5.3. Monotone Folgen, beschränkte Folgen

In diesem Abschnitt studieren wir zwei unterschiedliche Eigenschaften, die Folgen besitzen können oder nicht. Zunächst werden Folgen untersucht, die eine bestimmte "Laufrichtung" repräsentieren, indem sie etwa beständig immer größere Werte annehmen. Zum zweiten sollen Folgen betrachtet werden, deren "Laufbereich" nach links und rechts begrenzt ist, Folgen in einem Intervall also.

Definition: Eine Folge

(a_{n})

heißt

monoton wachsend, falls $a_{n} \leq a_{n + 1} für alle n \in ℕ^{*}$	[5.3.1]
monoton fallend, falls $a_{n} \geq a_{n + 1} für alle n \in ℕ^{*}$	[5.3.2]

Ersetzt man in [5.3.1] $\leq$ durch $<$ , so nennt man $(a_{n})$ streng monoton wachsend. Analog ergibt sich der Begriff streng monoton fallend.

Beachte:

$(a_{n})$ ist nicht monoton wachsend, falls es ein $n \in ℕ^{*}$ gibt mit $a_{n} > a_{n + 1} .$
$(a_{n})$ ist nicht monoton fallend, falls es ein $n \in ℕ^{*}$ gibt mit $a_{n} < a_{n + 1} .$

Beispiel:

$(3 n + 1)$ ist monoton wachsend, denn für alle $n \in ℕ^{*}$ ist die folgende Äquivalenz gültig und die letzte Aussage wahr:

$\begin{array}{l} 3 n + 1 \leq 3 (n + 1) + 1 \\ \Leftrightarrow & 3 n + 1 \leq 3 n + 4 \\ \Leftrightarrow & 1 \leq 4 \end{array}$
$(\frac{1}{n})$ ist monoton fallend. Auch hier führen wir die Behauptung äquivalent auf eine wahre Aussage zurück:

$\begin{array}{l} \frac{1}{n} \geq \frac{1}{n + 1} \\ \Leftrightarrow & n + 1 \geq n \\ \Leftrightarrow & 1 \geq 0 \end{array}$
$({(- 1)}^{n})$ ist weder monoton fallend noch monoton wachsend, denn:

$\begin{array}{l} {(- 1)}^{1} = - 1 < 1 = {(- 1)}^{2} \\ {(- 1)}^{2} = 1 > - 1 = {(- 1)}^{3} \end{array}$
Jede konstante Folge $(c)$ ist sowohl monoton fallend als auch monoton wachsend, denn es gelten ja beide Ungleichungen:

$c \geq c und c \leq c .$

In der folgenden Bemerkung tragen wir einige Eigenschaften der Monotonie zusammen. Wir notieren sie nur für monoton wachsende Folgen; sinngemäß gelten sie auch für monoton fallende.

Bemerkung:

$(a_{n})$ ist monoton wachsend $\Leftrightarrow a_{n + 1} - a_{n} \geq 0$ für alle n.

[5.3.3]

$(a_{n})$ ist monoton wachsend $\Rightarrow a_{1} \leq a_{n}$ für alle n.

[5.3.4]

$(a_{n})$ ist monoton wachsend $\Rightarrow (a_{n + k})$ ist monoton wachsend für jedes k.

[5.3.5]

$(a_{n})$ ist monoton wachsend $\Leftrightarrow (- a_{n})$ ist monoton fallend.

[5.3.6]

Beweis: In 1. und 4. ist lediglich die Bedingung $a_{n} \leq a_{n + 1}$ entsprechend umzustellen. 3. ist trivial.

2. ►
Wir führen einen Induktionsbeweis:

$1 \in A : a_{1} \leq a_{1} .$

$n \in A \Rightarrow n + 1 \in A :$ Sei jetzt $a_{1} \leq a_{n} .$ Wegen der Monotonie ist $a_{n} \leq a_{n + 1},$ dann gilt aber auch: $a_{1} \leq a_{n + 1} .$

Im letzten Beispiel haben wir gesehen, dass die konstanten Folgen in beiden Richtungen monoton sind. Diese Eigenschaft charakterisiert sie eindeutig.

Bemerkung:

(a_{n})

ist monton fallend und monoton wachsend

\Leftrightarrow (a_{n})

ist konstant.

