5.4. Konvergente Folgen

Als Einführung zu diesem Abschnitt betrachten wir die Folge

(a_{n}) = (\frac{2 n + 1}{n + 1})

, eine unserer ersten Beispielfolgen. Ihre Wertetabelle rufen wir noch einmal ab

und achten dabei etwas genauer auf die Folgenglieder: Zunächst fällt auf, dass jeder Zähler fast doppelt so groß ist wie der zugehörige Nenner, alle Folgenglieder sind somit kleiner als 2. Der Unterschied zwischen dem Zweifachen des Nenners und dem Zähler ist aber beständig 1, damit verkleinert sich der Abstand zwischen den Folgengliedern und der Zahl 2 immer mehr.

Dies wird besonders deutlich, wenn man für die Folgenglieder die Dezimaldarstellung verwendet und sie gleichzeitig auf dem Zahlenstrahl markiert:

Auch rechnerisch läßt sich die Tendenz zu 2 erkennen, wenn man den Abstand eines Folgengliedes zu 2 - also den Betrag der Differenz - ermittelt. Für das 1000. Folgenglied etwa erhält man:

| a_{1000} - 2 | = | \frac{2001}{1001} - 2 | = \frac{1}{1001} .

Das 1000. Folgenglied, und mit ihm alle weiteren, denn die Folgenglieder werden immer größer, ist also um weniger als 0.001 von 2 entfernt.

Um allerdings sicherzustellen, dass die Folge tatsächlich gegen 2 läuft, reicht es nicht, irgendwelche Folgenglieder zu wählen und deren Abstand zu 2 als klein zu erkennen. Man muss statt dessen die Aufgabenstellung umdrehen: Kann man bei einem beliebig vorgegebenen Maximalabstand $ε > 0$ nachweisen, dass nahezu alle Folgenglieder um weniger als $ε$ von 2 entfernt sind?

Bevor wir dies für unsere Beispielfolge sicherstellen, wird zunächst in der folgenden Definition der anschaulich leicht zu verstehende Sachverhalt "eine Folge $(a_{n})$ läuft gegen eine Zahl g" mathematisch präzisiert.

Diese Begriffsbestimmung ist die Grundlage der Analysis.

Definition: Es sei $(a_{n})$ eine Folge und $g \in ℝ$ .

Wir sagen $(a_{n})$ konvergiert gegen g (in Zeichen: $a_{n} \to g$ ) falls es zu jedem $ε > 0 ein n_{0} \in ℕ^{*}$ gibt, so dass

| a_{n} - g | < ε für alle n \geq n_{0}

[5.4.1]

Ist $(a_{n})$ konvergent gegen g, so nennt man g einen Grenzwert, bzw. einen Limes von $(a_{n})$ . Die Folge $(a_{n})$ selbst heißt in diesem Fall konvergent. Folgen, die keinen Grenzwert besitzen nennt man divergent.

Beachte:

Es ist gelegentlich von Vorteil die Konvergenzbedingung umzuformulieren. Die Forderung, der Abstand von $a_{n}$ zu g soll kleiner als $ε$ sein, ist genau dann erfüllt, wenn $a_{n}$ höchstens $ε$ Einheiten von g entfernt liegt, und zwar unabhängig davon, ob $a_{n}$ rechts oder links von g liegt. $a_{n}$ darf sich also nur in einem offenen Intervall mit g als Mittelpunkt und $ε$ als Radius aufhalten:

| a_{n} - g | < ε \Leftrightarrow a_{n} \in] g - ε, g + ε [

In diesem Zusammenhang nennen wir die auftretenden Mittelpunktsintervalle auch $\underline{ε -Umgebungen}$ von g und notieren die Konvergenzbedingung folgendermaßen:

a_{n} \to g \Leftrightarrow

zu jedem

ε > 0

gibt es ein

n_{0} \in ℕ^{*}

,
so dass

a_{n} \in] g - ε, g + ε [für alle n \geq n_{0}

[5.4.2]

Für unsere Eingangsfolge können wir nun die Konvergenz gegen 2 exakt nachweisen:

Beispiel:

