für viele Anwendungsfälle besser geeignet ist. Da

ist es für die Gültigkeit von [7.9.4] ohne Bedeutung, ob a tatsächlich links von b liegt oder nicht. Im Folgenden benutzen wir daher die Formulierung "${\displaystyle \tilde{x}}$ liegt zwischen a und b" als Abkürzung für

Die folgende Fassung des Mittelwertsatzes ergibt sich direkt durch Umstellen von [7.9.4] nach  ${\displaystyle f(b)}$:

Ist I ein beliebiges Intervall

i

Wir unterscheiden hier nicht zwischen offenen und geschlossenen Intervallen. Im offenen Fall erlauben wir auch den Wert ${\displaystyle \infty }$ für die rechte, bzw. ${\displaystyle -\infty }$ für die linke Ecke. ${\displaystyle ℝ}$ und z.B. ${\displaystyle {ℝ}^{>0}}$ sind in diesem Sinn also auch Intervalle.

und  ${\displaystyle f\in {\mathcal{D}}^1(I)}$, so gibt es zu je zwei verschiedenen Punkten ${\displaystyle a,b\in I}$ ein ${\displaystyle \tilde{x}}$ zwischen a und b mit

Beachte:

• Das von a und b erzeugte abgeschlossene Intervall ist vollständig in I enthalten. Eine auf I differenzierbare Funktion  f ist daher auch auf diesem abgeschlossenen Teilintervall differenzierbar, also erst recht stetig, so dass die Voraussetzungen von [7.9.4] erfüllt sind.

• [7.9.5] stellt - für Intervalle - eine Ergänzung des zentralen Darstellungssatzes [7.5.1] dar: Alle dort auftretenden Funktionswerte ${\displaystyle r(x)}$ sind Ableitungszahlen von  f.

• Der Mittelwertsatz gilt nur für Funktionen auf Intervallen. Die Heavisidefunktion H

  i

  ${\displaystyle \mathrm{H}(x)=\{\begin{array}{l}1\text{, falls }x\ge 0\hfill \\ 0\text{, falls }x<0\hfill \end{array}}$

  z.B. ist eine ${\displaystyle {\mathcal{D}}^1}$-Funktion auf ${\displaystyle {ℝ}^{\ne 0}}$. Da ${\displaystyle {\mathrm{H}}^{\prime }(x)=0}$ für alle ${\displaystyle x\ne 0}$, wird es kein ${\displaystyle \tilde{x}}$ geben, so dass

  ${\displaystyle \mathrm{H}(-1)=\mathrm{H}(1)+(-1-1)\cdot {\mathrm{H}}^{\prime }(\tilde{x})}$,

  denn das hieße ja:  ${\displaystyle 0=1}$.
   

In einer ersten Anwendung lösen wir eine Zusage im Zusammenhang mit [7.5.3/4] ein und zeigen, dass Funktionen, die auf einem ganzen Intervall regulär sind, injektiv sein müssen.

Die im Beweis verwandte Strategie ist typisch für den Einsatz des Mittelwertsatzes: Über die Gleichung [7.9.5] können wir Eigenschaften der Funktion  f erschließen, sobald wir über pauschale Kenntnisse der Ableitung verfügen, also solche, die nicht von den individuellen Stellen abhängen. Hier etwa wissen wir, dass die Ableitungswerte  ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$  überall von Null verschieden sind, also sicherlich auch an der vom Mittelwertsatz garantierten, aber in der Regel unbekannten Stelle ${\displaystyle \tilde{x}}$.

In einem zweiten Beispiel gelingt es, die konstanten Funktionen auf einem Intervall allein über ihr Ableitungsverhalten zu klassifizieren.

[7.9.7] läßt sich deutlich verallgemeinern, denn es gelingt, eine analoge Aussage für Polynome zu beweisen.