[5.3.7]

Beweis:
" $\Rightarrow$ ": Nach [5.3.4] ist $a_{n} \leq a_{1} \leq a_{n} .$ Folglich ist $a_{n} = a_{1}$ für alle n, d.h. $(a_{n})$ ist konstant.

" $\Leftarrow$ ": Diese Richtung ist das letzte Beispiel.

Die Monotonie verträgt sich nur bedingt mit dem Verrechnen von Folgen. So haben z.B. die beiden monoton wachsenden Folgen $(n^{2})$ und $(4 n - 4)$ eine Differenz, die überhaupt nicht mehr monoton ist:

(n^{2}) - (4 n - 4) = (1,0,1, \dots)

Die Addition und, mit Einschränkungen, die Multiplikation verhalten sich besser. Auch hier beschränken wir uns auf monoton wachsende Folgen.

Bemerkung: Sind $(a_{n})$ und $(b_{n})$ zwei monoton wachsende Folgen, so wächst auch

$(a_{n}) + (b_{n})$ monoton

[5.3.8]

$(a_{n}) \cdot (b_{n})$ monoton, falls $a_{n}, b_{n} \geq 0$

[5.3.9]

Beweis:

1. ►
Nach Voraussetzung bestehen für jedes n zwei Ungleichungen:

$\begin{array}{l} a_{n} \leq a_{n + 1} \\ b_{n} \leq b_{n + 1} \end{array}$

Durch seitenweise Addition ergibt sich daraus die Behauptung: $a_{n} + b_{n} \leq a_{n + 1} + b_{n + 1} .$

2. ►
Da man Ungleichungen in $ℝ^{\geq 0}$ ebenfalls seitenweise multiplizieren darf, können wir wie in 1. vorgehen.

Die Verträglichkeit der Monotonie mit den Grundrechenarten ist also nicht sehr ausgeprägt. Deutlich besser verhält sich in dieser Hinsicht die nächste Eigenschaft, die Beschränktheit.

Definition: Eine Folge $(a_{n})$ heißt beschränkt, falls es zwei Zahlen ("Schranken") $u, v \in ℝ$ gibt, so dass

u \leq a_{n} \leq v für alle n \in ℕ^{*}

[5.3.10]

$(a_{n})$ heißt unbeschränkt, falls $(a_{n})$ in mindestens einer Richtung keine Schranke zuläßt.

Beachte:

$(a_{n})$ ist genau dann beschränkt, wenn es ein Intervall $[u, v]$ gibt, so dass $(a_{n})$ eine Folge in $[u, v]$ ist.
$(a_{n})$ ist genau dann unbeschränkt, wenn in jedem Intervall mindestens ein Folgenglied fehlt.

Für Beispiele ist es oft günstig eine zweite Fassung der Beschränktheitsbedingung zur Verfügung zu haben, nämlich die "betragsmäßige" Beschränktheit. Sie bietet den Vorteil, statt zwei Schranken nur eine finden zu müssen.

Bemerkung:

(a_{n})

ist beschränkt

\Leftrightarrow

es gibt ein

s \in ℝ^{\geq 0}

, so dass

| a_{n} | \leq s für alle n \in ℕ^{*}

[5.3.11]

Beweis:
" $\Rightarrow$ ": Wir verlängern die gegebene Ungleichung $u \leq a_{n} \leq v$ zu:

- \max {| u |, | v |} = \min {- | u |, - | v |} \leq - | u | \leq u \leq a_{n} \leq v \leq | v | \leq \max {| u |, | v |}

Mit $s ≔ \max {| u |, | v |}$ hat man also $- s \leq a_{n} \leq s$ und damit: $| a_{n} | \leq s für alle n \in ℕ^{*}$ .

" $\Leftarrow$ ": $| a_{n} | \leq s$ bedeutet: $- s \leq a_{n} \leq s$ .

Nun zu einigen Beispielen. Wir verwenden dabei oft eine Standardtechnik, das sog. "Abschätzen". Gemeint ist damit das Verfahren, einen Ausdruck durch geeignete Schritte zu vergrößern (oder zu verkleinern).

