8.5. Volumenberechnung

In diesem Abschnitt soll ein allgemeines Konzept zur Volumenberechnung entwickelt werden mit dem Ziel, geeigneten Teilmengen M des

ℝ^{n + 1}

eine Maßzahl

V_{n + 1} (M)

zuzuweisen, die im zweidimensionalen Fall mit den alten Flächenmaßzahlen und im dreidimensionalen Fall mit den Volumenvorstellungen übereinstimmt.

Wir werden dies, angelehnt an die Interpretation des Flächenmaßes am Ende des letzten Abschnitts, rekursiv gestalten: Das (n + 1)-dimensionale Volumen einer Menge M wird durch Aufintegrieren der n-dimensionalen Volumina ihrer Schnitte $M_{x}$ gewonnen.

Definition: Ist $M \subset [a, b] \times ℝ^{n}$ eine Teilmenge des $ℝ^{n + 1}$ , so nennen wir für jedes $x \in [a, b]$ die Menge

M_{x} ≔ {(y_{1}, \dots, y_{n}) \in ℝ^{n} | (x, y_{1}, \dots, y_{n}) \in M}

[8.5.1]

einen Schnitt in M.

Das folgende Applet visualisiert für $x = 0$ den Schnitt in einem Zuckerhut (display by JavaView
i

JavaView ist ein interaktiver Betrachter für 3-dimensionale Geometrien. Mit der linken Maustaste läßt sich die Darstellung steuern, z.B.

Rotieren mit Taste "o" (voreingestellt)

Skalieren mit Taste "s"

Verschieben mit Taste "t"

Alle Möglichkeiten sind hier aufgelistet: www.javaview.de/jars/shortcuts.html. Mit der rechten Maustaste läßt sich ein umfangreiches Kontextmenü aufrufen.

).

Wir berechnen zur Übung einige Schnitte in überschaubaren Teilmengen des $ℝ^{2}$ und des $ℝ^{3}$ . In Beispielen auftretende Parameter seien stets positiv.

Beispiel:

Die Schnitte in einem Quadrat $Q ≔ {[0, a]}^{2} \subset [0, a] \times ℝ$ sind (konstante) Intervalle, denn für $x \in [0, a]$ ist

Q_{x} = {y \in ℝ | (x, y) \in [0, a] \times [0, a]} = [0, a]

[1]

Die Schnitte in einer Ellipse $E ≔ {(x, y) \in ℝ^{2} | b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} \leq a^{2} b^{2}} \subset [- a, a] \times ℝ$ sind (variable) Intervalle, den für $x \in [- a, a]$ ist

\begin{array}{l} E_{x} & = {y \in ℝ | b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} \leq a^{2} b^{2}} \\ = {y \in ℝ | y^{2} \leq \frac{b^{2}}{a^{2}} (a^{2} - x^{2})} = [- \frac{b}{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}}, \frac{b}{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}}] \end{array}

[2]

Man beachte den Fall $x^{2} = a$ : $E_{x}$ ist hier das einpunktige Intervall $[0, 0] = {0}$ .

Die Schnitte in einer Lochscheibe $L ≔ {(x, y) \in ℝ^{2} | r^{2} \leq x^{2} + y^{2} \leq R^{2}} \subset [- R, R] \times ℝ$ sind aufwändiger zu berechnen. Für $x \in [- R, R]$ ist nämlich

\begin{array}{l} L_{x} & = {y \in ℝ | r^{2} - x^{2} \leq y^{2} \leq R^{2} - x^{2}} \\ = {y \in [- \sqrt{R^{2} - x^{2}}, \sqrt{R^{2} - x^{2}}] | y^{2} \geq r^{2} - x^{2}} \\ = {\begin{array}{l} [- \sqrt{R^{2} - x^{2}}, \sqrt{R^{2} - x^{2}}] falls | x | \geq r \\ {y \in [- \sqrt{R^{2} - x^{2}}, \sqrt{R^{2} - x^{2}}] | | y | \geq \sqrt{r^{2} - x^{2}} falls | x | < r} \end{array} \\ = {\begin{array}{l} [- \sqrt{R^{2} - x^{2}}, \sqrt{R^{2} - x^{2}}] falls | x | \geq r \\ [- \sqrt{R^{2} - x^{2}}, - \sqrt{r^{2} - x^{2}}] \cup [\sqrt{r^{2} - x^{2}}, \sqrt{R^{2} - x^{2}}] falls | x | < r \end{array} \end{array}

[3]

Im Sonderfall $r = R$ sind die Schnitte in L ein- bzw. zweipunktig:

L_{x} = {\begin{array}{l} {0} falls | x | = R \\ {- \sqrt{R^{2} - x^{2}}, \sqrt{R^{2} - x^{2}}} falls | x | < R \end{array}

Die Schnitte in einem Würfel $W ≔ {[0, a]}^{3} \subset [0, a] \times ℝ^{2}$ sind (konstante) Quadrate, denn für $x \in [0, a]$ ist

W_{x} = {(y, z) \in ℝ^{2} | (x, y, z) \in {[0, a]}^{3}} = {[0, a]}^{2}

[4]

Die Schnitte in einer Kugel (Sphäre)

$S ≔ {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq r^{2}} \subset [- r, r] \times ℝ^{2}$

sind Kreise (mit variablem Radius), denn für $x \in [- r, r]$ ist

\begin{array}{l} S_{x} & = {(y, z) \in ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq r^{2}} \\ = {(y, z) \in ℝ^{2} | y^{2} + z^{2} \leq r^{2} - x^{2}} \end{array}

[5]

Im speziellen Fall $x^{2} = r^{2}$ ist $S_{x}$ ein Kreis mit Radius 0, also ein Punkt.

