8.4. Flächenmessung

Gelegentlich lassen Integrale eine interessante geometrische Interpretation zu. Die folgenden drei Beispiele zeigen jeweils auch eine Skizze des Integranden.

Für ${\displaystyle a,b>0}$ ist ${\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}b=\phantom{}b\mathrm{X}{|}_0^a=ab}$
Für ${\displaystyle g,h>0}$ ist ${\displaystyle \underset{0}{\overset{g}{\int }}\frac{h}{g}\mathrm{X}=\frac{1}{2}\frac{h}{g}\phantom{}{\mathrm{X}}^2{|}_0^g=\frac{gh}{2}}$
Nach einem Beispiel in 8.3 ist ${\displaystyle \frac{\mathrm{X}}{2}\cdot \sqrt{1-\frac{{\mathrm{X}}^2}{r^2}}+\frac{r}{2}\cdot \arcsin \frac{\mathrm{X}}{r}}$ eine Stammfunktion zu ${\displaystyle \sqrt{1-\frac{{\mathrm{X}}^2}{r^2}}}$. Für ${\displaystyle r>0}$ ist daher ${\displaystyle \begin{array}{ll}\underset{-r}{\overset{r}{\int }}\sqrt{r^2-{\mathrm{X}}^2}\hfill & =r\underset{-r}{\overset{r}{\int }}\sqrt{1-\frac{{\mathrm{X}}^2}{r^2}}\hfill \\ \hfill & =r(\frac{\mathrm{X}}{2}\cdot \sqrt{1-\frac{{\mathrm{X}}^2}{r^2}}+\frac{r}{2}\cdot \arcsin \frac{\mathrm{X}}{r}\phantom{}){|}_{-r}^r\hfill \\ \hfill & =r(0+\frac{r}{2}(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}))=\frac{r^2\pi }{2}\hfill \end{array}}$

Die errechneten Integrale stimmen in allen drei Fällen (Rechteck, Dreieck, Halbkreis) mit Flächenmaßzahlen überein, die aus der Elementargeometrie bekannt sind. Die von der x-Achse begrenzten Flächen, so zeigen es die Skizzen, liegen dabei unterhalb des Integranden f, sie werden gewissermaßen von der "Randfunktion" f im Integrationsintervall erzeugt.

Diese Übereinstimmung zwischen Flächenmaßzahlen und Integralen weckt die Hoffnung, mit Hilfe der Integrale auch weitere, krummlinig begrenzte Flächen berechnen zu können, also auch solche, zu denen die Elementargeometrie keine Formeln liefert! Die folgende Überlegung unterstützt diesen Gedanken.

Sei dazu ${\displaystyle f\in \mathcal{I}([a,b])}$ eine positive, integrierbare Funktion. Für ein beliebiges ${\displaystyle n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ unterteilen wir zunächst das Integrationsintervall ${\displaystyle [a,b]}$ in n viele Teilintervalle (und benennen dabei zweckmäßigerweise die Eckpunkte a und b um):

Da Integrale beliebig aufgesplittet werden können, erhält man unter Anwendung des Mittelwertsatzes [8.2.8] die folgende Berechnungsmöglichkeit:

Jeder der dabei auftretenden Summanden ist ein Produkt, und zwar aus der Länge des jeweiligen Teilintervalls und einem geeigneten Funktionswert von f. Da f positiv ist, können wir dieses Produkt als Maß eines Rechteckstreifens deuten, das Integral selbst damit also als eine Summe von Rechteckmaßen.

Die folgende Skizze zeigt die Funktion ${\displaystyle f=\mathrm{0,15}{\mathrm{X}}^3-\mathrm{1,4}{\mathrm{X}}^2+3\mathrm{X}+2}$ und die von ihr in ${\displaystyle [0,6]}$ erzeugte Fläche. Sie läßt sich mit dem Schieber durch die Vereinigung von Rechtecken approximieren. Die Rechteckshöhen sind dabei gemäß [1] eingestellt, so dass die Summe der Rechtecksmaße stets den Wert 13,8

i

${\displaystyle \underset{0}{\overset{6}{\int }}f=\frac{\mathrm{0,15}}{4}{\mathrm{X}}^4-\frac{\mathrm{1,4}}{3}{\mathrm{X}}^3+\frac{3}{2}{\mathrm{X}}^2+2\mathrm{X}\phantom{}{|}_0^6=\mathrm{13,8}}$

hat, also den Wert des Integrals über f.

