8.11. Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung

Definition:  Ist ${\displaystyle g:ℝ\to ℝ}$ eine Funktion und ${\displaystyle a\in ℝ}$, so nennen wir die Gleichung

eine (normierte) lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten (über ${\displaystyle ℝ}$).

Unter einer Lösung dieser Gleichung verstehen wir eine auf ${\displaystyle ℝ}$ differenzierbare Funktion f, also ${\displaystyle f\in {\mathcal{D}}^1(ℝ)}$, die die Gleichung [8.11.1] erfüllt.

Ist speziell die rechte Seite ${\displaystyle g=0}$, so nennt man die Gleichung [8.11.1] homogen.

Bemerkung:  Für jede ${\displaystyle {\mathcal{D}}^1}$-Funktion f gilt:

Beweis:

"${\displaystyle \Rightarrow }$":  Wir arbeiten mit einem kleinen Trick und berechnen zunächst die Ableitung der differenzierbaren Funktion ${\displaystyle \frac{f}{e^{-a\mathrm{X}}}}$ gemäß Quotienten- und Kettenregel:

Nach [7.9.7], einer Folgerung aus dem Mittelwertsatz, ist damit die auf dem Intervall ${\displaystyle ℝ}$ definierte Funktion ${\displaystyle \frac{f}{e^{-a\mathrm{X}}}}$ konstant: ${\displaystyle \frac{f}{e^{-a\mathrm{X}}}=c}$. Folgt:

Offensichtlich ist dabei ${\displaystyle f(0)=c\cdot e^{-a\cdot 0}=c}$.

"${\displaystyle \Leftarrow }$":  Ist ${\displaystyle f=f(0)\cdot e^{-a\mathrm{X}}}$, so hat man:

Bemerkung:  Für jedes ${\displaystyle c\in ℝ}$ hat die homogene Gleichung ${\displaystyle f^{\prime }+af=0}$ unter der Anfangsbedingung ${\displaystyle f(0)=c}$ genau eine Lösung:

Beweis:  Die Behauptung folgt direkt aus [8.11.2], und zwar über die Äquivalenz:

Beispiel:  

• ${\displaystyle f^{\prime }+3f=0\wedge f(0)=5\iff f=5\cdot e^{-3\mathrm{X}}}$

• ${\displaystyle f^{\prime }-7f=0\wedge f(2)=-4\iff f=-4\cdot e^{7(\mathrm{X}-2)}}$

• ${\displaystyle f^{\prime }+f=0\wedge f(-8)=2\iff f=2\cdot e^{-(\mathrm{X}+8)}}$

Bemerkung:  Ist s eine Stammfunktion zur integrierbaren Funktion ${\displaystyle r\in \mathcal{I}(ℝ)}$ und ${\displaystyle b\in ℝ}$, so gilt für ${\displaystyle c≔b\cdot e^{s(0)}}$:

Beweis:  ?

"${\displaystyle \Rightarrow }$":  Da ${\displaystyle (\frac{f}{e^{-s}}{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }\cdot e^{-s}+rf\cdot e^{-s}}{e^{-2s}}=\frac{f^{\prime }+rf}{e^{-s}}=0}$, ist die auf ${\displaystyle ℝ}$ differenzierbare Funktion ${\displaystyle \frac{f}{e^{-s}}}$ konstant. Es gibt also ein k, so dass

Aus ${\displaystyle b=f(0)=k\cdot e^{-s(0)}}$ folgt schließlich: ${\displaystyle k=b\cdot e^{s(0)}=c}$.

"${\displaystyle \Leftarrow }$":  Ist ${\displaystyle f=c\cdot e^{-s}}$, so hat man:

und: ${\displaystyle f(0)=c\cdot e^{-s(0)}=b\cdot e^{s(0)}\cdot e^{-s(0)}=b}$.