Wir setzen nun rekursiv fest, wann eine Menge M zur Volumenberechnung geeignet sein soll, und welches Volumen ihr dann zukommt. Wir orientieren uns dabei an der zum Ende des vorherigen Abschnitts betrachteten Interpretation der Flächenmaßzahlen.

Definition:

Ist $M = [l_{1}, r_{1}] ⊍ \dots ⊍ [l_{k}, r_{k}]$ eine disjunkte Vereinigung
i

Die Vereinigung $A \cup B$ zweier Mengen A und B heißt disjunkt (elementfremd) falls $A \cap B = \emptyset$ . In diesem Fall ersetzt man das Zeichen $\cup$ oft durch das Symbol $⊍$ .

Ein Download der Schrift Lucida Bright Math Symbol löst Probleme bei der Darstellung.

endlich vieler abgeschlossener Intervalle, $l_{i} \leq r_{i}$ , so sagen wir: M besitzt das eindimensionale Volumen

V_{1} (M) ≔ \sum_{i = 1}^{k} r_{i} - l_{i}

[8.5.2]

Zusätzlich setzen wir $V_{1} (\emptyset) ≔ 0$ .

Ist $M \subset [a, b] \times ℝ^{n}$ , $a < b$ , so sagen wir: M besitzt ein ( $n + 1$ )-dimensionales Volumen, falls für jedes $x \in [a, b]$ der Schnitt $M_{x}$ ein n-dimensionales Volumen $V_{n} (M_{x})$ besitzt und die Funktion $V_{n} (M_{X}) : [a, b] \to ℝ$ über $[a, b]$ integrierbar ist. In diesem Fall heißt die Zahl

V_{n + 1} (M) ≔ \int_{a}^{b} V_{n} (M_{X})

[8.5.3]

das ( $n + 1$ )-dimensionale Volumen von M. Ist $M \subset [a, a] \times ℝ^{n}$ , so setzen wir zusätzlich $V_{n + 1} (M) ≔ 0$ .

Beachte:

Durch eine kleine induktive Überlegung erweisen sich Volumina als positive Zahlen: $V_{n} (M) \geq 0$ .
Aufgrund der jeweiligen Zusätze haben alle endlichen Mengen das Volumen Null:

$V_{n} (\emptyset) = V_{n} ({x_{1}, \dots, x_{k}}) = 0$
[8.5.2] enthält auch den (häufigen) Sonderfall $k = 1$ . M ist dann ein Intervall, $M = [l, r]$ , $l \leq r$ , und das Volumen $V_{1}$ verkürzt sich zu $V_{1} (M) = r - l$ .

Mit [8.5.3] haben wir das Prinzip des Cavalieri etabliert:

$M, N \subset [a, b] \times ℝ^{n}$ seien zwei Mengen, die ein Volumen besitzen. Stimmen die Maße ihrer Schnitte überein, so auch ihre Volumina:

V_{n} (M_{x}) = V_{n} (N_{x}) für alle x \in [a, b] \Rightarrow V_{n + 1} (M) = V_{n + 1} (N)

[8.5.4]

Die Definition [8.5.2] setzt die Flächenmessung aus 8.4. fort, denn die dort eingeführten Flächenmaßzahlen kommen hier als zweidimensionale Volumina wieder vor: Setzt man nämlich für eine positive Funktion $f \in C^{0} ([a, b])$

$M ≔ {(x, y) \in ℝ^{2} | a \leq x \leq b \land 0 \leq y \leq f (x)} \subset [a, b] \times ℝ$

so besitzt M ein Volumen und $V_{2} (M)$ ist die Maßzahl der Fläche, die f im Bereich $[a, b]$ mit der x-Achse einschließt.

Beweis: Für $x \in [a, b]$ ist $M_{x} = {y \in ℝ | 0 \leq y \leq f (x)} = [0, f (x)]$ , und damit: $V_{1} (M_{x}) = f (x)$ . Also hat man

$V_{2} (M) = \int_{a}^{b} V_{1} (M_{X}) = \int_{a}^{b} f$

Wir üben die Volumenberechnung zunächst im Zweidimensionalen und ermitteln noch einmal einige bekannte Volumina.

Beispiel:

Quadrat

Ellipse

Kreis

Lochscheibe

Linie

Rechteck

Dreieck

Das Quadrat $Q = {[0, a]}^{2} \subset [0, a] \times ℝ$ mit Kantenlänge a hat das Volumen

V_{2} (Q) = a^{2}

[6]

Beweis: Nach [1] haben die Schnitte in Q ein konstantes Volumen:

V_{1} (Q_{x}) = V_{1} ([0, a]) = a

$V_{1} (Q_{X})$ ist daher auf $[0, a]$ integrierbar, so dass Q ein Volumen besitzt, nämlich

V_{2} (Q) = \int_{0}^{a} V_{1} (Q_{X}) = \int_{0}^{a} a = a^{2}

Die Ellipse $E = {(x, y) \in ℝ^{2} | b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} \leq a^{2} b^{2}} \subset [- a, a] \times ℝ$ mit den Halbachsen a und b hat das Volumen

V_{2} (E) = a b π

[7]

Beweis: Nach [2] sind die Schnitte in E die Intervalle

E_{x} = [- \frac{b}{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}}, \frac{b}{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}}]

Da die stetige Funktion $V_{1} (E_{X}) = 2 \frac{b}{a} \sqrt{a^{2} - X^{2}}$ auf $[- a, a]$ integrierbar ist, hat E ein Volumen, das wir mit einem Integral aus 8.4 berechnen können zu

V_{2} (E) = \int_{- a}^{a} V_{1} (E_{X}) = 2 \frac{b}{a} \int_{- a}^{a} \sqrt{a^{2} - X^{2}} = \frac{b}{a} a^{2} π = a b π

Der Kreis (Disc) $D = {(x, y) \in ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} \leq r^{2}} \subset [- r, r] \times ℝ$ mit Radius r hat das Volumen

V_{2} (D) = r^{2} π

[8]

Beweis: D ist eine Ellipse mit identischen Halbachsen: $a = b = r$ . Also ist $V_{2} (D) = a b π = r^{2} π$ .

