Beispiele zum Lagrange-Verfahren

It looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com Wir üben den Einsatz des Lagrange-Verfahrens. Dazu geben wir

n + 1

Knoten

(x_{0}, y_{0}), \dots, (x_{n}, y_{n})

vor, stellen die dazu gehörigen Lagrangeschen Grundpolynome

l_{k} = \frac{(X - x_{0}) \cdot \dots \cdot (X - x_{k - 1}) \cdot (X - x_{k + 1}) \cdot \dots \cdot (X - x_{n})}{(x_{k} - x_{0}) \cdot \dots \cdot (x_{k} - x_{k - 1}) \cdot (x_{k} - x_{k + 1}) \cdot \dots \cdot (x_{k} - x_{n})}

auf und ermitteln anschließend das Lagrangesche Interpolationspolynom $p = y_{0} l_{0} + \dots + y_{n} l_{n}$ .

Beispiel:

Für die vorgegebenen Knoten (2 , 4) , (6 , 6) ist

$\begin{array}{l} l_{0} = \frac{X - 6}{2 - 6} = - \frac{1}{4} (X - 6) \\ l_{1} = \frac{X - 2}{6 - 2} = \frac{1}{4} (X - 2) . \end{array}$

Damit hat man: $p = 4 l_{0} + 6 l_{1} = - \frac{4}{4} (X - 6) + \frac{6}{4} (X - 2) = \frac{1}{2} X + 3$ .
Für die vorgegebenen Knoten (0 , 2) , (1 , 4) , (−1 , 6) ist

$\begin{array}{l} l_{0} = \frac{(X - 1) \cdot (X + 1)}{(0 - 1) \cdot (0 + 1)} = - (X^{2} - 1) \\ l_{1} = \frac{(X - 0) \cdot (X + 1)}{(1 - 0) \cdot (1 + 1)} = \frac{1}{2} (X^{2} + X) \\ l_{2} = \frac{(X - 0) \cdot (X - 1)}{(- 1 - 0) \cdot (- 1 - 1)} = \frac{1}{2} (X^{2} - X) . \end{array}$

Also: $p = 2 l_{0} + 4 l_{1} + 6 l_{2} = - 2 (X^{2} - 1) + \frac{4}{2} (X^{2} + X) + \frac{6}{2} (X^{2} - X) = 3 X^{2} - X + 2$ .
Für die vorgegebenen Knoten (1 , 1) , (2 , 2) , (3 , 3) ist

$\begin{array}{l} l_{0} = \frac{(X - 2) \cdot (X - 3)}{(1 - 2) \cdot (1 - 3)} = \frac{1}{2} (X^{2} - 5 X + 6) \\ l_{1} = \frac{(X - 1) \cdot (X - 3)}{(2 - 1) \cdot (2 - 3)} = - (X^{2} - 4 X + 3) \\ l_{2} = \frac{(X - 1) \cdot (X - 2)}{(3 - 1) \cdot (3 - 2)} = \frac{1}{2} (X^{2} - 3 X + 2) . \end{array}$

Also: $p = l_{0} + 2 l_{1} + 3 l_{2} = \frac{1}{2} (X^{2} - 5 X + 6) - 2 (X^{2} - 4 X + 3) + \frac{3}{2} (X^{2} - 3 X + 2) = X$ .

Mit dem folgenden Formular lässt sich das Lagrangesche Interpolationspolynom zu einem beliebigen Knotensatz ermitteln. Zunächst gibt man die Knoten der Reihe nach ein (Knoten sind nach Anklicken korrigier- bzw. löschbar):

diesen Knoten mit ↲ oder Klick speichern.

Anschließend können die Lagrangeschen Grundpolynome $l_{k}$ und das Interpolationspolynom p per Klick auf →Ergebnis abgerufen werden.

Mit dem Lagrange-Verfahren lassen sich zwei vertraute Eigenschaften linearer Funktionen neu beweisen.

Bemerkung:

Zu jedem Punkt $(x, c)$ gibt es genau eine konstante Funktion, die durch $(x, c)$ geht.	[4.0.6]
Zu je zwei Punkten $(x_{1}, y_{1})$ und $(x_{2}, y_{2})$ mit unterschiedlichen x-Werten gibt es genau eine lineare Funktion die durch $(x_{1}, y_{1})$ und $(x_{2}, y_{2})$ geht.	[4.0.7]

Beweis:

1. ► Beachtet man die Konvention, dass ein Produkt aus 0 Faktoren gleich 1 ist, so gilt für das erste (und einzige) Lagrangesche Grundpolynom: $l_{0} = 1$ . Also ist $p = c \cdot 1 = c$ .