Bemerkung:  Für jede stetige Funktion ${\displaystyle g:ℝ\to ℝ}$ gilt:

Beweis:  Nach [8.10.9] ist ${\displaystyle (e^{-a\mathrm{X}}\ast g{)}^{\prime }=g-a\cdot e^{-a\mathrm{X}}\ast g}$, also:

Damit können wir unsere Behauptung auf [8.11.2] zurück führen (beachte dabei auch [8.10.2]):

Bemerkung:  Für jedes ${\displaystyle c\in ℝ}$ und jede stetig Funktion g hat die inhomogene Gleichung ${\displaystyle f^{\prime }+af=g}$ unter der Anfangsbedingung ${\displaystyle f(0)=c}$ genau eine Lösung:

Beweis:  Ähnlich wie in [8.11.3] genügt hier ebenfalls der Hinweis auf die Äquivalenz

Beispiel:  

•  

  ${\displaystyle \begin{array}{ll}\hfill & f^{\prime }+5f=e^{2\mathrm{X}}\wedge f(0)=0\hfill \\ \iff \hfill & f=e^{-5\mathrm{X}}\ast e^{2\mathrm{X}}=\frac{1}{7}(e^{2\mathrm{X}}-e^{-5\mathrm{X}})\hfill \end{array}}$

  Faltungsprodukt berechnen  ►

  i

  ${\displaystyle \begin{array}{ll}{e}^{-5\mathrm{X}}\ast e^{2\mathrm{X}}(x)\hfill & =\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-5(x-\mathrm{X})}\cdot e^{2\mathrm{X}}\hfill \\ \hfill & =e^{-5x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{7\mathrm{X}}\hfill \\ \hfill & =e^{-5x}\cdot \frac{1}{7}{e}^{7\mathrm{X}}{|}_0^x\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{7}{e}^{-5x}(e^{7x}-1)\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{7}(e^{2x}-e^{-5x})\hfill \end{array}}$

•  

  ${\displaystyle \begin{array}{ll}\hfill & f^{\prime }+f=\mathrm{X}\wedge f(0)=-3\hfill \\ \iff \hfill & f=-3\cdot e^{-\mathrm{X}}+e^{-\mathrm{X}}\ast \mathrm{X}=-3\cdot e^{-\mathrm{X}}+\mathrm{X}-1+e^{-\mathrm{X}}=-2\cdot e^{-\mathrm{X}}+\mathrm{X}+1\hfill \end{array}}$

  Faltungsprodukt berechnen  ►

  i

  ${\displaystyle \begin{array}{lll}{e}^{-\mathrm{X}}\ast \mathrm{X}(x)\hfill & =\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-(x-\mathrm{X})}\cdot \mathrm{X}\hfill & \hfill \\ \hfill & =e^{-x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{\mathrm{X}}\cdot \mathrm{X}\hfill & \hfill \\ \hfill & =e^{-x}(e^{\mathrm{X}}\cdot \mathrm{X}{|}_0^x-\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{\mathrm{X}})\hfill & \begin{array}{l}\text{partielle}\\ \text{Integration}\end{array}\hfill \\ \hfill & =e^{-x}(e^x\cdot x-e^x+1)\hfill & \hfill \\ \hfill & =x-1+e^{-x}\hfill & \hfill \end{array}}$

•  

  ${\displaystyle \begin{array}{ll}\hfill & f^{\prime }+2f=\sin \wedge f(3)=1\hfill \\ \iff \hfill & f=e^{-2(\mathrm{X}-3)}+(e^{-2\mathrm{X}}\ast (\sin \circ (\mathrm{X}+3)))\circ (\mathrm{X}-3)\hfill \\ \hfill & =e^{-2(\mathrm{X}-3)}+(\frac{2}{5}(\sin \circ (\mathrm{X}+3)-\sin (3)\cdot e^{-2\mathrm{X}})\hfill \\ \hfill & -\frac{1}{5}(\cos \circ (\mathrm{X}+3)-\cos (3)\cdot e^{-2\mathrm{X}}))\circ (\mathrm{X}-3)\hfill \\ \hfill & =e^{-2(\mathrm{X}-3)}+\frac{2}{5}(\sin -\sin (3)\cdot e^{-2(\mathrm{X}-3)})-\frac{1}{5}(\cos -\cos (3)\cdot e^{-2(\mathrm{X}-3)})\hfill \\ \hfill & =\frac{2}{5}\sin -\frac{1}{5}\cos +\frac{5-2\sin (3)+\cos (3)}{5}\cdot e^{-2(\mathrm{X}-3)}\hfill \end{array}}$