$\frac{2 n + 1}{n + 1} \to 2$

Beweis: Sei $ε > 0$ vorgegeben. Wir haben ein $n_{0} \in ℕ^{*}$ zu finden, so dass die Folgenglieder von $n_{0}$ an aufwärts um weniger als $ε$ von 2 entfernt sind. Wir machen uns zunächst klar, welche Anforderungen dies an die Folgenglieder stellt:

\begin{array}{l} | a_{n} - g | < ε & \Leftrightarrow | \frac{2 n + 1}{n + 1} - 2 | < ε \\ \Leftrightarrow | \frac{2 n + 1 - 2 n - 2}{n + 1} | < ε \\ \Leftrightarrow | \frac{- 1}{n + 1} | < ε \\ \Leftrightarrow \frac{1}{n + 1} < ε \\ \Leftrightarrow \frac{1}{ε} < n + 1 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{ε} - 1 < n \end{array}

Damit ist klar: Haben die Folgenglieder einen Index der größer ist als $\frac{1}{ε} - 1$ , so ist ihre Entfernung zu 2 kleiner als $ε$ . Diese Information nutzen wir jetzt für die Wahl von $n_{0}$ aus: Da $(n)$ unbeschränkt ist (siehe [5.3.21]), können wir nämlich ein $n_{0} \in ℕ^{*}$ so wählen, dass $n_{0} > \frac{1}{ε} - 1$ . Dann gilt aber erst recht für alle $n \geq n_{0} :$ $n > \frac{1}{ε} - 1$ . Für diese n hat man daher

| \frac{2 n + 1}{n + 1} - 2 | = | \frac{- 1}{n + 1} | = \frac{1}{n + 1} < ε

Beachte:

In Konvergenzbeweisen findet man oft die Aufforderung "Wähle jetzt ein $n_{0} > \dots$ ". Eine solche Wahl ist aber wegen der Unbeschränktheit von $ℕ$ stets möglich! Es ist für zukünftige Nachweise bequem, dieses Argument stillschweigend vorauszusetzen.

Wenn auch die Konvergenz $\frac{2 n + 1}{n + 1} \to 2$ nun sicher gestellt ist, so ist die Frage ob $(\frac{2 n + 1}{n + 1})$ noch weitere Grenzwerte besitzt durchaus zulässig, denn die Konvergenzdefinition selbst gibt über die Eindeutigkeit des Grenzwerts keine Auskunft. Man kann sich jedoch leicht davon überzeugen, dass eine Folge nicht zwei verschiedene Grenzwerte besitzen kann:

Bemerkung:

Jede Folge $(a_{n})$ besitzt höchstens einen Grenzwert.

[5.4.3]

Beweis: Angenommen $g_{1}$ und $g_{2}$ sind zwei verschiedene Grenzwerte von $(a_{n})$ . Dann ist ihr Abstand

r ≔ | g_{1} - g_{2} |

größer als 0. Legt man um $g_{1}$ und $g_{2}$ jeweils ein offenes Intervall mit dem Radius $\frac{r}{2}$ , so enthalten diese beiden $ε$ -Umgebungen keine gemeinsamen Elemente. (+)

Da aber $a_{n} \to g_{1}$ gibt es nach [5.4.2] ein $n_{1} \in ℕ^{*}$ , so dass alle Folgenglieder $a_{n}$ mit einem $n \geq n_{1}$ in der ersten Umgebung liegen müssen. Analog findet man alle Folgenglieder ab einem geeigneten $n_{2} \in ℕ^{*}$ in der zweiten Umgebung.

Setzt man nun $n^{*} ≔ \max {n_{1}, n_{2}}$ , so gehört das Folgenglied $a_{n^{*}}$ zu beiden Umgebungen gleichzeitig, im Widerspruch zu (+).