2. ► Mit $l_{0} = \frac{X - x_{2}}{x_{1} - x_{2}}$ und $l_{1} = \frac{X - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ ergibt sich die sog. 2-Punkte-Form:

p = y_{1} l_{0} + y_{2} l_{1} = y_{1} \frac{X - x_{2}}{x_{1} - x_{2}} + y_{2} \frac{X - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} X + \frac{y_{1} x_{2} - y_{2} x_{1}}{x_{2} - x_{1}}

Durch Umformen des letzten Summanden

\frac{y_{1} x_{2} - y_{2} x_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y_{1} x_{2} - y_{2} x_{2} + y_{2} x_{2} - y_{2} x_{1}}{x_{2} - x_{1}} = - \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} x_{2} + y_{2}

erhalten wir eine kompakte Darstellung der 2-Punkte Form, die sich leichter merken lässt:

p = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} (X - x_{2}) + y_{2}

Gelegentlich benutzt man die Lagrangesche Methode um eine andere Funktionen f durch Polynome zu interpolieren. Als Knoten wählt man dabei Graphenpunkte von f, also Punkte der Form

(x_{0}, f (x_{0})), \dots, (x_{n}, f (x_{n}))

Dabei wird die gewünschte Interpolation (möglicherweise) um so besser sein, je mehr Knotenpunkte ausgewählt wurden.

Als Beispiel ermitteln wir für die Betragsfunktion $| X |$ zwei Interpolationspolynome, eins für drei und eins für fünf Knoten. Wir beginnen mit den drei Knoten (−1 , | −1 |) , (0 , | 0 |) , (1 , | 1 |), also mit (−1 , 1) , (0 , 0) , (1 , 1):

\begin{array}{l} l_{0} = \frac{(X - 0) \cdot (X - 1)}{(- 1 - 0) \cdot (- 1 - 1)} = \frac{1}{2} (X^{2} - X) \\ l_{1} = \frac{(X + 1) \cdot (X - 1)}{(0 + 1) \cdot (0 - 1)} = - (X^{2} - 1) \\ l_{2} = \frac{(X + 1) \cdot (X - 0)}{(1 + 1) \cdot (1 - 0)} = \frac{1}{2} (X^{2} + X) \end{array}

Daraus erhält man das erste Interpolationspolynom (für drei Knoten):

p_{3} = l_{0} + 0 l_{1} + l_{2} = X^{2}

Im zweiten Schritt fügen wir $(- \frac{1}{2}, | - \frac{1}{2} |)$ und $(\frac{1}{2}, | \frac{1}{2} |)$ als weitere Knoten ein . Wir gehen also aus von $(- 1,1), (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (0,0), (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (1,1)$ :

\begin{array}{l} l_{0} = \frac{(X + \frac{1}{2}) \cdot (X - 0) \cdot (X - \frac{1}{2}) \cdot (X - 1)}{(- 1 + \frac{1}{2}) \cdot (- 1 - 0) \cdot (- 1 - \frac{1}{2}) \cdot (- 1 - 1)} = \frac{2}{3} (X^{4} - X^{3} - \frac{1}{4} X^{2} + \frac{1}{4} X) \\ l_{1} = \frac{(X + 1) \cdot (X - 0) \cdot (X - \frac{1}{2}) \cdot (X - 1)}{(- \frac{1}{2} + 1) \cdot (- \frac{1}{2} - 0) \cdot (- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{1}{2} - 1)} = - \frac{8}{3} (X^{4} - \frac{1}{2} X^{3} - X^{2} + \frac{1}{2} X) \\ l_{2} = \frac{(X + 1) \cdot (X + \frac{1}{2}) \cdot (X - \frac{1}{2}) \cdot (X - 1)}{(0 + 1) \cdot (0 + \frac{1}{2}) \cdot (0 - \frac{1}{2}) \cdot (0 - 1)} = 4 (X^{4} - \frac{5}{4} X^{2} + \frac{1}{4}) \\ l_{3} = \frac{(X + 1) \cdot (X + \frac{1}{2}) \cdot (X - 0) \cdot (X - 1)}{(\frac{1}{2} + 1) \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2} - 0) \cdot (\frac{1}{2} - 1)} = - \frac{8}{3} (X^{4} + \frac{1}{2} X^{3} - X^{2} - \frac{1}{2} X) \\ l_{4} = \frac{(X + 1) \cdot (X + \frac{1}{2}) \cdot (X - 0) \cdot (X - \frac{1}{2})}{(1 + 1) \cdot (1 + \frac{1}{2}) \cdot (1 - 0) \cdot (1 - \frac{1}{2})} = \frac{2}{3} (X^{4} + X^{3} - \frac{1}{4} X^{2} - \frac{1}{4} X) \end{array}

Damit berechnet sich das zweite Interpolationspolynom (für fünf Knoten) zu:

p_{5} = l_{0} + \frac{1}{2} l_{1} + 0 l_{2} + \frac{1}{2} l_{3} + l_{4} = - \frac{4}{3} X^{4} + \frac{7}{3} X^{2}

In der folgenden Skizze sind beide Interpolationspolynome und die Betragsfunktion eingezeichnet. Einerseits erkennt man deutlich, dass $p_{5}$ sich besser an die Betragsfunktion anschmiegt als $p_{3}$ , andererseits wird aber auch klar, dass außerhalb von [-1,1] beide Interpolationspolynome nur noch sehr wenig mit $| X |$ zu tun haben. Verbesserungen wird man durch Erhöhen der Knotenzahl und durch Ausweiten des Knotenbereichs erwarten können; der Aufwand jedoch, das macht die Herleitung von $p_{5}$ bereits klar, wird dabei erheblich ansteigen.