Stetige Funktionen auf Intervallen besitzen eine Stammfunktion

Für den Beweis unterscheiden wir mehrere Intervalltypen:
 

1. Jede stetige Funktion ${\displaystyle f:[\mathrm{0,1}]\to ℝ}$ besitzt eine Stammfunktion.

   Beweis:  Wir verwenden den Weierstraßschen Approximationssatz (für einen alternativen ad-hoc Beweis hier klicken). Nach [6.7.2] gibt es eine Folge von Polynomen ${\displaystyle (p_n)}$, die auf ${\displaystyle [0,1]}$ gleichmäßig gegen f konvergiert:

   ${\displaystyle p_n\underset{gm}{\to }f}$

   Nach [8.1.10] ist jedes Polynom ${\displaystyle p_n}$ integrierbar. Also besitzt der gleichmäßige Limes f eine Stammfunktion gemäß [8.1.15].

   Beweis:  Wir konstruieren zu jedem ${\displaystyle n\in {\mathbb{N}}^{*}}$ einen Polygonzug  ${\displaystyle p_n}$ (ein kürzerer Beweis greift direkt auf die Bernsteinpolynome zurück) indem wir ${\displaystyle n+1}$ geeignete Graphenpunkte von f durch einen Streckenzug verbinden. Dazu zerlegen wir das Intervall ${\displaystyle [\mathrm{0,1}]}$ in n Teilintervalle der Länge ${\displaystyle \frac{1}{n}}$, und setzen für ${\displaystyle 0\le i\le n-1}$

   ${\displaystyle I_{n,i}}$
   

   Mit den Eckpunkten der Teilungsintervalle haben wir gleichzeitig ${\displaystyle n+1}$ Graphenpunkte von f ausgezeichnet. Den i-ten verbinden wir mit dem (${\displaystyle i+1}$)-ten durch die Strecke

   ${\displaystyle g_{n,i}:I_{n,i}\to ℝ,x\mapsto m_{n,i}\cdot (x-\frac{i}{n})+f(\frac{i}{n})}$

   wobei die Steigung ${\displaystyle m_{n,i}}$ durch den Quotienten

   ${\displaystyle m_{n,i}=\frac{f(\frac{i+1}{n})-f(\frac{i}{n})}{\frac{1}{n}}=n(f(\frac{i+1}{n})-f(\frac{i}{n}))}$

   gegeben ist. Für ${\displaystyle 0\le i<n-1}$ ist ${\displaystyle I_{n,i}\cap I_{n,i+1}=\{\frac{i+1}{n}\}}$ und

   ${\displaystyle g_{n,i}(\frac{i+1}{n})=m_{n,i}\cdot \frac{1}{n}+f(\frac{i}{n})=f(\frac{i+1}{n})-f(\frac{i}{n})+f(\frac{i}{n})=g_{n,i+1}(\frac{i+1}{n})}$,

   so dass wir den gesuchten Polygonzug als wohldefinierte Verklebung

   i

   Für ${\displaystyle f:A\to ℝ}$ und ${\displaystyle g:B\to ℝ}$ mit  ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in A\cap B}$ ist ${\displaystyle f\cup g(x)=\{\begin{array}{l}f(x)\text{, falls }x\in A\hfill \\ g(x)\text{, falls }x\in B\hfill \end{array}}$

   ${\displaystyle p_n≔g_{n\mathrm{,0}}\cup \dots \cup g_{n,n-1}}$

   gewinnen können. Ein aufrufbares Applet

   i

    zeigt am Beispiel der Funktion ${\displaystyle f:[0,1]\to ℝ}$, ${\displaystyle x\mapsto 5x\cdot \cos (20x)}$ wie die Folge der Polygonzüge die Funktion f approximiert.