Nach [7.9.8] erkennt man die Polynome unter den ${\displaystyle {\mathcal{C}}^{\infty }}$-Funktionen auf ${\displaystyle ℝ}$ daran, dass unter ihren Ableitungen die Nullfunktion vorkommt. Die Ableitungen in [7.8.11-13] belegen also, dass exp, sin und cos keine Polynome sind.

Im Abschnitt über stetige Funktionen haben wird in [6.5.6] eine spezielle Form der Stetigkeit, die sog. Lipschitz-Stetigkeit vorgestellt. Der Mittelwertsatz zeigt nun, dass eine differenzierbare Funktionen, deren Ableitung auf I beschränkt ist, dort lipschitz-stetig sein muss.

Beachte:

• Jede Funktion  ${\displaystyle f\in {\mathcal{C}}^1([a,b])}$ ist lipschitz-stetig, denn  ${\displaystyle f^{\prime }}$ ist jetzt eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall, nach [6.6.4] daher automatisch beschränkt.

• Da sin und cos nur Werte zwischen −1 und 1 annehmen, weiß man für alle ${\displaystyle x,y\in ℝ}$:

  ${\displaystyle \begin{array}{l}|\sin x-\sin y|\le |x-y|\hfill \\ |\cos x-\cos y|\le |x-y|\hfill \end{array}}$
  
   

Verallgemeinerungen des Mittelwertsatzes bieten sich in zwei Richtungen an: Zum einen wird man versuchen, wie etwa beim Zwischenwertsatz (siehe dazu [6.6.3]), eine Version für zwei Funktionen zu finden, zum anderen wird man Möglichkeiten ausloten, den Satz auf mehrfach differenzierbare Funktionen zu erweitern. Wir verfolgen beide Richtungen.

Beachte:

• Vertauscht man in [7.8.10] die Positionen von a und b, d.h. multipliziert man die Gleichung mit −1, so bleibt [7.8.10] weiterhin gültig. Der zweite Mittelwertsatz gilt also, wie schon erste, unabhängig davon, ob a links von b liegt oder nicht.
   

Wir setzen den zweiten Mittelwertsatz zum Nachweis der de L'Hôpitalschen Regeln ein. Diese effizienten Regeln zur Grenzwertbestimmung haben ihren Ausgangspunkt in der folgenden Beobachtung:

Für zwei in a differenzierbare Funktionen  ${\displaystyle f,g:A\to ℝ}$ mit ${\displaystyle g^{\prime }(a)\ne 0}$ gilt:  Ist  ${\displaystyle f(a)=g(a)=0}$, so ist ${\displaystyle \frac{f}{g}}$ in a stetig fortsetzbar, und zwar durch

Beweis:  Zunächst müssen wir a als Häufungspunkt

i

Nach [6.4.4] müssen wir dazu eine Folge ${\displaystyle (}$ in ${\displaystyle \{}$ konstruieren mit ${\displaystyle a_n}$. Da a bereits Häufungspunkt von A ist (sonst könnte dort keine Funktion differenzierbar sein), gelingt dies aber, wenn wir eine relative ε-Umgebung ${\displaystyle A_{a,\epsilon }}$ finden können, so dass ${\displaystyle A_{a,\epsilon }}$.

von ${\displaystyle \{x\in A|g(x)\ne 0\}}$ nachweisen und betrachten dazu die Darstellung (siehe [7.5.1])

Da r in a stetig ist, gibt es mit ${\displaystyle r(a)=g^{\prime }(a)\ne 0}$ eine relative ε-Umgebung ${\displaystyle A_{a,\epsilon }}$, so dass ${\displaystyle g(x)\ne 0}$ für alle ${\displaystyle x\in A_{a,\epsilon }\backslash \{a\}}$.