Konvergente Folgen besitzen also genau einen Grenzwert! Man darf daher ein Symbol einführen, das nur die Daten von $(a_{n})$ benutzt. Ist $a_{n} \to g$ , so sagt man g ist der Grenzwert von $(a_{n})$ und schreibt:

lim a_{n} = g

, oder deutlicher:

\lim_{n \to \infty} a_{n} = g

Die Konvergenz $\frac{2 n + 1}{n + 1} \to 2$ aus unserem Eingangsbeispiel kann man also auch so notieren:

lim \frac{2 n + 1}{n + 1} = 2

Die Frage nach der Konvergenz einer Folge berührt immer auch das Problem der Divergenz. Aus unserer Alternative [5.4.2] gewinnen wir ein brauchbares Divergenzkriterium.

Bemerkung:

$a_{n} \to g \Leftrightarrow$

in jeder

ε

-Umgebung

] g - ε, g + ε [

von g fehlen höchstens endlich viele Folgenglieder.

[5.4.4]

$a_{n} / \to g \Leftrightarrow$

es gibt eine

ε

-Umgebung

] g - ε, g + ε [

von g in der unendlich viele Folgenglieder fehlen.

[5.4.5]

Beweis:

1. ►
" $\Rightarrow$ ": Ist $] g - ε, g + ε [$ eine beliebige $ε$ -Umgebung von g, so gibt es nach [5.4.2] ein $n_{0} \in ℕ^{*}$ , so dass $a_{n} \in] g - ε, g + ε [für alle n \geq n_{0} .$ Damit können aber höchstens die Folgenglieder $a_{1}, \dots, a_{n_{0} - 1}$ - und das sind nur endlich viele - in $] g - ε, g + ε [$ fehlen.

" $\Leftarrow$ ": Sei jetzt $ε > 0$ vorgegeben. Dann fehlen in $] g - ε, g + ε [$ höchstens endlich viele Folgenglieder, etwa $a_{n_{1}}, \dots, a_{n_{k}}$ . Setzt man nun $n_{0} ≔ max {n_{1}, \dots, n_{k}} + 1$ , so müssen alle Folgenglieder $a_{n}$ mit $n \geq n_{0}$ zu $] g - ε, g + ε [$ gehören. Gemäß [5.4.2] ist damit die Konvergenz $a_{n} \to g$ sichergestellt.

2. ►
Dies ist die Negation von 1.

Die folgenden Beispiele haben für die weitere Entwicklung eine zentrale Bedeutung. Im dritten Fall wird zudem das gerade vorgestellte Kriterium für "nicht konvergent" benutzt.

Beispiel:

$\frac{1}{n} \to 0$	[5.4.6]
Denn wählt man zu gegebenem $ε > 0$ ein $n_{0} > \frac{1}{ε}$ , so gilt für alle $n \geq n_{0} :$ $n > \frac{1}{ε}$ und somit $\| \frac{1}{n} - 0 \| = \frac{1}{n} < ε$ .
$c \to c$ für jede konstante Folge $(c)$	[5.4.7]
Denn ist $ε > 0$ vorgegeben, so gilt für alle $n \geq n_{0} ≔ 1$ : $\| c - c \| = 0 < ε$
$(n)$ ist divergent	[5.4.8]
Wir müssen zeigen: keine Zahl $g \in ℝ$ übernimmt die Rolle eines Grenzwertes von $(n)$ . Nun hat aber für jedes g die Menge ${n \in ℕ^{*} \| n \geq g + 1}$ unendliche viele Elemente, d.h. in der speziellen $ε$ -Umgebung $] g - 1, g + 1 [$ fehlen unendlich viele Folgenglieder. Nach [5.4.2] bedeutet dies $n / \to g$ .

Die Divergenz der Folge $(n)$ liegt auch anschaulich auf der Hand: Die natürlichen Zahlen "laufen nach rechts weg", können sich also auf keine Stelle dauerhaft konzentrieren. Bei vielen Folgen ist die Divergenz ähnlich begründet. Das folgende Beispiel allerdings zeigt nun eine beschränkte Folge, die divergent ist. Hier tritt Divergenz ein, weil sich die Folge nicht für eine Stelle entscheiden kann.

Beispiel:

({(- 1)}^{n})

ist divergent

[5.4.9]

Beweis: Wir benutzen wieder das Kriterium [5.4.2].

