4.1. Einführung

Definition:  A und B seien irgendzwei Mengen. Eine Menge ${\displaystyle f\subset A\times B}$ ist eine Funktion von A nach B, falls es

Beispiel:  

• ${\displaystyle f≔\{(a\mathrm{,3}),(b\mathrm{,5}),(c\mathrm{,3})\}}$ ist eine Funktion von ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ nach ${\displaystyle \{\mathrm{1,2,3,4,5}\}}$, denn jedes der drei Elemente von ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ bildet mit genau einem Element von ${\displaystyle \{\mathrm{1,2,3,4,5}\}}$ ein Paar.

  Offensichtlich hat das Element 3 zwei Urbilder, nämlich a und c. 1, 2 und 4 haben dagegen überhaupt keine Urbilder, in diesem Fall sind also Werte- und Bildbereich nicht identisch. Der Wertebereich ist "nur" die Menge ${\displaystyle \{\mathrm{3,5}\}}$.

• ${\displaystyle \{(a\mathrm{,1}),(b\mathrm{,3}),(c\mathrm{,4}),(a\mathrm{,2})\}}$ ist keine Funktion von ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ nach ${\displaystyle \{\mathrm{1,2,3,4,5}\}}$, denn dem Element a sollen hier zwei Bilder zugewiesen werden, nämlich 1 und 2.

• ${\displaystyle \{(a\mathrm{,4}),(c\mathrm{,3})\}}$ ist ebenfalls keine Funktion von ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ nach ${\displaystyle \{\mathrm{1,2,3,4,5}\}}$, denn es fehlt ein Paar der Form ${\displaystyle (b,y)}$. Da Funktionen von ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ nach ${\displaystyle \{\mathrm{1,2,3,4,5}\}}$ aus genau drei Paaren bestehen müssen, sind übrigens auch ${\displaystyle \varnothing }$ und ${\displaystyle \{a,b,c\}\times \{\mathrm{1,2,3,4,5}\}}$ keine Funktionen von ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ nach ${\displaystyle \{\mathrm{1,2,3,4,5}\}}$.

• ${\displaystyle f≔\{(n,n+2)|n\in \mathbb{N}\}\subset \mathbb{N}\times \mathbb{N}}$ ist eine Funktion von ${\displaystyle \mathbb{N}}$ nach ${\displaystyle \mathbb{N}}$, denn jeder natürlichen Zahl n ist genau eine natürliche Zahl, und zwar die um 2 größere, zugewiesen.

• Die Menge ${\displaystyle \{(n,n-2)|n\in \mathbb{N}\}}$ ist keine Funktion von ${\displaystyle \mathbb{N}}$ nach ${\displaystyle \mathbb{N}}$, denn das zu ihr gehörende Paar ${\displaystyle (\mathrm{1,}-1)}$ liegt nicht in ${\displaystyle \mathbb{N}\times \mathbb{N}}$.

Beispiel:  Statt also festzusetzen: Sei ${\displaystyle f≔\{(x,x^2-1)|x\in ℝ\}\subset {ℝ}^2}$, schreiben wir: Die Funktion

Gelegentlich will man den Zuordnungscharakter stärker betonen; man ersetzt dann die Zuordnungvorschrift ${\displaystyle f(x)≔x^2-1}$ durch das Symbol ${\displaystyle x\mapsto x^2-1}$ (gelesen: "x geht auf ${\displaystyle x^2-1}$").

Wir berechnen nun einige Funktionswerte, und zwar durch Einsetzen. So ist z.B.

Das Ermitteln von Urbildern führt zu einer anderen Aufgabenstellung: Die Frage etwa, ob die Zahl 15 Urbilder besitzt, führt zur Suche nach Zahlen x, so dass ${\displaystyle f(x)=15}$ gilt, also zur Gleichung ${\displaystyle x^2-1=15}$, die man zu ${\displaystyle x=4\vee x=-4}$ löst. 15 besitzt damit zwei Urbilder, nämlich 4 und −4. Die Gleichung ${\displaystyle x^2-1=-2}$ dagegen hat keine Lösung, −2 also auch keine Urbilder. Andererseits aber gehört −2 zum angegebenen Bildbereich, so dass in diesem Fall Bild- und Wertebereich auseinander fallen.