Beachtet man nun, dass ${\displaystyle f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$ und ${\displaystyle g^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}$, so ergibt sich [7.9.11] mit der Rechenregel [6.9.8] direkt aus der für alle ${\displaystyle x\in A_{a,\epsilon }\backslash \{a\}}$ gültigen Gleichung

Beachte:

• Oft lassen sich die Regeln auch iteriert anwenden: Hat man etwa  ${\displaystyle f,g\in {\mathcal{C}}^1(I)\cap {\mathcal{D}}^2(I\backslash \{a\})}$ mit ${\displaystyle f(a)=g(a)=0}$,  ${\displaystyle f^{\prime }(a)=g^{\prime }(a)=0}$ und ${\displaystyle g^{\prime }(x),{g^{\prime }}^{\prime }(x)\ne 0}$ für alle ${\displaystyle x\in I\backslash \left\{a\right\}}$, so existiert mit dem

  Grenzwert ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }\frac{{f^{\prime }}^{\prime }(x)}{{g^{\prime }}^{\prime }(x)}}$ auch  ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{{f^{\prime }}^{\prime }(x)}{{g^{\prime }}^{\prime }(x)}}$.

  
   

Mit der nun anstehenden Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes auf mehrfach differenzierbare Funktionen können wir Werkzeuge (Taylorpolynome) entwickeln, die bei der Untersuchung analytischer Funktionen sehr hilfreich sind.

Beachte:

• Für ${\displaystyle n=0}$ ist [7.9.16] identisch mit [7.9.5]. Der Taylorsche Satz setzt also den Mittelwertsatz auf mehrfach differenzierbare Funktionen fort.

• Und so wie dort überzeugt man sich auch hier davon, dass die Reihenfolge von a und b die Gültigkeit des Satzes nicht beeinträchtigt. Allerdings ist der Nachweis jetzt ein wenig verzwickter. Wir betrachten dazu die lineare Funktion

  ${\displaystyle g≔b+(a-\mathrm{X})}$

  und wenden die Taylorformel auf die Komposition  ${\displaystyle f\circ g}$ an. Da ${\displaystyle {(f\circ g)}^{(i)}(x)=f^{(i)}(g(x))\cdot {(-1)}^i}$, also insbesondere  ${\displaystyle f\circ g(b)=f(a)}$ und ${\displaystyle {(f\circ g)}^{(i)}(a)=f^{(i)}(b)\cdot {(-1)}^i}$, erhalten wir

  ${\displaystyle \begin{array}{ll}f(a)\hfill & =\sum _{i=0}^n\frac{f^{(i)}(b)\cdot {(-1)}^i}{i!}{(b-a)}^i+\frac{f^{(n+1)}(g(\tilde{x}))\cdot {(-1)}^{n+1}}{(n+1)!}{(b-a)}^{n+1}\hfill \\ \hfill & =\sum _{i=0}^n\frac{f^{(i)}(b)}{i!}{(a-b)}^i+\frac{f^{(n+1)}(g(\tilde{x}))}{(n+1)!}{(a-b)}^{n+1}\hfill \end{array}}$

  Damit gilt die Taylorformel auch für  ${\displaystyle f(a)}$ wenn wir ${\displaystyle g(\tilde{x})}$ als "neues" ${\displaystyle \tilde{x}}$ akzeptieren. Wir wenden daher [7.9.16] meist auf Funktionen ${\displaystyle f\in {\mathcal{D}}^{n+1}(I)}$ an und finden für je zwei verschiedene Werte ${\displaystyle a,b\in I}$ ein ${\displaystyle \tilde{x}}$ zwischen a und b das die Taylorformel erfüllt.

• Für ein  ${\displaystyle f\in {\mathcal{D}}^{n+1}(I)}$ und ${\displaystyle a\in I}$ nennen wir das Polynom

  ${\displaystyle T_{a,n}≔\sum _{i=0}^n\frac{f^{(i)}(a)}{i!}{(\mathrm{X}-a)}^i}$

  das n-te Taylorpolynom und die Funktion ${\displaystyle R_{a,n}:I\to ℝ}$ gegeben durch

