5.6. Rechenregeln für konvergente Folgen

Einerseits teilt der Konvergenzbegriff alle Folgen in zwei Sorten auf: die konvergenten und die nicht konvergenten. Andererseits hat die Menge aller Folgen eine algebraische Struktur: man kann Folgen addieren, multiplizieren usw. In dieser Situation drängt sich die Frage auf, ob die konvergenten Folgen beim Rechnen unter sich bleiben oder nicht. Die positive Antwort wird in den sogenannten Grenzwertsätzen genauer ausgeführt. Mit ihnen läßt sich das Konvergenzverhalten vieler, auch kompliziert aussehender Folgen leicht beurteilen. Außerdem, und das ist ein nicht zu unterschätzender Vorteil, ist es nicht nötig den Grenzwert einer konvergenten Folge bereits vorher zu kennen.

Satz (Grenzwertsätze): Sind

(a_{n})

und

(b_{n})

konvergente Folgen, so konvergieren auch

(a_{n}) + (b_{n}),

(a_{n}) - (b_{n})

und

(a_{n}) \cdot (b_{n}) .

Die Konvergenz von

\frac{(a_{n})}{(b_{n})}

ist an das Verhalten des Nennerlimes gebunden.

Genauer gelten die folgenden vier Aussagen:

	$a_{n} \to a \land b_{n} \to b \Rightarrow a_{n} + b_{n} \to a + b$	[5.6.1]
	$a_{n} \to a \land b_{n} \to b \Rightarrow a_{n} - b_{n} \to a - b$	[5.6.2]
	$a_{n} \to a \land b_{n} \to b \Rightarrow a_{n} \cdot b_{n} \to a \cdot b$	[5.6.3]
	$a_{n} \to a \land b_{n} \to b \Rightarrow \frac{a_{n}}{b_{n}} \to \frac{a}{b}$ , falls $b \neq 0$	[5.6.4]

Den umfangreichen Beweis notieren wir auf einer eigenen Seite.

Beachte:

In [5.6.4] sorgt die Bedingung $b \neq 0$ auch dafür, dass der Quotient wieder eine Folge (zumindest des erweiterten Typs ${(a_{n})}_{n \geq k}$ ) ist. Denn nach [5.5.4] gibt es ein $k \in ℕ^{*}$ , so dass $b_{n} \neq 0 für alle n \geq k$ .
Der vierte Grenzwertsatz [5.6.4] ist im Fall $b = 0$ nicht einsetzbar. Wie die Beispiele $\frac{(\frac{1}{n^{2}})}{(\frac{1}{n})} = (\frac{1}{n})$ und $\frac{(\frac{1}{n})}{(\frac{1}{n^{2}})} = (n)$ zeigen kann der Quotient sowohl konvergent, wie auch divergent sein.

Da konstante Folgen stets konvergent sind, steht uns der folgende Spezialfall von [5.6.3] zur Verfügung:

$a_{n} \to a \Rightarrow c \cdot a_{n} \to c \cdot a$

[5.6.5]

Mit einer weiteren Anwendung des dritten Grenzwertsatzes füllen wir unseren Grundstock an konvergenten und divergenten Folgen auf.

Bemerkung: Für alle $k \in ℕ^{*}$ und $c \in ℝ$ gilt:

	$\frac{c}{n^{k}} = c \cdot n^{- k} \to 0$	[5.6.6]
	Für $c \neq 0$ ist $(c \cdot n^{k})$ divergent	[5.6.7]

Beweis:

1. ►
Da $\frac{1}{n} \to 0$ (siehe [5.4.6]) folgt mit dem dritten Grenzwertsatz [5.6.3]

$\frac{1}{n^{k}} = \underset{k -mal}{\underset{︸}{\frac{1}{n} \cdot \dots \cdot \frac{1}{n}}} \to 0 \cdot \dots \cdot 0 = 0$

Dies ist nach [5.6.5] die Behauptung.

2. ►
Wir gehen indirekt vor und nehmen $(c \cdot n^{k})$ als konvergent an. Dann ist aber auch die Folge

$(n) = (c \cdot n^{k}) \cdot (\frac{1}{c}) \cdot (\frac{1}{n^{k - 1}})$

konvergent. Widerspruch!