Beachte:

• Die Reihe ${\displaystyle (\sum _{i=1}^{n}f({\tilde{x}}_i)\cdot (x_i-x_{i-1}))}$ in [1] ist konstant, also trivialerweise konvergent gegen

  ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }f({\tilde{x}}_i)\cdot (x_i-x_{i-1})=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f}$.[2]

  In diesem Zusammenhang erklären sich die von Leibniz eingeführten Symbole ${\displaystyle \int }$ und dx: Bei der Bildung des Grenzwerts schrumpfen die Teilintervalle ${\displaystyle [x_{i-1}-x_i]}$ auf einen Punkt x zusammen, d.h. die Differenz ${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=x_i-x_{i-1}}$ geht in die infinitesimale Differenz dx über, für die Wahl von ${\displaystyle {\tilde{x}}_i}$ steht nur noch eine Möglichkeit, x, offen und das Summenzeichen ${\displaystyle \sum }$ mutiert zu ${\displaystyle \int }$, einem stilisierten, lang gezogenen S. Der Grenzwert [2] wird daher symbolisch notiert als

  ${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx}$
  
   

Für positive Funktionen dürfen wir das Integral also auch als Flächenmaßzahl deuten. Im Allgemeinen ist dies allerdings unzulässig, denn Flächenmaßzahlen sind stets positiv, Integrale hingegen nicht immer. So hat etwa die Fläche, die die Identität X im Bereich ${\displaystyle [-1,1]}$ mit der x-Achse erzeugt, das Maß 1. Sie ist also nicht durch das Integral ${\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\mathrm{X}=0}$ gegeben. Ein bloßes Integral ist daher nur in geeigneten Fällen auch eine Flächenmaßzahl. Wie aber soll man beliebige Funktionen, also auch solche mit negativen Werten, bemessen?

Da das Spiegeln an der x-Achse "flächentreu" ist, müsste man nur diejenigen Graphenteile von f, die unterhalb der x-Achse liegen nach oben klappen und die anderen dort lassen, wo sie sind. Dies ist aber genau der Übergang von f zu ${\displaystyle |f|}$.

So wird denn auch die durch X gegebene Fläche exakt durch das Integral ${\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}|\mathrm{X}|=1}$ berechnet.

In der folgenden Definition beschränken wir uns auf stetige Funktionen f. Das hat einerseits den Vorteil, dass die Integrierbarkeit von ${\displaystyle |f|}$ außer Frage steht, andererseits entspricht dies den anschaulichen Erwartungen, die man an den Rand einer Fläche stellt.

Bei der Ermittlung von Flächenmaßzahlen werden also nicht Stammfunktionen zu f, sondern Stammfunktionen zu ${\displaystyle |f|}$ benötigt. Diese zusätzliche Schwierigkeit läßt sich jedoch bei stetigen Funktionen mit endlich vielen Nullstellen elegant durch das folgende 3-Schritt-Verfahren umgehen:

1. Man errechnet in ${\displaystyle ]a,b[=]x_0,x_n[}$  alle Nullstellen von f, und ordnet sie zusammen mit ${\displaystyle x_0}$ und ${\displaystyle x_n}$ an: ${\displaystyle x_0<x_1<\dots <x_{n-1}<x_n}$.

2. Man errechnet alle Integrale der Form ${\displaystyle \underset{x_{i-1}}{\overset{x_i}{\int }}f}$.

3. Als stetige Funktion hat f in allen Intervallen der Form ${\displaystyle [x_i,x_{i-1}]}$ ein einheitliches Vorzeichen. Hier läßt sich also die Integral- und die Betragsbildung vertauschen (siehe [8.2.12])! Die Flächenmaßzahl ergibt sich daher durch das betragsmäßige Aufsummieren der berechneten Integrale:

   ${\displaystyle A_f(a,b)=\underset{x_0}{\overset{x_n}{\int }}|f|=\sum _{i=1}^n\underset{x_{i-1}}{\overset{x_i}{\int }}|f|=\sum _{i=1}^n|\underset{x_{i-1}}{\overset{x_i}{\int }}f|}$

Alle bisher berechneten Flächen werden u.a. von der x-Achse begrenzt, haben also zumindest eine gerade Kante. Durch einen einfachen Trick aber kommt man mit den bisherigen Methoden auch bei ausschließlich krummlinig begrenzten Flächen zurecht. Dies wird im folgenden Beispiel deutlich.