  Faltungsprodukt berechnen  ►

  i

  Wir integrieren zweimal partiell und erhalten zunächst: ${\displaystyle \begin{array}{ll}\hfill & e^{-2\mathrm{X}}\ast \sin \circ (\mathrm{X}+3)(x)\hfill \\ =\hfill & \underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-2(x-\mathrm{X})}\cdot \sin (\mathrm{X}+3)\hfill \\ =\hfill & \frac{1}{2}\cdot e^{-2(x-\mathrm{X})}\cdot \sin (\mathrm{X}+3){|}_0^3-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-2(x-\mathrm{X})}\cdot \cos (\mathrm{X}+3)\hfill \\ =\hfill & \frac{1}{2}\cdot e^{-2(x-\mathrm{X})}\cdot \sin (\mathrm{X}+3){|}_0^3-\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\cdot e^{-2(x-\mathrm{X})}\cdot \cos (\mathrm{X}+3){|}_0^x+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-2(x-\mathrm{X})}\cdot \sin (\mathrm{X}+3))\hfill \\ =\hfill & \frac{1}{2}\cdot e^{-2(x-\mathrm{X})}\cdot \sin (\mathrm{X}+3){|}_0^3-\frac{1}{4}\cdot e^{-2(x-\mathrm{X})}\cdot \cos (\mathrm{X}+3){|}_0^x-\frac{1}{4}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-2(x-\mathrm{X})}\cdot \sin (\mathrm{X}+3)\hfill \end{array}}$ Damit ergibt sich: ${\displaystyle \begin{array}{ll}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-2(x-\mathrm{X})}\cdot \sin (\mathrm{X}+3)\hfill & =\frac{4}{5}(\frac{1}{2}\cdot e^{-2(x-\mathrm{X})}\cdot \sin (\mathrm{X}+3){|}_0^x-\frac{1}{4}\cdot e^{-2(x-\mathrm{X})}\cdot \cos (\mathrm{X}+3){|}_0^x)\hfill \\ \hfill & =\frac{2}{5}(\sin (x+3)-e^{-2x}\cdot \sin (3))-\frac{1}{5}(\cos (x+3)-e^{-2x}\cdot \cos (3))\hfill \end{array}}$

Bemerkung:  Ist f eine Lösung der Gleichung ${\displaystyle f^{\prime }+af=g}$, so gilt für jedes ${\displaystyle n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$:

Beweis:  3. ist eine direkte Folgerung aus 1. Die Aussagen 1. und 2. beweisen wir simultan per Induktion und beachten dabei die Gleichung

• "${\displaystyle n=1}$":  Als Lösung der Differentialgleichung ${\displaystyle f^{\prime }+af=g}$ ist f differenzierbar. Ist nun g eine ${\displaystyle {\mathcal{D}}^1}$-Funktion, so trifft dies nach [2] auch auf ${\displaystyle f^{\prime }}$ zu, wobei

  ${\displaystyle f^{″}=g^{\prime }-a{f}^{\prime }}$.

  Insbesondere ist ${\displaystyle f^{\prime }}$ stetig, so dass auch ${\displaystyle f^{″}}$ stetig ist, falls g eine ${\displaystyle {\mathcal{C}}^1}$-Funktion ist. Also ist f eine ${\displaystyle {\mathcal{D}}^2/{\mathcal{C}}^2}$-Funktion.

• "${\displaystyle n\Rightarrow n+1}$":  Sei jetzt g eine ${\displaystyle {\mathcal{D}}^{n+1}/{\mathcal{C}}^{n+1}}$-Funktion, also erst recht eine ${\displaystyle {\mathcal{D}}^n/{\mathcal{C}}^n}$-Funktion. Gemäß Induktionsvoraussetzung ist f dann (${\displaystyle n+1}$)-mal (stetig) differenzierbar, wobei nach [2]

  ${\displaystyle f^{(n+1)}=g^{(n)}-a{f}^{(n)}}$.

  Damit aber ist ${\displaystyle f\in {\mathcal{D}}^{n+2}/{\mathcal{C}}^{n+2}(ℝ)}$ gesichert, denn ${\displaystyle g^{(n)}}$ ist eine ${\displaystyle {\mathcal{D}}^1/{\mathcal{C}}^1}$-Funktion.