Die Lochscheibe $L = {(x, y) \in ℝ^{2} | r^{2} \leq x^{2} + y^{2} \leq R^{2}} \subset [- R, R] \times ℝ$ mit den Radien $r < R$ hat das Volumen

V_{2} (L) = (R^{2} - r^{2}) π

[9]

Beweis: Nach [3] sind die Schnitte in einer Lochscheibe gegeben durch

L_{x} = {\begin{array}{l} [- \sqrt{R^{2} - x^{2}}, \sqrt{R^{2} - x^{2}}] falls | x | \geq r \\ [- \sqrt{R^{2} - x^{2}}, - \sqrt{r^{2} - x^{2}}] ⊍ [\sqrt{r^{2} - x^{2}}, \sqrt{R^{2} - x^{2}}] falls | x | < r \end{array}

Ihr eindimensionales Maß ergibt sich daher (auch im angesprochenen Sonderfall $r = R$ ) zu

V_{1} (L_{x}) = {\begin{array}{l} 2 \sqrt{R^{2} - x^{2}} falls | x | \geq r \\ 2 (\sqrt{R^{2} - x^{2}} - \sqrt{r^{2} - x^{2}}) falls | x | \leq r \end{array}

$V_{1} (L_{X})$ ist als Verklebung der Einschränkungen $2 \sqrt{R^{2} - X^{2}} | [- R, - r]$ , $2 \sqrt{R^{2} - X^{2}} | [r, R]$ und $2 (\sqrt{R^{2} - X^{2}} - \sqrt{r^{2} - X^{2}}) | [- r, r]$ darstellbar, nach [8.1.14] also integrierbar. L besitzt daher ein Volumen, und zwar (mit Hilfe eines Integrals aus 8.4)

\begin{array}{l} V_{2} (L) & = 2 \int_{- R}^{- r} \sqrt{R^{2} - X^{2}} + 2 (\int_{- r}^{r} \sqrt{R^{2} - X^{2}} - \sqrt{r^{2} - X^{2}}) + 2 \int_{r}^{R} \sqrt{R^{2} - X^{2}} \\ = 2 \int_{- R}^{- r} \sqrt{R^{2} - X^{2}} + 2 \int_{- r}^{r} \sqrt{R^{2} - X^{2}} + 2 \int_{r}^{R} \sqrt{R^{2} - X^{2}} - 2 \int_{- r}^{r} \sqrt{r^{2} - X^{2}} \\ = 2 \int_{- R}^{R} \sqrt{R^{2} - X^{2}} - 2 \int_{- r}^{r} \sqrt{r^{2} - X^{2}} \\ = R^{2} π - r^{2} π = (R^{2} - r^{2}) π \end{array}

Ist $f : [a, b] \to ℝ$ eine Funktion, so hat die Linie f das Volumen

V_{2} (f) = 0

[10]

Beweis: Da $f = {(x, y) \in ℝ^{2} | x \in [a, b] \land y = f (x)} \subset [a, b] \times ℝ$ sind alle Schnitte $f_{x}$ einpunktig und haben damit das Volumen 0. Also ist

V_{2} (f) = \int_{a}^{b} f_{X} = \int_{a}^{b} 0 = 0

Das Rechteck $R ≔ [0, a] \times [0, b]$ mit den Kantenlängen a und b hat das Volumen

V_{2} (R) = a b

[11]

Beweis: ?

V_{2} (R) = b \int_{0}^{a} 1 = a b

Das Dreieck $D ≔ {(x, y) \in ℝ^{2} | x \in [0, h] \land \frac{a}{h} \leq y \leq \frac{b}{h}}$ mit der Grundseite $g ≔ b - a$ und der Höhe h hat das Volumen

V_{2} (D) = \frac{1}{2} g h

[12]

Beweis: ?

V_{2} (D) = \frac{b - a}{h} \int_{0}^{h} X = \frac{1}{2} \frac{b - a}{h} h^{2} = \frac{1}{2} g h

In den nächsten Beispielen berechnen wir die klassischen dreidimensionalen Volumina. Wir greifen dabei auf die bereits gewonnenen Ergebnisse [6] bis [9] zurück.