Welchen Wertebereich aber besitzt die Funktion f ? Da ${\displaystyle x^2}$ stets positiv ist, hat man zunächst für alle Funktionswerte:

also ist der Wertebereich eine Teilmenge von ${\displaystyle {ℝ}^{\ge -1}}$. Ist nun andererseits y irgendein Element von ${\displaystyle {ℝ}^{\ge -1}}$, also ${\displaystyle y\ge -1}$, so kann man aus ${\displaystyle y+1}$ die Wurzel ziehen. Folgt:

y ist also als Funktionswert darstellbar. Damit ist der Wertebereich auch eine Obermenge von ${\displaystyle {ℝ}^{\ge -1}}$, und somit gleich ${\displaystyle {ℝ}^{\ge -1}}$.

Schließlich fertigen wir eine Skizze der Funktion f an. Dazu erstellen wir zunächst eine Wertetabelle:

${\displaystyle \begin{array}{cccccccc}x& -3& -2& -1& 0& 1& 2& 3\\ x^2-1& 8& 3& 0& -1& 0& 3& 8\end{array}}$

und tragen die so gewonnenen Daten in die nebenstehende Skizze ein. Durch Klicken auf die Zeiger kann man nun die Anzahl der eingetragenen Punkte verändern und so die Entstehung des Graphen simulieren.

Beispiel:  

• Die Funktion ${\displaystyle f:{ℝ}^2\to ℝ}$ sei gegeben durch

  ${\displaystyle f(x,y)≔x^2+y^2}$.

  f ordnet jedem Zahlenpaar ${\displaystyle (x,y)}$ das Entfernungsquadrat seines Abstands zum Ursprung zu, also z.B:

  ${\displaystyle \begin{array}{cccccccc}(x,y)& (\mathrm{0,0})& (\mathrm{1,2})& (-\mathrm{2,3})& (\mathrm{3,4})& (-\mathrm{1,}-1)& (x\mathrm{,0})& (\mathrm{0,}y)\\ x^2+y^2& 0& 5& 13& 25& 2& x^2& y^2\end{array}}$

  Der Graph von f ist eine Fläche im ${\displaystyle {ℝ}^3}$.

  i
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  ${\displaystyle f(x,y)=x^2+y^2}$ Display by JavaView

Beispiel:  

• Die Funktionen ${\displaystyle s_1,s_2:{ℝ}^2\to ℝ}$ definieren wir durch

  ${\displaystyle \begin{array}{l}{s}_1(x,y)≔x+y\hfill \\ s_2(x,y)≔x\cdot y\hfill \end{array}}$

  Da + und · kommutativ sind, ist die Symmetrie von ${\displaystyle s_1}$ und ${\displaystyle s_2}$ gewährleistet. Wir notieren eine kleine Wertetabelle und sehen uns die Graphen an:

  ${\displaystyle \begin{array}{cccccccc}(x,y)& (\mathrm{0,0})& (\mathrm{1,2})& (\mathrm{2,1})& (-\mathrm{5,3})& (\mathrm{0,}x)& (x,x)& (x,-x)\\ x+y& 0& 3& 3& -2& x& 2x& 0\\ x\cdot y& 0& 2& 2& -15& 0& x^2& -x^2\end{array}}$

  i Linke Maustaste: Rotieren Rechte Maustaste: Kontextmenü ${\displaystyle s_1(x,y)=x+y}$ Display by JavaView  i Linke Maustaste: Rotieren Rechte Maustaste: Kontextmenü ${\displaystyle s_2(x,y)=x\cdot y}$ Display by JavaView

  ${\displaystyle s_1}$ und ${\displaystyle s_2}$ spielen im Zusammenhang mit dem Satz von Viëta eine interessante Rolle, man kann sie nämlich zu seiner Formulierung verwenden:

  a und b lösen die Gleichung ${\displaystyle x^2+px+q=0\iff p=-s_1(a,b)\wedge q=s_2(a,b)}$.