Die links skizzierte Fläche läßt sich durch zwei positive Funktionen gewinnen, durch die obere Funktion ${\displaystyle f={\mathrm{X}}^3-2{\mathrm{X}}^2+4}$

i

${\displaystyle {\mathrm{X}}^3-2{\mathrm{X}}^2+4}$

 und die untere  ${\displaystyle g={\mathrm{X}}^2}$.

i

${\displaystyle {\mathrm{X}}^2}$

Dabei ist die durch f im Bereich ${\displaystyle [-1,2]}$ erzeugte Fläche offensichtlich zu groß, und zwar exakt um die Fläche, die g im Bereich ${\displaystyle [-1,2]}$ erzeugt. Als eine Maßzahl bietet sich daher die Differenz der beiden Flächenmaßzahlen an:

In unserer Skizze besteht kein Zweifel, welche der beiden Funktionen die obere, welche die untere ist. Im Allgemeinen aber werden die Verhältnisse nicht so übersichtlich sein und bei Funktionen mit mehr als zwei Schnittstellen gibt es solche eindeutigen Positionen überhaupt nicht! Wie aber bereits bei den zu Anfang eingeführten Flächenmaßzahlen lassen sich Probleme dieser Art mit Hilfe des Betrags elegant lösen. Wir setzen daher fest:

Beachte:

• In der Regel werden zwei Funktionen vorliegen, die eine kleinste und eine größte Schittstelle, etwa a und b, besitzen. In diesem Fall nennen wir ${\displaystyle A_{f-g}(a,b)}$ auch kurz die Maßzahl der von f und g erzeugten Fläche.

• Bei der Berechnung von ${\displaystyle A_{f-g}(a,b)}$ ist die Lage der x-Achse ohne Bedeutung. Liegen nämlich Teile der von f und g erzeugten Fläche unterhalb der x-Achse, so wird man durch Verschieben in der Senkrechten, etwa um c Einheiten, eine Fläche erhalten, die ganz oberhalb der x-Achse liegt. Für ihr Maß aber gilt:

  ${\displaystyle A_{f+c-(g+c)}(a,b)=A_{f-g}(a,b)}$
   

• Die Maßzahl der von f und g im Bereich [a,b] erzeugten Fläche ist per Definition die Maßzahl der von ${\displaystyle f-g}$ im Bereich [a,b] erzeugten Fläche. Zur Berechnung kann man daher das alte 3-Schritt-Verfahren anwenden.

  So können wir etwa die Fläche aus dem Eingangsbeispiel, also die von ${\displaystyle f={\mathrm{X}}^3-2{\mathrm{X}}^2+4}$ und ${\displaystyle g={\mathrm{X}}^2}$ erzeugte Fläche, bemessen indem wir die Maßzahl der von

  ${\displaystyle f-g={\mathrm{X}}^3-3{\mathrm{X}}^2+4=(\mathrm{X}+1)\cdot {(\mathrm{X}-2)}^2}$

  erzeugten Fläche ausrechen:

  1. ${\displaystyle x^3-3x^2+4=0\iff x=-1\vee x=2}$

     f und g besitzen nur zwei Schnittstellen, so dass lediglich ein Integral errechnet werden muss.

  2. ${\displaystyle \underset{-1}{\overset{2}{\int }}{\mathrm{X}}^3-3{\mathrm{X}}^2+4=\phantom{}\frac{1}{4}{\mathrm{X}}^4-{\mathrm{X}}^3+4\mathrm{X}{|}_{-1}^2=\frac{27}{4}}$

  3. Die von f und g erzeugte Fläche hat also das Maß ${\displaystyle |\frac{27}{4}|=\frac{27}{4}}$.

  
   

Die Fläche, die eine positive Funktion ${\displaystyle f}$ im Bereich [a,b] mit der x-Achse erzeugt, ist die Menge

und für jedes ${\displaystyle x\in [a,b]}$ ist der positive Funktionswert ${\displaystyle f(x)}$ gleichzeitig die Länge des Intervalls ${\displaystyle [0,f(x)]}$. Wir fassen ein solches Intervall als Schnitt

in der Menge M auf und gewinnen so das zweidimensionale Flächenmaß von M, also die Zahl ${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f}$, durch Integration über die eindimensionalen Maße ihrer Schnitte ${\displaystyle M_x}$.

Im nächsten Abschnitt wird dieser Aspekt der Flächenmessung zu einer rekursiven Möglichkeit führen, mehrdimensionale Volumina zu berechnen.

8.3.

8.5.