Beispiel:

Würfel

Ellipsoid

Kugel

Kegel

Pyramide

Torus

Quader

Zylinder

Der Würfel $W = {[0, a]}^{3}$ mit Kantenlänge a besitzt das Volumen

$V_{3} (W) = a^{3}$

Beweis: $W \subset [0, a] \times ℝ^{2}$ und die Schnitte $W_{x} = {[0, a]}^{2}$ (siehe [4]) haben nach [6] das konstante Volumen $V_{2} (W_{x}) = a^{2}$ . W hat damit ein Volumen, und zwar

$V_{3} (W) = a^{2} \int_{0}^{a} 1 = a^{3}$

Das Ellipsoid $E ≔ {(x, y, z) \in ℝ^{3} | b^{2} c^{2} x^{2} + a^{2} c^{2} y^{2} + a^{2} b^{2} z^{2} \leq a^{2} b^{2} c^{2}}$ mit den Halbachsen a, b und c besitzt das Volumen

$V_{3} (E) = \frac{4}{3} a b c π$

Beweis: Zunächst hat man $E \subset [- a, a] \times ℝ^{2}$ . Für $x^{2} = a^{2}$ hat die Ungleichung

$a^{2} c^{2} y^{2} + a^{2} b^{2} z^{2} \leq a^{2} b^{2} c^{2} - b^{2} c^{2} x^{2}$

nur die Lösung $y = z = 0$ . Für $x^{2} < a^{2}$ läßt sie sich äquivalent weiterschreiben zu

$\frac{c^{2} (a^{2} - x^{2})}{a^{2}} y^{2} + \frac{b^{2} (a^{2} - x^{2})}{a^{2}} z^{2} \leq \frac{b^{2} c^{2} (a^{2} - x^{2})^{2}}{a^{4}}$

$E_{x}$ ist also entweder ein Punkt oder eine Ellipse (siehe [7]) mit den Halbachsen $\frac{c^{2} (a^{2} - x^{2})}{a^{2}}$ und $\frac{b^{2} (a^{2} - x^{2})}{a^{2}}$ . $E_{x}$ hat also das Volumen

$V_{2} (E_{x}) = \frac{c \sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a} \cdot \frac{b \sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a} π = \frac{b c (a^{2} - x^{2})}{a^{2}} π$

Da $V_{2} (E_{X})$ integrierbar ist, hat nun E ein Volumen, und zwar

$V_{3} (E) = \frac{b c}{a^{2}} π \int_{- a}^{a} a^{2} - X^{2} = \frac{b c}{a^{2}} π (a^{3} - \frac{1}{3} a^{3}) \cdot 2 = \frac{4}{3} a b c π$

Die Kugel (Sphäre) $S = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq r^{2}}$ mit Radius r besitzt das Volumen

$V_{3} (S) = \frac{4}{3} π r^{3}$

Beweis: S ist ein Ellipsoid mit drei identischen Halbachsen: $r = a = b = c$ . Das Volumen der Sphäre ergibt sich daher direkt aus der Volumenformel für das Ellipsoid.

Ohne dieses Ergebnis argumentiert man folgendermaßen: Nach [5] ist

$S_{x} = {(y, z) \in ℝ^{2} | y^{2} + z^{2} \leq r^{2} - x^{2}}$ .

$S_{x}$ ist also ein Kreis mit Radius $\sqrt{r^{2} - x^{2}}$ (bzw. ein Punkt falls $x^{2} = r^{2}$ ), mit [8] hat man daher $V_{2} (S_{x}) = (r^{2} - x^{2}) π$ . $V_{2} (S_{X})$ ist stetig, also integerierbar über $[- r, r]$ , S hat daher das Volumen

$V_{3} (S) = π \int_{- r}^{r} r^{2} - X^{2} = π (r^{2} \cdot r - \frac{1}{3} r^{3}) \cdot 2 = \frac{4}{3} π r^{3}$

Der Kegel (Conus) $C ≔ {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x \in [0, h] \land y^{2} + z^{2} \leq (\frac{r}{h} x)^{2}}$ mit Höhe h und Radius r besitzt das Volumen

$V_{3} (C) = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Beweis: Offensichtlich ist $C \subset [0, h] \times ℝ^{2}$ und für $x \in [0, h]$ hat man

$C_{x} = {(x, y) \in ℝ^{2} | y^{2} + z^{2} \leq (\frac{r}{h} x)^{2}}$ .

$C_{x}$ ist also auch hier wieder ein Kreis (bzw. ein Punkt für $x = 0$ ). Mit [8] ergibt sich daher die auf $[0, h]$ integrierbare Funktion $V_{2} (C_{X}) = (\frac{r}{h} X)^{2} π$ und damit schließlich das Volumen

$V_{3} (C) = (\frac{r}{h})^{2} π \int_{0}^{h} X^{2} = (\frac{r}{h})^{2} π \cdot \frac{1}{3} h^{3} = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Die Pyramide $P ≔ {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x \in [0, h] \land | y | \leq \frac{b}{2 h} x \land | z | \leq \frac{a}{2 h} x}$ mit Höhe h und rechteckiger Grundfläche $a \times b$ besitzt das Volumen

$V_{3} (P) = \frac{1}{3} a b h$

Beweis: $P \subset [0, h] \times ℝ^{2}$ und für $x \in [0, h]$ ist

$\begin{array}{l} P_{x} & = {(x, y) \in ℝ^{2} | | y | \leq \frac{b}{2 h} x \land | z | \leq \frac{a}{2 h} x} \\ = [- \frac{b}{2 h} x, \frac{b}{2 h} x] \times [- \frac{a}{2 h} x, \frac{a}{2 h} x], \end{array}$

also für $x = 0$ ein Punkt, sonst ein Rechteck mit den Kantenlängen $\frac{b}{2 h} x$ und $\frac{a}{2 h} x$ . Mit der integrierbaren Funktion $V_{2} (P_{X}) = \frac{a b}{h^{2}} X^{2}$ hat man nun:

$V_{3} (P) = \frac{a b}{h^{2}} \int_{0}^{h} X^{2} = \frac{1}{3} a b h$

Mit den Abkürzungen $r_{i} (x) ≔ R - \sqrt{r^{2} - x^{2}}$ und $r_{a} (x) ≔ R + \sqrt{r^{2} - x^{2}}$ ist die Menge

T ≔ {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x \in [- r, r] \land r_{i}^{2} (x) \leq y^{2} + z^{2} \leq r_{a}^{2} (x)}

ein Torus mit den Radien r und R.
i

Die nebenstehende Skizze zeigt einen senkrecht zur z-Achse halbierten Torus mit den Radien r und R.
Sie erläutert die Berechnung des inneren ( $r_{i}$ ) und des äußeren ( $r_{a}$ ) Radius eines Schnittes $T_{x}$ .

