8.2. Integrale

Die im ersten Abschnitt eingeführten Stammfunktionen sind durch die vorgegebene integrierbare Funktion nicht eindeutig bestimmt. Auf Intervallen aber unterscheiden sich nach [8.1.2] zwei Stammfunktionen zu f nur durch eine additive Konstante (eine Folgerung aus dem Mittelwertsatz!), so dass dieser Unterschied bei der Differenz zweier Funktionswerte verschwindet. Diese Beobachtung ist für die jetzt einzuführenden Integrale von entscheidender Bedeutung. Die weiteren Ausführungen beziehen sich auf ein beliebig vorgegebenes Intervall I.

Definition und Bemerkung: Es sei f eine integrierbare Funktion auf I, also

f \in I (I)

, und g irgendeine Stammfunktion zu f. Sind

a, b \in I

zwei beliebige Zahlen aus I, so hängt die Zahl

\int_{a}^{b} f ≔ g |_{a}^{b} ≔ g (b) - g (a)

[8.2.1]

nicht von der Wahl der Stammfunktion g ab.

Wir nennen sie das (bestimmte) Integral über f von a bis b. Den Ausdruck $g |_{a}^{b}$ lesen wir als "g in den Grenzen a b". a und b nennen wir daher auch die Integrationsgrenzen des Integrals [8.2.1]. f selbst ist in diesem Zusammenhang der Integrand.

Beweis: Sind $g_{1}$ und $g_{2}$ zwei Stammfunktionen zu f, so unterscheiden sie sich nach [8.1.2] nur durch eine Konstante. Es gibt also ein c, so dass $g_{1} = g_{2} + c$ . Man hat daher:

\begin{array}{l} g_{1} |_{a}^{b} & = g_{1} (b) - g_{1} (a) \\ = (g_{2} + c) (b) - (g_{2} + c) (a) \\ = g_{2} (b) + c - g_{2} (a) - c \\ = g_{2} (b) - g_{2} (a) \\ = g_{2} |_{a}^{b} \end{array}

Beachte:

Stetige Funktionen auf Intervallen sind integrierbar ([8.1.5]). Also existiert das Integral $\int_{a}^{b} f$ für jedes $f \in C^{0} (I)$ .
Der Ausdruck "bestimmtes" Integral deutet an, dass bei der Berechnung eine gefundene Stammfunktion an festen Grenzen a und b auszuwerten ist. Bei einem unbestimmten Integral wird man diese Rechnung auslassen, so dass man mit dem Symbol $\int_{}^{} f$ , oftmals auch $\int_{} f + c$ , einfach eine Stammfunktion zu f meint. Der Hauptsatz [8.2.12] zeigt allerdings, dass diese Schreibweise auch inhaltlich verstanden werden kann.
Zur Einsparung von Klammern vereinbaren wir, dass die Operatoren $\int_{a}^{b}$ und $|_{a}^{b}$ stärker als die Rechenoperationen binden sollen. Wir schreiben also z.B.

$\int_{2}^{5} 3 X^{2} + 2 X = X^{3} + X^{2} |_{2}^{5}$ statt $\int_{2}^{5} (3 X^{2} + 2 X) = (X^{3} + X^{2}) |_{2}^{5}$

Häufig wird das Integral [8.2.1] auch in der Form $\int_{a}^{b} f (x) d x$ bzw. $\int_{a}^{b} f d X$ notiert. Diese Schreibweise hat ihren Ursprung in einem alternativen Konzept zur Einführung der Integrale, bei dem die Flächenmessung im Vordergrund steht (wir gehen auf diesen Aspekt in 8.4 ein) und hat hier nur eine symbolische Bedeutung.