In der speziellen $ε$ -Umgebung $] 1 - 1, 1 + 1 [=] 0, 2 [$ von 1 fehlen unendlich viele Folgenglieder, nämlich alle mit ungeradem Index, daher ist zunächst 1 kein Grenzwert von $({(- 1)}^{n})$ .

Ist nun g eine beliebige reelle Zahl ungleich 1, so ist $r ≔ | g - 1 | > 0$ . Da r der Abstand von g zu 1 ist, kann in $] g - r, g + r [$ die Zahl 1 nicht mehr enthalten sein. Also fehlen in dieser Umgebung ebenfalls unendlich viele Folgenglieder, und zwar alle mit geradem Index, so dass auch g nicht Grenzwert von $({(- 1)}^{n})$ ist.

Damit hat diese Folge überhaupt keinen Grenzwert, ist also divergent.

Die Konvergenz einer Folge beschreibt, wie sich die Folgenglieder "schließlich und endlich" verhalten. Darauf haben die ersten Folgenglieder natürlich keinen Einfluss, sie sind daher für das Konvergenzverhalten ohne Bedeutung. Die folgende Bemerkung präzisiert diesen Sachverhalt.

Bemerkung: Es sei $(a_{n})$ eine beliebige Folge. Dann gilt für jedes $k \in ℕ$ :

a_{n} \to g \Leftrightarrow a_{n + k} \to g

[5.4.10]

Beweis:

" $\Rightarrow$ ": Sei $ε > 0$ vorgegeben. Da $a_{n} \to g$ , gibt es ein $n_{0} \in ℕ^{*}$ , so dass $| a_{n} - g | < ε$ für alle $n \geq n_{0}$ . Da aber $n + k \geq n \geq n_{0}$ , gilt für diese n erst recht: $| a_{n + k} - g | < ε$ . Also hat man $a_{n + k} \to g$ .

" $\Leftarrow$ ": Sei wieder $ε > 0$ vorgegeben. Da jetzt $a_{n + k} \to g$ , gibt nun ein $n_{0} \in ℕ^{*}$ , so dass $| a_{n + k} - g | < ε$ für alle $n \geq n_{0}$ . Für alle $n \geq n^{*} ≔ n_{0} + k$ ist $n - k \geq n_{0}$ , also hat man: $| a_{n} - g | = | a_{n - k + k} - g | < ε$ . Damit ist die Konvergenz $a_{n} \to g$ bewiesen.

Konvergenznachweise - so haben es die bishierigen Beispiel gezeigt - bestehen im Kern stets darin, die Ungleichung $| a_{n} - g | < ε$ nach n aufzulösen. Dies kann allerdings bei komplizierteren Folgen sehr schnell zu einem nahezu unlösbaren Problem werden. Hilfreich ist jedoch die Tatsache, dass es bei einem Konvergenznachweis nicht erforderlich ist, die genannte Ungleichung äquivalent aufzulösen; es reicht vielmehr, den Abstand $| a_{n} - g |$ durch eine Abschätzung unterhalb $ε$ zu drücken. Mit einem weiteren Konvergenzbeispiel soll diese Technik einmal beleuchtet werden.

Im nächsten Abschnitt werden deutlich bequemere Hilfsmittel zur Verfügung gestellt, die in vielen Fällen einen Aufwand wie den folgenden ersetzen können.

Beispiel:

$\frac{6 n^{2} + 2 n - 1}{3 n^{2} - n} \to 2$

Beweis: Sei $ε > 0$ vorgegeben. Wählt man ein $n_{0} > \frac{2}{ε}$ , so gilt für alle $n \geq n_{0}$ :

\begin{array}{l} | \frac{6 n^{2} + 2 n - 1}{3 n^{2} - n} - 2 | & = | \frac{6 n^{2} + 2 n - 1 - 6 n^{2} + 2 n}{3 n^{2} - n} | \\ = \frac{4 n - 1}{3 n^{2} - n} \\ \leq \frac{4 n}{3 n^{2} - n} (Zähler vergrößert) \\ \leq \frac{4 n}{3 n^{2} - n^{2}} (Nenner verkleinert) \\ = \frac{4 n}{2 n^{2}} \\ = \frac{2}{n} < ε \end{array}

5.3. 5.5.