  ${\displaystyle R_{a,n}(x)≔\{\begin{array}{l}\frac{f^{(n+1)}(\tilde{x})}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}\text{, falls }x\ne a\hfill \\ 0\text{, falls }x=a\hfill \end{array}}$

  das n-te Restglied von  f bzgl. a. Die Funktion ${\displaystyle R_{a,n}}$ ist wohldefiniert: Zwar mag es zu einem x mehrere ${\displaystyle \tilde{x}}$ geben, die die Taylorformel erfüllen, der Wert  ${\displaystyle f^{(n+1)}(\tilde{x})}$ aber ist die zu x und a eindeutig gehörende Zahl c aus [2] (c ist als Lösung einer linearen Gleichung eindeutig). ${\displaystyle R_{a,n}}$ wird gelegentlich auch die Lagrangesche Form des Restglieds genannt.

• Ist  ${\displaystyle f\in {\mathcal{C}}^{\infty }(I)}$ und ${\displaystyle a\in I}$, so heißt die Potenzreihe ${\displaystyle (\sum _{i=0}^n\frac{f^{(i)}(a)}{i!}{(\mathrm{X}-a)}^i)}$ die Taylorreihe von  f bzgl. a. Ist die Taylorreihe konvergent mit Konvergenzradius r und  ${\displaystyle f|I_{a,r}}$ ihre Grenzfunktion, also

  ${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{\infty }\frac{f^{(i)}(a)}{i!}{(x-a)}^i}$  für alle ${\displaystyle x\in ]a-r,a+r[\cap I}$,[4]

  so nennen wir die Darstellung [4] die Taylorentwicklung von  f im Punkt a. ${\displaystyle C^{\infty }}$-Funktionen, die in jedem ${\displaystyle a\in I}$ eine Taylorentwicklung zulassen, sind also analytisch.
   

In Abschnitt 8.10 werden wir einen alternativen Zugang zur Taylorformel vorstellen. Dort werden wir uns auch genauer über die mögliche Analytizität einer ${\displaystyle {\mathcal{C}}^{\infty }}$-Funktion informieren.

Wir beschäftigen uns noch einmal mit der Suche nach lokalen Extremstellen. Die Taylorformel gibt uns jetzt die Möglichkeit, ein erstes hinreichendes Kriterium zu formulieren, mit dem sich in vielen Fällen die durch das notwendige Kriterium [7.9.2] gefundenen Kandidaten kritisch bewerten lassen. Allerdings können hier nur Funktionen auf Intervallen untersucht werden, die dort eine hohe Differenzierbarkeitsgüte aufweisen. Kriterien für "schwächere" Funktionen stellen wir im nächsten Abschnitt vor.

Beachte:

• Für eine ${\displaystyle {\mathcal{C}}^2}$-Funktion ist [7.9.17] das "klassische" Kriterium
   

  ${\displaystyle f^{\prime }(a)=0\wedge {f^{\prime }}^{\prime }(a)\ne 0\Rightarrow }$f besitzt in a ein lokales Extremum.

• Dem Beweis zu [7.9.17] entnimmt man, dass 2. auch für Randpunkte des Intervalls I gültig bleibt. 1. hingegen läßt sich nicht auf Randpunkte übertragen. Man betrachte dazu noch einmal die Einschränkung ${\displaystyle \mathrm{X}|{ℝ}^{\ge 0}}$.

• Die Aussage in 2. ist nicht umkehrbar, das Kriterium also nicht notwendig. Dies belegt z.B. die Funktion  ${\displaystyle f:ℝ\to ℝ}$ gegeben durch

  ${\displaystyle f(x)≔\{\begin{array}{l}{e}^{-\frac{1}{x}}\text{, falls }x>0\hfill \\ 0\text{, falls }\le 0\hfill \end{array}}$

  In 9.12 weisen wir nach, dass  f eine ${\displaystyle {\mathcal{C}}^{\infty }}$-Funktion ist, bei der alle Ableitungen im Nullpunkt, einem lokalen Minimum, verschwinden:  ${\displaystyle f^{(n)}(0)=0}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb{N}}$.

7.8.

7.10.