Mit den geraden gewonnen Beispielfolgen lassen sich alle Folgen eines bestimmten Typs sehr leicht auf Konvergenz untersuchen. Eine solche Folge ist etwa $(\frac{6 n^{5} - 2}{3 n^{5} + n^{2}})$ . Auf den ersten Blick könnte man zweifeln, ob die Grenzwertsätze hier erfolgreich eingesetzt werden können, denn im Zähler und im Nenner stehen divergente Folgen! Mit einem kleinen "Trick" kommen wir aber dennoch zum Ziel: Wenn wir alle Folgenglieder durch $n^{5}$ kürzen, gewinnen wir eine andere Darstellung der Folge, die für unsere Zwecke wesentlich günstiger ist:

(\frac{6 n^{5} - 2}{3 n^{5} + n^{2}}) = (\frac{6 - \frac{2}{n^{5}}}{3 + \frac{1}{n^{3}}})

Jetzt nämlich steht im Zähler die Differenz und im Nenner die Summe zweier konvergenter Folgen, so dass nach dem zweiten bzw. ersten Grenzwertsatz Zähler und Nenner konvergent sind, und zwar der Zähler gegen $6 - 0 = 6$ und der Nenner gegen $3 + 0 = 3$ . Insbesondere ist damit der Nennerlimes von 0 verschieden, so dass der vierte Grenzwertsatz angewandt werden kann:

\frac{6 n^{5} - 2}{3 n^{5} + n^{2}} = \frac{6 - \frac{2}{n^{5}}}{3 + \frac{1}{n^{3}}} \to \frac{6}{3} = 2

Wir üben dieses Verfahren an weiteren Beispielen.

Beispiel:

$\frac{4 n^{3} + 2 n^{2} - 1}{3 n^{3} + 5 n} = \frac{\overset{\overset{4}{↑}}{4} + \overset{\overset{0}{↑}}{\frac{2}{n}} - \overset{\overset{0}{↑}}{\frac{1}{n^{3}}}}{\underset{\underset{3}{↓}}{3} + \underset{\underset{0}{↓}}{\frac{5}{n^{2}}}} \underset{3 \neq 0}{\to} \frac{4 + 0 - 0}{3 + 0} = \frac{4}{3}$
$\frac{3 n^{2} - n + 1}{n^{4} + 7 n^{2} - 2} = \frac{\overset{\overset{0}{↑}}{\frac{3}{n^{2}}} - \overset{\overset{0}{↑}}{\frac{1}{n^{3}}} + \overset{\overset{0}{↑}}{\frac{1}{n^{4}}}}{\underset{\underset{1}{↓}}{1} + \underset{\underset{0}{↓}}{\frac{7}{n^{2}}} - \underset{\underset{0}{↓}}{\frac{2}{n^{4}}}} \underset{1 \neq 0}{\to} \frac{0 - 0 + 0}{1 + 0 - 0} = 0$
$(\frac{n^{4}}{n^{3} + 1})$ ist divergent, denn da $(\frac{n^{3} + 1}{n^{3}}) = (1) + (\frac{1}{n^{3}})$ konvergent ist, wäre nach dem dritten Grenzwertsatz mit $(\frac{n^{4}}{n^{3} + 1})$ auch die Folge

$(\frac{n^{4}}{n^{3} + 1}) \cdot (\frac{n^{3} + 1}{n^{3}}) = (n)$

konvergent. Widerspruch!

Folgen der gerade betrachteten Art sind in ihrem Konvergenzverhalten völlig überschaubar! Entscheidend ist dabei das Verhältnis der höchsten n-Potenzen im Zähler und im Nenner:

► Steht die höchste n-Potenz ausschließlich im Zähler, so ist die Folge divergent.

► Steht die höchste n-Potenz auschließlich im Nenner, so liegt eine Nullfolge vor.

► Kommt die höchste n-Potenz gleichzeitig im Zähler und im Nenner vor, so konvergiert die Folge gegen den Quotienten der beiden entsprechenden Koeffizienten.

Aufgabe:

$\frac{2 n^{4} + 3 n - 1}{4 n^{6} + n^{2}} ? = \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{3}{n^{5}} - \frac{1}{n^{6}}}{4 + \frac{1}{n^{4}}} ? = \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{3}{n^{5}} - \frac{1}{n^{6}}}{4 + \frac{1}{n^{4}}} \underset{4 \neq 0}{\to} \frac{0 + 0 - 0}{4 + 0} = 0$
$\frac{3 n^{2} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} n^{2} + 4 n + 3} ? = \frac{3 - \frac{\sqrt{2}}{n^{2}}}{\sqrt{3} + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^{2}}} ? = \frac{3 - \frac{\sqrt{2}}{n^{2}}}{\sqrt{3} + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^{2}}} \underset{\sqrt{3} \neq 0}{\to} \frac{3 - 0}{\sqrt{3} + 0 + 0} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

5.5. 5.7.