Darüber hinaus aber versteht man unter $f (x) d x$ bzw. $f d X$ auch ein neues Objekt, eine sog. Differentialform
i

In diesem Fall handelt es sich um Differentialformen vom Grad 1, die wir folgendermaßen einführen: Ist für jedes $x \in I$ $ω_{x} : ℝ \to ℝ$ eine lineare Funktion, also

$ω_{x} (α r + β s) = α ω_{x} (r) + β ω_{x} (s)$ für alle $r, s, α, β \in ℝ$

(man sagt auch: ein Homomorphismus, bzw. ein Element von $H o m (ℝ, ℝ)$ ), so nennen wir die Funktion $ω : I \to I \times H o m (ℝ, ℝ)$ mit

$ω (x) = (x, ω_{x})$

eine Differentialform vom Grad 1 auf I (kurz: eine 1-Form auf I). Eine differenzierbare Funktion $g \in D^{1} (I)$ erzeugt in natürlicher Weise eine 1-Form $d g : x \mapsto (x, d_{x} g)$ , denn für jedes $x \in I$ ist durch

$d_{x} g (r) ≔ g^{'} (x) \cdot r$

ein Homomorphismus gegeben. $d g$ nennen wir das Differential von g und $d_{x} g$ das Differential von g in x. Für X etwa ist $d_{x} X = X$ , denn:

$d_{x} X (r) = X^{'} (x) \cdot r = 1 \cdot r = r$ .

Mit $ω_{x}$ sind auch die Vielfachen von $ω_{x}$ Homomorphismen, so dass für eine beliebige Funktion $f : I \to ℝ$ durch $f \cdot ω (x) ≔ (x, f (x) \cdot ω_{x})$ die Differentialform $f \cdot ω$ erklärt ist. Für ein integrierbares f ist also z.B.

$f d X$

eine integrierbare Differentialform mit $f d X (x) = (x, f (x) \cdot X)$ .

. Die Definition [8.2.1] führt dann das Integral über die Differentialform $f d X$ ein und die Schreibweise $\int_{a}^{b} f d X$ hat jetzt eine inhaltliche Bedeutung.

Beispiel:

$\int_{a}^{b} 1 = X |_{a}^{b} = X (b) - X (a) = b - a$
Im Fall $a < b$ berechnet das Integral über 1 also stets die Länge des Integrationsintervalls!
$\int_{- 1}^{2} X^{2} - 3 = \frac{1}{3} X^{3} - 3 X |_{- 1}^{2} = \frac{8}{3} - 6 - (- \frac{1}{3} + 3) = - 6$
$\int_{0}^{- π} \sin = - \cos |_{0}^{- π} = - \cos (- π) - (- \cos (0)) = 1 + 1 = 2$
$\int_{- π}^{π} \sin \cdot \cos = \frac{1}{2} \sin^{2} |_{- π}^{π} = 0 - 0 = 0$ Der Integrand hat hier die Form $f \cdot f^{'}$ , siehe [8.1.11].

Aufgabe:

$\int_{0}^{2} 3 X^{2} + 4 = ? X^{3} + 4 X |_{0}^{2} = 16 - 0 = 16$
$\int_{- π}^{π} X - \cos = ? \frac{1}{2} X^{2} - \sin |_{- π}^{π} = \frac{1}{2} π^{2} - \frac{1}{2} {(- π)}^{2} = 0$

$\int_{2}^{1} \frac{1}{X^{2}} = ? - \frac{1}{X} |_{2}^{1} = - 1 - (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2}$
i

Man beachte, dass das ähnliche Integral $\int_{- 2}^{1} \frac{1}{X^{2}}$ nicht existiert, denn kein Teilintervall des Definitionsbereichs $ℝ^{\neq 0}$ enthält die Punkte −2 und 1.
Über Definitionslücken hinweg kann man nicht integrieren!

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}} \frac{\cos}{\sin^{2}} = ? - \frac{1}{\sin} |_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}} = - 2 - (- 2) = 0$ Beachten Sie [8.1.12], denn der Integrand hat die Form $\frac{f^{'}}{f^{2}}$ .

Wir untersuchen nun das Verhalten der Integrale an den Integrationsgrenzen. Als wichtige Eigenschaft ergibt sich dabei: Integrale sind in den Grenzen additiv.

Bemerkung: Ist f eine integrierbare Funktion über I, so gilt für alle $a, b, c \in I$ :

$\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f$

[8.2.2]

$\int_{a}^{a} f = 0$

[8.2.3]

$\int_{a}^{b} f = - \int_{b}^{a} f$

[8.2.4]

Beweis:

1. ► Mit einer Stammfunktion g zu f hat man:

\int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f = g |_{a}^{c} + g |_{c}^{b} = g (c) - g (a) + g (b) - g (c) = g |_{a}^{b} = \int_{a}^{b} f

2. ► Die Behauptung ergibt sich aus der nach 1. gültigen Gleichung $\int_{a}^{a} f + \int_{a}^{a} f = \int_{a}^{a} f$ .