Er hat das Volumen

V_{3} (T) = 2 R r^{2} π^{2}

Beweis: $T \subset [- r, r] \times ℝ^{2}$ und für ein $x \in [- r, r]$ ist der Schnitt

T_{x} = {(y, z) \in ℝ^{2} | r_{i}^{2} (x) \leq y^{2} + z^{2} \leq r_{a}^{2} (x)}

eine Lochscheibe. Nach [9] besitzt $T_{x}$ das Volumen

\begin{array}{l} V_{2} (T_{x}) & = (r_{a}^{2} (x) - r_{i}^{2} (x)) π \\ = ((R + \sqrt{r^{2} - x^{2}})^{2} - (R - \sqrt{r^{2} - x^{2}})^{2}) π \\ = 4 R \sqrt{r^{2} - x^{2}} π \end{array}

$V_{2} (T_{X})$ ist integrierbar, T besitzt also ein Volumen, nämlich (das auftretende Integral haben wir bereits in 8.4 ermittelt)

V_{3} (T) = 4 R π \int_{- r}^{r} \sqrt{r^{2} - X^{2}} = 4 R π \cdot \frac{1}{2} r^{2} π = 2 R r^{2} π^{2}

Der Quader $Q ≔ [0, a] \times [0, b] \times [0, c]$ mit den Kantenlängen a, b und c hat das Volumen

$V_{3} (Q) = a b c$

Beweis: ?
$V_{3} (Q) = b c \int_{0}^{a} 1 = a b c$

Der Zylinder $Z ≔ [0, h] \times {(y, z) \in ℝ^{2} | y^{2} + z^{2} \leq r^{2}}$ mit Höhe h und Radius r hat das Volumen

$V_{3} (Z) = h r^{2} π$

Beweis: ?
$V_{3} (Z) = r^{2} π \int_{0}^{h} 1 = h r^{2} π$

Einige der gerade betrachteten Beispiele (u.a. Kugel und Kegel) respräsentieren eine allgemeine Klasse von Teilmengen des $ℝ^{3}$ , die ein Volumen besitzen, die sog. Rotationskörper. Sie haben eine drechselförmige Gestalt und entstehen durch Rotation eines Graphen um die x-Achse.

Bezeichnung und Bemerkung: Ist $f : [a, b] \to ℝ$ eine stetige Funktion, so nennen wir die Menge

R ≔ {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x \in [a, b] \land y^{2} + z^{2} \leq {(f (x))}^{2}}

[8.5.5]

den durch die Hüllfunktion f (im Bereich $[a, b]$ ) erzeugten Rotationskörper. R besitzt das Volumen

V_{3} (R) = π \int_{a}^{b} f^{2}

Beweis: $R \subset [a, b] \times ℝ^{2}$ und für $x \in [a, b]$ ist $R_{x}$ ein Kreis mit Radius $| f (x) |$ . Man hat also $V_{2} (R_{X}) = π f^{2}$ , und damit die Behauptung.

Als Beispiel berechnen wird das Volumen des durch die Hüllfunktion $X^{2} + 1$ in $[- 1, 1]$ erzeugten Rotationskörpers R (Seilrolle):

\begin{array}{l} V_{3} (R) & = π \int_{- 1}^{1} (X^{2} + 1)^{2} \\ = π \int_{- 1}^{1} X^{4} + 2 X^{2} + 1 \\ = π (\frac{1}{5} X^{5} + \frac{2}{3} X^{3} + X) |_{- 1}^{1} = \frac{56}{15} π \end{array}

Aufgabe: Das Ellipsoid

E ≔ {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x \in [- a, a] \land y^{2} + z^{2} \leq \frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot (a^{2} - x^{2})}

hat das Volumen $V_{3} (E) = \frac{4}{3} a b^{2} π$ .

Beweis: ?

V_{3} (E) = π \frac{b^{2}}{a^{2}} \int_{- a}^{a} a^{2} - X^{2} = π \frac{b^{2}}{a^{2}} (a^{2} a - \frac{1}{3} a^{3}) \cdot 2 = \frac{4}{3} a b^{2} π

Zur Berechnung n-dimensionaler Volumina ist der Einsatz des Induktionsprinzips unerläßlich. Wir beginnen unsere Untersuchungen mit der Berechnung des n-dimensionalen Würfel- bzw. Kugelvolumens.