Häufig werden etwa die folgenden Abschätzungstricks zur Vergrößerung eingesetzt:

Bei einer Summe einen Summanden vergrößern, etwa:

$n + 1 \leq n + 3 \leq 2 n + 3$
Bei einer Differenz weniger subtrahieren, etwa:

$7 - n^{2} \leq 7 - n \leq 7 - 1$
Bei einem Produkt positiver Faktoren einen Faktor vergrößern, etwa:

$4 n \leq 10 n \leq 10 (n + 3)$
Bei einem Bruch mit positivem Zähler und positivem Nenner den Zähler vergrößern oder den Nenner verkleiner, etwa:

$\frac{3 n + 1}{2 n + 3} \leq \frac{3 n + 1}{2 n} \leq \frac{3 n + n}{2 n}$

Durch (korrektes) Abschätzen macht man keinen Fehler, auch wenn sich die Ausdrücke ändern, denn es wird nicht =, sondern $\leq$ manipuliert! Allerdings sind die Umformungsmöglichkeiten bei Ungleichungen deutlich reichhaltiger als bei Gleichungen. Darunter leidet gelegentlich die Übersichtlichkeit. Auch hat man oft den Eindruck, die Abschätzungschritte würden willkürlich gewählt. Dabei ist die Wahl der Schritte aber immer auf ein Ziel ausgerichtet.

Beispiel:

$({(- 1)}^{n})$ ist beschränkt, denn: $| {(- 1)}^{n} | = 1 \leq 1$ für alle n.

[5.3.12]

$(\frac{1}{n})$ ist beschränkt, denn: $| \frac{1}{n} | = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{1} = 1$ für alle n.

[5.3.13]

Jede konstante Folge $(c)$ ist beschränkt, denn mit $s ≔ | c |$ gilt für jedes Folgenglied: $| c | \leq s$ .

[5.3.14]

$(\frac{2 n^{3} + n - 2}{n^{3} + 1})$ ist beschränkt, denn: $| \frac{2 n^{3} + n - 2}{n^{3} + 1} | = \frac{2 n^{3} + n - 2}{n^{3} + 1} \leq \frac{2 n^{3} + n - 2}{n^{3}} \leq \frac{2 n^{3} + n - 2}{n^{3}} \leq \frac{2 n^{3} + n^{3}}{n^{3}} = 3$

Wie bereits angedeutet wird die Beschränktheit von den Grundrechenarten besser vererbt als die Monotonie.

Bemerkung: Sind $(a_{n})$ und $(b_{n})$ zwei beschränkte Folgen, so ist auch

$(a_{n}) + (b_{n})$ beschränkt

[5.3.15]

$(a_{n}) - (b_{n})$ beschränkt

[5.3.16]

$(a_{n}) \cdot (b_{n})$ beschränkt

[5.3.17]

Beweis: Wir verwenden in allen drei Fällen die betragsmäßige Beschränktheit [5.3.11]. Nach Voraussetzung gibt es also Zahlen $s_{1}, s_{2} \in ℝ^{\geq 0}$ , so dass

\begin{array}{l} | a_{n} | \leq s_{1} für alle n \in ℕ^{*} \\ | b_{n} | \leq s_{2} für alle n \in ℕ^{*} \end{array}

Mit Hilfe der Dreiecksungleichung erhalten wir daraus für alle $n \in ℕ^{*}$ die folgenden Abschätzungen:

1. ►	$\| a_{n} + b_{n} \| \leq \| a_{n} \| + \| b_{n} \| \leq s_{1} + s_{2}$

2. ►	$\| a_{n} - b_{n} \| = \| a_{n} + (- b_{n}) \| \leq \| a_{n} \| + \| - b_{n} \| = \| a_{n} \| + \| b_{n} \| \leq s_{1} + s_{2}$

3. ►	$\| a_{n} \cdot b_{n} \| = \| a_{n} \| \cdot \| b_{n} \| \leq s_{1} \cdot s_{2}$

Wir können also in allen drei Fällen sämtliche Folgenglieder durch eine positive reelle Zahl abschätzen. Dies garantiert, wieder nach [5.3.11], jeweils die Beschränktheit.

Als eine erste Folgerung erhalten wir aus den Beispielen [5.3.13] und [5.3.14] das folgende Ergebnis:

Für jedes $c \in ℝ$ ist die Folge $(\frac{c}{n}) = (c) \cdot (\frac{1}{n})$ beschränkt.
[5.3.18]

Die folgende Bemerkung zeigt, dass sich die Beschränktheit auf "kleinere" und die Unbeschränktheit auf "größere" Folgen überträgt.