3. ► Mit 1. und 2. hat man: $\int_{a}^{b} f + \int_{b}^{a} f = \int_{a}^{a} f = 0$ , und erhält daraus die Behauptung.

Nach 1. kann man eine Integration an einer beliebigen Stelle c trennen (c muss dabei nicht einmal zwischen a und b liegen!). Gelegentlich ergeben sich daraus Vorteile beim Integrieren. So läßt sich etwa das Integral $\int_{- 1}^{1} | X |$ auch dann berechnen, wenn man keine Stammfunktion zu $| X |$ findet. Spaltet man nämlich die Integration in 0 auf, so ergibt sich

\int_{- 1}^{1} | X | = \int_{- 1}^{0} | X | + \int_{0}^{1} | X | = \int_{- 1}^{0} - X + \int_{0}^{1} X = - \frac{1}{2} X^{2} |_{- 1}^{0} + \frac{1}{2} X^{2} |_{0}^{1} = 1

Mit den nächsten Rechenregeln (Integrale sind in den Integranden linear) übertragen wir einige Ableitungsregeln, und zwar die Summen-, die Differenz- und die Faktorregel.

Bemerkung: $f, f_{1}, f_{2}$ seien integrierbare Funktionen auf I und $c \in ℝ$ . Dann gilt für alle $a, b \in I$ :

$\int_{a}^{b} f_{1} + f_{2} = \int_{a}^{b} f_{1} + \int_{a}^{b} f_{2}$	[8.2.5]
$\int_{a}^{b} f_{1} - f_{2} = \int_{a}^{b} f_{1} - \int_{a}^{b} f_{2}$	[8.2.6]
$\int_{a}^{b} c f = c \int_{a}^{b} f$	[8.2.7]

Beweis:

1. ► Sind $g_{1}$ und $g_{2}$ Stammfunktionen zu $f_{1}$ bzw. $f_{2}$ , so ist nach [8.1.6] $g_{1} + g_{2}$ eine Stammfunktion zu $f_{1} + f_{2}$ . Daher hat man:

\int_{a}^{b} f_{1} + f_{2} = g_{1} + g_{2} |_{a}^{b} = g_{1} (b) + g_{2} (b) - g_{1} (a) - g_{2} (a) = g_{1} |_{a}^{b} + g_{2} |_{a}^{b} = \int_{a}^{b} f_{1} + \int_{a}^{b} f_{2}

2. und 3. ► ergeben sich in ähnlicher Weise aus [8.1.7] bzw. [8.1.8].

Beachte:

Polynome dürfen nach diesen drei Regeln also summandenweise integriert werden:

$\int_{a}^{b} \sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i} = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \int_{a}^{b} X^{i} = \sum_{i = 0}^{n} \frac{a_{i}}{i + 1} X^{i + 1} |_{a}^{b}$

So ist z.B. $\int_{0}^{1} 8 X^{3} + 2 X^{2} - 3 = \frac{8}{4} X^{4} |_{0}^{1} + \frac{2}{3} X^{3} |_{0}^{1} - 3 X |_{0}^{1} = 2 + \frac{2}{3} - 3 = - \frac{1}{3}$ .

Produkt- und Kettenregel sind ebenfalls übertragbar. Die dabei gewonnenen Integrationsregeln behandeln wir im nächsten Abschnitt.

Über den Mittelwertsatz, einem zentralen Satz der Differentialrechnung, ließen sich etliche Eigenschaften differenzierbarer Funktionen nachweisen. Wir erwarten also von einer Integralversion dieses Satzes ähnliche starke Ergebnisse.