Bemerkung:

Der n-dimensionale Würfel $W_{n} = {[0, a]}^{n}$ hat das Volumen

V_{n} (W_{n}) = a^{n}

[8.5.6]

Die n-dimensionale Kugel $S_{n} = {x \in ℝ^{n} | x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2} \leq r^{2}}$ hat das Volumen

V_{n} (S_{n}) = {\begin{array}{l} \frac{1}{k!} π^{k} r^{n} falls n = 2 k \\ \frac{2^{n} k!}{n!} π^{k} r^{n} falls n = 2 k + 1 \end{array}

[8.5.7]

1. ► Beweis per Induktion:

$n = 1$ : $W_{1} = [0, a]$ ist ein abgeschlossenes Intervall mit $V_{1} (W_{1}) = a = a^{1}$ .
$n \Rightarrow n + 1$ : Sei jetzt $W_{n + 1} = {[0, a]}^{n + 1} = [0, a] \times {[0, a]}^{n}$ ein $(n + 1)$ -dimensionaler Würfel. Für $x \in [0, a]$ ist der Schnitt $W_{n + 1, x} = {[0, a]}^{n}$ ein n-dimensionaler Würfel, besitzt also nach Induktionsvoraussetzung ein Volumen. Und da $V_{n} (W_{n + 1, X}) = a^{n}$ als konstante Funktion auch integrierbar ist, besitzt $W_{n + 1}$ ebenfalls ein Volumen, und zwar

$V_{n + 1} (W_{n + 1}) = a^{n} \int_{0}^{a} 1 = a^{n + 1}$

2. ► Beweis per Induktion:

$n = 1$ : $S_{1} = {x \in ℝ | x^{2} \leq r^{2}} = [- r, r]$ ist ein geschlossenes Intervall mit

$V_{1} (S_{1}) = 2 r = \frac{2^{1} \cdot 0!}{1!} π^{0} r^{1}$

Man beachte, dass hier $n = 2 \cdot 0 + 1$ ist.
$n \Rightarrow n + 1$ : Sei jetzt $S_{n + 1} = {(x, y) \in ℝ^{n + 1} | x^{2} + y_{1}^{2} + \dots + y_{n}^{2} \leq r^{2}} \subset [- r, r] \times ℝ^{n}$ eine ( $n + 1$ )-dimensionale Kugel. Für $x \in [- r, r]$ ist $S_{n + 1, x} = {y \in ℝ^{n} | y_{1}^{2} + \dots + y_{n}^{2} \leq r^{2} - x^{2}}$ eine n-dimensionale Kugel, hat also nach Induktionsvoraussetzung ein Volumen. Dabei ist

$V_{n} (S_{n + 1, X}) = {\sqrt{r^{2} - X^{2}}}^{n} \cdot {\begin{array}{l} \frac{1}{k!} π^{k} falls n = 2 k \\ \frac{2^{n} k!}{n!} π^{k} falls n = 2 k + 1 \end{array}$

eine stetige, also auch integrierbare Funktion. $S_{n + 1}$ besitzt daher ein Volumen.

Mit Hilfe der Substitution $g = r \cdot \sin, g^{'} = r \cdot \cos$ (siehe [8.3.5]) berechnen wir zunächst das Integral

$\begin{array}{l} \int_{- r}^{r} {\sqrt{r^{2} - X^{2}}}^{n} = \int_{r \cdot \sin (- \frac{π}{2})}^{r \cdot \sin (\frac{π}{2})} {\sqrt{r^{2} - X^{2}}}^{n} & = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {\sqrt{r^{2} - r^{2} \cdot \sin^{2}}}^{n} r \cdot \cos \\ = r^{n + 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {\sqrt{\underset{= \cos^{2}}{\underset{︸}{1 - \sin^{2}}}}}^{n} \cos \\ = r^{n + 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{n + 1} \\ \underset{[8.3.4]}{=} r^{n + 1} \cdot {\begin{array}{l} \frac{(n + 1)!}{(2^{k} k!)^{2}} \cdot π falls n + 1 = 2 k \\ \frac{(2^{k} k!)^{2}}{(n + 1)!} \cdot 2 falls n + 1 = 2 k + 1 \end{array} \end{array}$

und errechnen damit das Volumen der ( $n + 1$ )-dimensionalen Kugel zu

$\begin{array}{l} V_{n + 1} (S_{n + 1}) & = \int_{- r}^{r} {\sqrt{r^{2} - X^{2}}}^{n} \cdot {\begin{array}{l} \frac{1}{k!} π^{k} falls n = 2 k \\ \frac{2^{n} k!}{n!} π^{k} falls n = 2 k + 1 \end{array} \\ = r^{n + 1} \cdot {\begin{array}{l} \frac{(2^{k} k!)^{2}}{(n + 1)!} \cdot 2 \cdot \frac{1}{k!} π^{k} falls n = 2 k \Leftrightarrow n + 1 = 2 k + 1 \\ \frac{(n + 1)!}{(2^{k + 1} (k + 1)!)^{2}} \cdot π \cdot \frac{2^{n} k!}{n!} π^{k} falls n = 2 k + 1 \Leftrightarrow n + 1 = 2 (k + 1) \end{array} \\ = {\begin{array}{l} \frac{2^{2 k + 1} {(k!)}^{2}}{(n + 1)! k!} π^{k} r^{n + 1} falls n + 1 = 2 k + 1 \\ \frac{(n + 1) \cdot 2^{n}}{2^{2 k + 1} \cdot 2 (k + 1) (k + 1)!} π^{k + 1} r^{n + 1} falls n + 1 = 2 (k + 1) \end{array} \\ = {\begin{array}{l} \frac{2^{n + 1} k!}{(n + 1)!} π^{k} r^{n + 1} falls n + 1 = 2 k + 1 \\ \frac{1}{(k + 1)!} π^{k + 1} r^{n + 1} falls n + 1 = 2 (k + 1) \end{array} \end{array}$

Weitere Untersuchungen führen wir an allgemeinen Zylindern, bzw. allgemeinen Kegeln durch. Für eine nicht-leere Teilmenge $\emptyset \neq G \subset ℝ^{n}$ des $ℝ^{n}$ nennen wir die Menge

$Z ≔ [0, h] \times G$

[8.5.8]

einen (allgemeinen) Zylinder mit Grundfläche G und Höhe h.