  Der Vorteil dieser ungewöhnlichen, "komplizierteren" Darstellung des Viëtaschen Satzes ist ihre Erweiterbarkeit. In einem Exkurs ist das ausführlich dargestellt.

Beispiel:  

• Für die Funktion ${\displaystyle f:{ℝ}^2\to {ℝ}^3}$, gegeben durch

  ${\displaystyle f(x,y)≔(x+y,x-y,x\cdot y)}$,

  erhalten wir die folgende Wertetabelle:

  ${\displaystyle \begin{array}{ccccccc}(x,y)& (\mathrm{0,0})& (\mathrm{1,}-1)& (-\mathrm{2,3})& (x,x)& (x\mathrm{,0})& (\mathrm{0,}y)\\ f(x,y)& (\mathrm{0,0,0})& (\mathrm{0,2,}-1)& (\mathrm{1,}-\mathrm{5,}-6)& (2x\mathrm{,0,}{x}^2)& (x,x\mathrm{,0})& (y,-y\mathrm{,0})\end{array}}$

  f ist eine Teilmenge des ${\displaystyle {ℝ}^5}$, an eine Skizze des Graphen ist also nicht zu denken.

  
   

• Funktionen zwischen den komplexen Zahlen lassen sich überhaupt nicht graphisch darstellen. Wir betrachten die komplexe Quadratfunktion ${\displaystyle f:ℂ\to ℂ}$, gegeben duch

  ${\displaystyle f(z)≔z^2}$,  bzw.  ${\displaystyle f(x+yi)≔x^2-y^2+2xyi}$

  und berechnen einige Funktionswerte:

   

• Wir ordnen jeder nicht-leeren Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb{N}}$, also den nicht-leeren Elementen der Potenzmenge

  i

  Die Potenzmenge einer Menge M ist die Gesamtheit aller Teilmengen von M. Also: ${\displaystyle \mathcal{𝒫}(M)=\{A|A\subset M\}}$. In einer Mengenlehre mit Potenzmengenaxiom ist ${\displaystyle \mathcal{𝒫}(M)}$ wieder eine Menge und es gilt die Äquivalenz ${\displaystyle A\in \mathcal{𝒫}(M)\iff A\subset M}$. So ist etwa ${\displaystyle \mathcal{𝒫}(\{a,b\})=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\left\}\right\}}$. Man beachte, dass die Aussage ${\displaystyle \varnothing ,M\in \mathcal{𝒫}(M)}$ stets zutrifft.

   von ${\displaystyle \mathbb{N}}$, das kleinste in ihr enthaltene Element zu. Da ${\displaystyle \mathbb{N}}$ durch die Relation ${\displaystyle \le }$ total geordnet ist, besitzt jedes ${\displaystyle A\subset \mathbb{N},A\ne \varnothing }$, genau ein kleinstes Element, d.h. durch die Festsetzung

  ${\displaystyle f(A)≔\min A}$

  ist eine Funktion ${\displaystyle f:\mathcal{𝒫}{(\mathbb{N})}^{\ne \varnothing }\to \mathbb{N}}$ gegeben. Hier ein kleiner Überblick:

  ${\displaystyle \begin{array}{ccccc}A& \{\mathrm{6,3,7,5}\}& \mathbb{N}& \{n\in \mathbb{N}|n>138\}& \{n\in \mathbb{N}|n^2>50\}\\ f(A)& 3& 0& 139& 8\end{array}}$

  Da das Minimum von A stets Element von A ist, besitzt die Funktion f die Eigenschaft:

  ${\displaystyle f(A)\in A}$

  für jede nicht-leere Teilmenge A von ${\displaystyle \mathbb{N}}$. f wählt also in einer bestimmten Weise, nämlich über die Bildung des Minimums, aus jedem A ein Element aus. f nennt man deshalb auch eine Auswahlfunktion für ${\displaystyle \mathbb{N}}$.

  Die Frage, ob jede Menge M eine Auswahlfunktion besitzt, ist nicht trivial und letztlich nur über ein Axiom zu entscheiden: Betreibt man eine Mengenlehre mit Auswahlaxiom, so gibt es zu jeder Menge eine Auswahlfunktion. In anderen Mengenlehren ist dies falsch.