Satz (Mittelwertsatz, Integralversion): Ist f eine integrierbare Funktion auf I, also $f \in I (I)$ , so gibt es zu je zwei verschiedenen Punkten $a, b \in I$ ein $\tilde{x}$ zwischen a und b, so dass

\int_{a}^{b} f = (b - a) \cdot f (\tilde{x})

[8.2.8]

Beweis: Sei g eine Stammfunktion zu f. g ist auf I differenzierbar mit $g = f^{'}$ . Daher gibt es gemäß Mittelwertsatz [7.9.5] ein $\tilde{x}$ zwischen a und b, so dass

\int_{a}^{b} f = g |_{a}^{b} = g (b) - g (a) = (b - a) \cdot g^{'} (\tilde{x}) = (b - a) \cdot f (\tilde{x})

Beachte:

Der Beweis zu [8.2.8] besteht eigentlich nur aus dem Nachweis der Implikation

Mittelwertsatz in der Differentialversion $\Rightarrow$ Mittelwertsatz in der Integralversion

Tatsächlich sind die beiden Versionen sogar äquivalent, denn die Umkehrung

Mittelwersatz in der Integralversion $\Rightarrow$ Mittelwertsatz in der Differentialversion

ist ebenfalls gültig.

Beweis: ?

$f (b) - f (a) = f |_{a}^{b} = \int_{a}^{b} f^{'} = (b - a) \cdot f^{'} (\tilde{x})$

In seiner Integralversion [8.2.8] zeigt der Mittelwertsatz, wie sich Eigenschaften von Funktionen auf ihre Integrale auswirken. So garantiert er z.B. die Monotonie des Integrierens.

Bemerkung: Für alle $f, g \in I ([a, b])$ gilt:

$0 \leq f (x) für alle x \in] a, b [\Rightarrow 0 \leq \int_{a}^{b} f$	[8.2.9]
$f (x) \leq g (x) für alle x \in] a, b [\Rightarrow \int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$	[8.2.10]

Beweis:

1. ► Nach Mittelwertsatz [8.2.8] gibt es ein $\tilde{x} \in] a, b [$ , so dass

\int_{a}^{b} f = \underset{> 0}{\underset{︸}{(b - a)}} \cdot \underset{\geq 0}{\underset{︸}{f (\tilde{x})}} \geq 0

2. ► Nach Voraussetzung ist $0 \leq g - f (x) für alle x \in] a, b [$ . Für die integrierbare ([8.1.7]) Funktion $g - f$ gilt daher nach 1.

0 \leq \int_{a}^{b} g - f = \int_{a}^{b} g - \int_{a}^{b} f

Damit aber ist [8.2.10] gezeigt.

Durch die Beweisführung ist klar, dass beide Aussagen gültig bleiben, wenn man $\leq$ durch $<$ ersetzt. Das Integrieren ist also sogar streng monoton.

Über die Monotonie des Integrals erhalten wird eine wichtige Abschätzung, die für stetige Funktionen die Vertauschbarkeit von Integral und Betrag regelt.

Bemerkung: Für alle $f \in C^{0} ([a, b])$ ist

| \int_{a}^{b} f | \leq \int_{a}^{b} | f |

[8.2.11]

Beweis: Man beachte zunächst, dass f und $| f |$ als stetige Funktionen auf einem Intervall integrierbar sind. Da aber $- | f (x) | \leq f (x) \leq | f (x) |$ für alle $x \in] a, b [$ , folgt mit [8.2.10]:

- \int_{a}^{b} | f | = \int_{a}^{b} - | f | \leq \int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} | f |

Das ist die Behauptung.
i

Wir greifen hier auf eine Eigenschaft des Betrags zurück: Eine Zahl x hat genau dann einen Nullabstand von höchstens r wenn sie zwischen −r und r liegt, d.h.

$| x | \leq r \Leftrightarrow - r \leq x \leq r$

Beachte:

Die Abschätzung [8.2.11] kann i.a. nicht zu = verschärft werden. So ist etwa, wie weiter oben gesehen, $\int_{- 1}^{1} | X | = 1$ , aber $| \int_{- 1}^{1} X | = 0$ .

Hat jedoch f auf $[a, b]$ ein einheitliches Vorzeichen, also $f (x) \geq 0$ bzw. $f (x) \leq 0$ für alle $x \in [a, b]$ , so gilt in [8.2.11] die Gleichheit:

| \int_{a}^{b} f | = \int_{a}^{b} | f |

[8.2.12]

Beweis: Mit [8.2.10] hat man:

1. ► $f (x) \geq 0$ für alle $x \in [a, b] \Rightarrow \int_{a}^{b} f \geq 0$ , also: $| \int_{a}^{b} f | = \int_{a}^{b} f = \int_{a}^{b} | f |$