$C ≔ {(x, \frac{x}{h} y_{1}, \dots \frac{x}{h} y_{n}) \in ℝ^{n + 1} | x \in [0, h] \land y \in G}$

[8.5.9]

einen (allgemeinen) Kegel (Conus) mit Grundfläche G und Höhe h.

Beachte:

Abgesehen vom Fall $n = 2$ sind Grundflächen natürlich keine Flächen im gewöhnlichen Sinn.
Eine (allgemeine) Pyramide ist ein Kegel, dessen Grundfläche ein Polytop ist.

Aufgabe: Besitzt G ein Volumen, so hat der Zylinder $Z = [0, h] \times G$ das Volumen

V_{n + 1} (Z) = V_{n} (G) \cdot h

[8.5.10]

So hat z.B. der Zylinder $Z = [0, 2] \times {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 9}$ , dessen Grundfläche eine Kugel vom Radius 3 ist, ein Volumen von $V_{4} (Z) = \frac{4}{3} \cdot 3^{3} π \cdot 2 = 72 π$ .

Beweis: ?

V_{n + 1} (Z) = V_{n} (G) \int_{0}^{h} 1 = V_{n} (G) \cdot h

[8.5.10] bestätigt offenbar die alte Formel "Grundfläche mal Höhe" für das Volumen eines Zylinders. Um ein analoges Ergebnis für den Kegel zu erhalten, benötigen wir einige technische Vorbereitungen: Für zwei Vektoren $d = (d_{0}, \dots, d_{n - 1})$ und $c = (c_{0}, \dots, c_{n - 1})$ mit $c_{i} > 0$ setzen wir für eine beliebige Teilmenge $M \subset ℝ^{n}$

c M + d ≔ {(c_{0} \cdot x + d_{0}, c_{1} \cdot y_{1} + d_{1}, \dots, c_{n - 1} \cdot y_{n - 1} + d_{n - 1}) | (x, y_{1}, \dots, y_{n - 1}) \in M}

Dabei schreiben wir abkürzend $c M$ und $M + d$ , falls $d = (0, \dots,0)$ bzw. $c = (1, \dots,1)$ . $c M$ ist die mit den Streckungsvektor c gestreckte, $M + d$ die um den Verschiebungsvektor d verschobene Menge M.

Die folgende Bemerkung führt nicht nur zu unserem Ziel, sondern auch zu weiteren, wichtigen Ergebnissen.

Bemerkung: Eine Teilmenge $M \subset ℝ^{n}$ besitzt genau dann ein Volumen wenn $c M + d$ ein Volumen besitzt. In diesem Fall gilt

V_{n} (c M + d) = c_{0} \cdot \dots \cdot c_{n - 1} \cdot V_{n} (M)

[8.5.11]

Beweis: Es reicht, nur die Richtung " $\Rightarrow$ " nachzuweisen, denn mit der Gleichheit

(\frac{1}{c_{0}}, \dots, \frac{1}{c_{n - 1}}) (c M + d) + (\frac{- d_{0}}{c_{0}}, \dots, \frac{- d_{n - 1}}{c_{n - 1}}) = M

folgt damit auch die Umkehrung. Wir führen den Beweis nun per Induktion.

$n = 1$ : Falls $M = \emptyset$ , ist auch $c M + d = \emptyset$ und beide Mengen haben das Volumen 0. Sei also $M = [l_{1}, r_{1}] ⊍ \dots ⊍ [l_{k}, r_{k}]$ . Dann ist

$c M + d = [c_{0} \cdot l_{1} + d_{0}, c_{0} \cdot r_{1} + d_{0}] ⊍ \dots ⊍ [c_{0} \cdot l_{k} + d_{0}, c_{0} \cdot r_{k} + d_{0}]$

wieder eine disjunkte Vereinigung von Intervallen, besitzt also ein Volumen, und

$V_{1} (c M + d) = \sum_{i = 1}^{k} c_{0} \cdot r_{i} + d_{0} - (c_{0} \cdot l_{i} + d_{0}) = c_{0} \cdot \sum_{i = 1}^{k} r_{i} - l_{i} = c_{0} \cdot V_{1} (M)$
$n \Rightarrow n + 1$ : Sei jetzt $M \subset [a, b] \times ℝ^{n}$ , also $c M + d \subset [c_{0} \cdot a + d_{0}, c_{0} \cdot b + d_{0}] \times ℝ^{n}$ .
Falls nun $a = b$ , so ist auch $c_{0} \cdot a + d_{0} = c_{0} \cdot b + d$ und beide Mengen haben das Volumen 0. Sei daher $a < b$ . Zunächst hat man

${(c M + d)}_{x} = (c_{1}, \dots, c_{n}) M_{\frac{x - d_{0}}{c_{0}}} + (d_{1}, \dots, d_{n})$ [+]

für alle $x \in [c_{0} \cdot a + d_{0}, c_{0} \cdot b + d_{0}]$ , denn:

$\begin{array}{l} (y_{1}, \dots, y_{n}) \in {(c M + d)}_{x} & \Leftrightarrow (x, y_{1}, \dots, y_{n}) \in c M + d \\ \Leftrightarrow (\frac{x - d_{0}}{c_{0}}, \frac{y_{1} - d_{1}}{c_{1}}, \dots, \frac{y_{n} - d_{n}}{c_{n}}) \in M \\ \Leftrightarrow (\frac{y_{1} - d_{1}}{c_{1}}, \dots, \frac{y_{n} - d_{n}}{c_{n}}) \in M_{\frac{x - d_{0}}{c_{0}}} \\ \Leftrightarrow (y_{1}, \dots, y_{n}) \in (c_{1}, \dots, c_{n}) M_{\frac{x - d_{0}}{c_{0}}} + (d_{1}, \dots, d_{n}) \end{array}$