Bemerkung: Sind $(a_{n})$ und $(b_{n})$ zwei Folgen, so dass

| a_{n} | \leq | b_{n} | für alle n \in ℕ^{*}

so hat man:

$(b_{n})$ beschränkt $\Rightarrow (a_{n})$ beschränkt
$(a_{n})$ unbeschränkt $\Rightarrow (b_{n})$ unbeschränkt

[5.3.19]

Beweis:

1. ►
Es gibt ein $s \in ℝ^{\geq 0}$ , so dass $| a_{n} | \leq | b_{n} | \leq s für alle n \in ℕ^{*}$ . Das ist aber bereits die Behauptung.

2. ►
Wäre $(b_{n})$ beschränkt, so müsste nach 1. auch $(a_{n})$ beschränkt sein. Widerspruch!

Mit 1. lassen sich über unsere beschränkte Referenzfolge aus [5.3.18] weitere beschränkte Folgen angeben. So hat man etwa - wegen $| \frac{c}{n^{k}} | = \frac{| c |}{n^{k}} \leq \frac{| c |}{n} = | \frac{c}{n} |$ - :

Für

c \in ℝ und k \in ℕ^{*}

ist die Folge

(\frac{c}{n^{k}})

beschränkt.

[5.3.20]

Wenn wir von 2. in ähnlicher Weise profitieren wollen, benötigen wir zunächst eine unbeschränkte Referenzfolge.

Bemerkung:

(n)

ist unbeschränkt.

[5.3.21]

Beweis: Wir erinnern an das Vollständigkeitsaxiom

Jede nicht-leere beschränkte Teilmenge von $ℝ$ besitzt eine größte untere Schranke, ihr Infimum, und eine kleinste obere Schranke, ihr Supremum

und gehen indirekt vor: Ist $(n)$ beschränkt, so ist $ℕ^{*}$ eine nicht-leere beschränkte Teilmenge von $ℝ$ , so dass wir über die reelle Zahl $s ≔ \sup ℕ^{*}$ verfügen.

Da s die kleinste obere Schranke von $ℕ^{*}$ ist, kann $s - 1$ keine obere Schranke sein. Also gibt es ein $n \in ℕ^{*}$ , so dass $s - 1 < n$ . Das bedeutet für die positive natürliche Zahl $n + 1$ :

s < n + 1

Damit aber ist s keine obere Schranke von $ℕ^{*}$ . Widerspruch!

Beachte:

[5.3.21] drückt noch einmal aus, dass die reellen Zahlen archimedisch angeordnet sind. Der Beweis ist also i.w. nur eine Kopie der Argumentation aus Kapitel 3.

Die Unbeschränktheit von $(n)$ liefert nun weitere Beispiele unbeschränkter Folgen.

Beispiel:

$(\frac{3 n^{2}}{n + 1})$ ist unbeschränkt,

denn: $| \frac{3 n^{2}}{n + 1} | = \frac{3 n^{2}}{n + 1} \geq \frac{3 n^{2}}{n + n} = \frac{3}{2} n \geq n = | n | für alle n \in ℕ^{*}$

Für jedes $c \neq 0$ ist $(c n)$ unbeschränkt,

[5.3.22]

denn wäre $(c n)$ beschränkt, so auch $(\frac{1}{c}) \cdot (c n) = (n)$ . Widerspruch!

Für jedes $c \neq 0 und k \in ℕ^{*}$ ist $(c n^{k})$ unbeschränkt,

[5.3.23]

denn: $| c n^{k} | = | c | n^{k} \geq | c | n = | c n | für alle n \in ℕ^{*}$

Für $k, m \in ℕ^{*}$ ist $(\sqrt[m]{n^{k}})$ unbeschränkt,

[5.3.24]

denn wäre $(\sqrt[m]{n^{k}})$ beschränkt, so auch $\underset{m -mal}{\underset{︸}{(\sqrt[m]{n^{k}}) \cdot \dots \cdot (\sqrt[m]{n^{k}})}} = (n^{k})$ . Widerspruch!

Die beiden Eigenschaften monoton und beschränkt - dies sei zum Abschluss erwähnt - stehen in keiner Beziehung zu einander:

Einerseits gibt es unter den monotonen Folgen sowohl beschränkte, als auch unbeschränkte. Andererseits können auch nicht-monotone Folgen beschränkt oder unbeschränkt sein.

5.2. 5.4.