2. ► $f (x) \leq 0$ für alle $x \in [a, b] \Rightarrow \int_{a}^{b} f \leq 0$ , also: $| \int_{a}^{b} f | = - \int_{a}^{b} f = \int_{a}^{b} - f = \int_{a}^{b} | f |$

Der folgende Satz beschreibt eine zentrale Verbindungstelle zwischen der Differential- und der Integralrechnung. Bei Vorliegen geeigneter Techniken ermöglicht er zudem das Berechnen von Stammfunktionen. Dadurch wird die die Trivialität "Zum Integrieren muss man das Finden von Stammfunktionen beherrschen" auf den Kopf gestellt: "Wer Stammfunktionen sucht, muss gut integrieren können".

Satz (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung): Ist $f \in I (I)$ eine integrierbare Funktion auf I, so ist für jedes $c \in I$ die Funktion $g : I \to ℝ$ gegeben durch

g (x) ≔ \int_{c}^{x} f

[8.2.13]

eine Stammfunktion zu f.

Beweis: Sei h irgendeine Stammfunktion zu f. Dann hat man:

g (x) = \int_{c}^{x} f = h |_{c}^{x} = h (x) - h (c)

Mit h ist aber auch $g = h - h (c)$ eine Stammfunktion zu f, denn g und h unterscheiden sich nur durch eine additive Konstante.

Beachte:

Als eine Stammfunktion ist die Funktion g aus [8.2.13] natürlich differenzierbar. Oft drückt man dies durch die Bemerkung Das Integral ist in der oberen Grenze differenzierbar aus.
Notiert man die Funktion g in der plakativen Form $\int_{c}^{} f$ , so wird die zu Beginn angedeutete Nähe zum unbestimmten Integral deutlich und in der Formulierung $(\int_{c}^{} f)^{'} = f$ bestätigt der Hauptsatz [8.2.13] (zusammen mit $\int_{c}^{} (f^{'}) = f - f (c)$ ) die Redewendung "Integrieren und Differenzieren heben sich in ihrer Wirkung (nahezu) auf".
Nach [8.2.3] ist $g (c) = 0$ . [8.2.13] liefert also zu jedem integrierbaren f die Stammfunktion, die am vorgewählten Punkt c eine Nullstelle hat.
Nicht jede Stammfunktion kann über den Hauptsatz gewonnen werden. So hat z.B. die Stammfunktion $X^{2} + 1$ zu $2 X$ keine Nullstelle. Nach der Anmerkung zuvor kann sie daher nicht von [8.2.13] geliefert werden.

In [8.1.15] haben wir gezeigt, dass die Integrierbarkeit mit der gleichmäßigen Konvergenz verträglich ist. Nun erweist sich auch das Integral als kompatibel mit dieser Form der Konvergenz.

Bemerkung: $(f_{n})$ sei eine Folge integrierbarer Funktionen auf einem Intervall I. Ist $f : I \to ℝ$ der gleichmäßige Limes der Folge $(f_{n})$ , also $f_{n} \underset{g m}{\to} f$ , so gilt für alle $a, b \in I$ :

\int_{a}^{b} f_{n} \to \int_{a}^{b} f

[8.2.14]

Beweis: Man beachte zunächst, dass f gemäß [8.1.15] integrierbar ist. Ferner ist [8.2.14] trivialerweise gültig falls $a = b$ , so dass wir $a \neq b$ annehmen dürfen. Ist nun $ε > 0$ vorgegeben, so gibt es nach Voraussetzung ein $n_{0} \in ℕ^{*}$ mit

| f_{n} (x) - f (x) | < \frac{ε}{| b - a |}

für alle

n \geq n_{0}

und alle

x \in I

Da es nach [8.2.8] zu jedem n ein ${\tilde{x}}_{n}$ zwischen a und b gibt mit

\int_{a}^{b} f_{n} - f = (b - a) \cdot (f_{n} - f) ({\tilde{x}}_{n})

hat man für alle $n \geq n_{0}$ :

| \int_{a}^{b} f_{n} - \int_{a}^{b} f | = | \int_{a}^{b} f_{n} - f | = | b - a | \cdot | f_{n} ({\tilde{x}}_{n}) - f ({\tilde{x}}_{n}) | < | b - a | \cdot \frac{ε}{| b - a |} = ε

8.1. 8.3.