Besitzt M nun ein Volumen, so hat jeder Schnitt $M_{x}$ ein Volumen und $V_{n} (M_{X})$ ist über $[a, b]$ integrierbar. Nach Induktionsvoraussetzung hat dann

$(c_{1}, \dots, c_{n}) M_{\frac{x - d_{0}}{c_{0}}} + (d_{1}, \dots, d_{n}) \underset{[+]}{=} {(c M + d)}_{x}$

für jedes $x \in [c_{0} \cdot a + d_{0}, c_{0} \cdot b + d_{0}]$ das Volumen $V_{n} ({(c M + d)}_{x}) = c_{1} \cdot \dots \cdot c_{n} \cdot V_{n} (M_{\frac{x - d_{0}}{c_{0}}})$ . Nach [8.3.5] (Substitutionsregel) ist $V_{n} ((c M + d)_{X})$ integrierbar, $c M + d$ besitzt also ein Volumen, nämlich

$\begin{array}{l} V_{n + 1} (c M + d) & = \int_{c_{0} \cdot a + d_{0}}^{c_{0} \cdot b + d_{0}} V_{n} ({(c M + d)}_{X}) \\ = c_{0} \cdot c_{1} \cdot \dots \cdot c_{n} \int_{c_{0} \cdot a + d_{0}}^{c_{0} \cdot b + d_{0}} V_{n} (M_{\frac{X - d_{0}}{c_{0}}}) \cdot \frac{1}{c_{0}} \\ = c_{0} \cdot c_{1} \cdot \dots \cdot c_{n} \int_{a}^{b} V_{n} (M_{X}) \\ = c_{0} \cdot c_{1} \cdot \dots \cdot c_{n} \cdot V_{n + 1} (M) \end{array}$

Wir notieren nun einige Folgerungen aus [8.5.11]:

Volumina sind verschiebungstreu, denn mit $c = (1, \dots,1)$ ist

V_{n} (M + d) = V_{n} (M)

[8.5.12]

Volumina sind streckungskompatibel, denn mit $d = (0, \dots,0)$ ist

V_{n} (c M) = c_{0} \cdot \dots c_{n - 1} \cdot V_{n} (M)

[8.5.13]

Volumina sind scherungstreu: Besitzt $M \subset [a, b] \times ℝ^{n}$ ein Volumen, so hat für jeden Scherungsvektor $s = (s_{1}, \dots, s_{n}) \in ℝ^{n}$ die Menge

M^{s} ≔ {(x, \frac{s_{1}}{b - a} (x - a) + y_{1}, \dots, \frac{s_{n}}{b - a} (x - a) + y_{n}) | x \in [a, b] \land y \in M_{x}}

ein Volumen derselben Größe:

V_{n + 1} (M^{s}) = V_{n + 1} (M)

[8.5.14]

Beweis: Für $x \in [a, b]$ ist offensichtlich $M_{x}^{s} = M_{x} + (\frac{s_{1}}{b - a} (x - a), \dots, \frac{s_{n}}{b - a} (x - a))$ . Nach [8.5.12] hat $M_{x}^{s}$ daher das Volumen $V_{n} (M_{x}^{s}) = V_{n} (M_{x})$ und mit [8.5.4] (Prinzip des Cavalieri) folgt dann die Behauptung.

Mit der nun vorliegenden Streckungskompatibilität kehren wir zu unserem Vorhaben zurück und berechnen das Volumen eines allgemeinen Kegels.

Bemerkung: Der Kegel $C = {(x, \frac{x}{h} y_{1}, \dots \frac{x}{h} y_{n}) \in ℝ^{n + 1} | x \in [0, h] \land y \in G}$ hat ein Volumen, falls seine Grundfläche $G \subset ℝ^{n}$ ein Volumen besitzt. In diesem Fall gilt:

V_{n + 1} (C) = \frac{1}{n + 1} V_{n} (G) \cdot h

[8.5.15]

Beweis: Für $x \in [0, h]$ ist $C_{x} = {(\frac{x}{h} y_{1}, \dots, \frac{x}{h} y_{n}) | y \in G} = (\frac{x}{h}, \dots, \frac{x}{h}) \cdot G$ . Mit G besitzt daher nach [8.5.13] auch $C_{x}$ ein Volumen, nämlich $V_{n} (C_{x}) = (\frac{x}{h})^{n} \cdot V_{n} (G)$ . Als Vielfaches von $X^{n}$ ist $V_{n} (C_{X})$ integrierbar, also besitzt C das Volumen

V_{n} (C_{X}) = \int_{0}^{h} V_{n} (C_{X}) = \frac{1}{h^{n}} \cdot V_{n} (G) \int_{0}^{h} X^{n} = \frac{1}{h^{n}} \cdot V_{n} (G) \cdot \frac{h^{n + 1}}{n + 1} = \frac{1}{n + 1} V_{n} (G) \cdot h

Beachte:

Die Volumenformel [8.5.15] erfasst natürlich auch die bereits ermittelten Volumen von Dreiecken, dreidimensionalen Kreiskegeln und Pyramiden.
Die Höhe eines Kegels kann, aber muss nicht senkrecht auf der Grundfläche stehen. Für das Volumen ist dies ohne Bedeutung. So haben etwa alle skizzierten Dreiecke dasselbe Volumen 1,5.

8.4. 8.6.