Beispiel einer integrierbaren, aber nicht stetigen Funktion

Für die durch  ${\displaystyle g(x)≔\{\begin{array}{l}{x}^2\cdot \sin \frac{1}{x}\text{, falls }x\ne 0\hfill \\ 0\text{, falls }x=0\hfill \end{array}}$  gegebene Funktion  ${\displaystyle g:ℝ\to ℝ}$ gilt:

1. g ist differenzierbar mit  ${\displaystyle g^{\prime }(x)=\{\begin{array}{l}2x\cdot \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}\text{, falls }x\ne 0\hfill \\ 0\text{, falls }x=0\hfill \end{array}}$.

2. ${\displaystyle g^{\prime }}$ ist (in 0) unstetig.

Beweis:  

1. ►  In einem ${\displaystyle x\ne 0}$ ist g nach Produkt- und Kettenregel [7.6.3/11] differenzierbar mit

als Ableitung. Für ${\displaystyle x=0}$ ist zu prüfen, ob die Differenzenquotientenfunktion ${\displaystyle \frac{g-g(0)}{\mathrm{X}-0}}$ einen Grenzwert besitzt. Die für alle ${\displaystyle x\ne 0}$ gültige Abschätzung (beachte: sin ist beschränkt durch 1)

garantiert ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=0}$, also die Differenzierbarkeit von g in 0 mit ${\displaystyle g^{\prime }(0)=0}$.

2. ►  Weil z.B. ${\displaystyle \frac{1}{2\pi n}\to 0}$, aber ${\displaystyle g^{\prime }(\frac{1}{2\pi n})=\frac{1}{\pi n}\sin (2\pi n)-\cos (2\pi n)=-1\to -1\ne g^{\prime }(0)}$, kann ${\displaystyle g^{\prime }}$ in 0 nicht stetig sein.
 

Mit  ${\displaystyle f≔g^{\prime }}$ liegt damit eine nicht stetige Funktion vor, die eine Stammfunktion besitzt.