   Als Einschränkung einer linearen Funktion ist jede Strecke ${\displaystyle g_{n,i}}$ integrierbar (siehe [8.1.10], [8.1.13]). [8.1.14] sichert damit die Integrierbarkeit von ${\displaystyle p_n}$ und [8.1.15] folglich die von f, wenn wir die gleichmäßige Konvergenz

   ${\displaystyle p_n\underset{gm}{\to }f}$

   zeigen können. Seien dazu ${\displaystyle x\in [\mathrm{0,1}]}$ und ${\displaystyle \epsilon >0}$ beliebig. Da f auf dem geschlossenem Intervall ${\displaystyle [0,1]}$ gleichmäßig stetig ist, gibt es ein ${\displaystyle n_0\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$, so dass alle ${\displaystyle r,s\in [0,1]}$ die Folgerung

   ${\displaystyle |r-s|\le \frac{1}{n_0}\Rightarrow |f(r)-f(s)|<\frac{\epsilon }{2}}$

   erfüllen. Für ein beliebiges ${\displaystyle n\ge n_0}$ wenden wir diesen Schluss zweimal an:

   • Da ${\displaystyle |\frac{i+1}{n}-\frac{i}{n}|=\frac{1}{n}\le \frac{1}{n_0}}$ lassen sich die Steigungen der Verbindungsstrecken abschätzen:

     ${\displaystyle |m_{n,i}|=n|f(\frac{i+1}{n})-f(\frac{i}{n})|<n\frac{\epsilon }{2}}$  für alle  ${\displaystyle 0\le i<n-1}$.
     
      

   • x liegt in einem der Intervalle ${\displaystyle I_{n,i}}$, etwa ${\displaystyle x\in I_{n,i_n}}$. Man hat daher ${\displaystyle p_n(x)=g_{n,i_n}(x)}$ und ${\displaystyle |\frac{i_n}{n}-x|\le \frac{1}{n}\le \frac{1}{n_0}}$, d.h. also:

     ${\displaystyle \begin{array}{ll}|p_n(x)-f(x)|\hfill & =|g_{n,i_n}(x)-f(x)|\hfill \\ \hfill & =|m_{n,i_n}\cdot (x-\frac{i_n}{n})+f(\frac{i_n}{n})-f(x)|\hfill \\ \hfill & \le |m_{n,i_n}|\cdot |x-\frac{i_n}{n}|+|f(\frac{i_n}{n})-f(x)|\hfill \\ \hfill & <n\cdot \frac{\epsilon }{2}\cdot \frac{1}{n}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon \text{.}\hfill \end{array}}$
   
    

2. Jede stetige Funktion ${\displaystyle f:[a,b]\to ℝ}$ besitzt eine Stammfunktion.

   Beweis:  Die auf ${\displaystyle [0,1]}$ stetige Funktion ${\displaystyle f\circ (a+(b-a)\cdot \mathrm{X})}$ besitzt nach 1 eine Stammfunktion g. Gemäß Kettenregel ([7.7.8]) ist dann die Funktion

   ${\displaystyle h≔(b-a)(g\circ \frac{\mathrm{X}-a}{b-a})}$

   differenzierbar mit ${\displaystyle h^{\prime }=(b-a)(g^{\prime }\circ \frac{\mathrm{X}-a}{b-a})\frac{1}{b-a}=f\circ (a+(b-a)\cdot \mathrm{X})\circ \frac{\mathrm{X}-a}{b-a}=f}$. h ist also eine Stammfunktion zu f.

   
    

3. Jede stetige Funktion ${\displaystyle f:I\to ℝ}$ besitzt eine Stammfunktion.

   Beweis:  Nach dem Ergebnis in 2 reicht es, nur Intervalle I der Form ${\displaystyle ]a,b[}$, ${\displaystyle ]a,b]}$ oder ${\displaystyle [a,b[}$ zu betrachten, als Beispiel etwa den letzten Fall: Zunächst gibt es eine aufsteigende Folge ${\displaystyle (I_n)}$ geschlossener Teilintervalle von I, deren Vereinigung ganz I ist: ${\displaystyle I=\underset{i\in \mathbb{N}}{\cup }{I}_n}$. Man nehme z.B.

   ${\displaystyle I_n≔\{\begin{array}{l}[a,b-\frac{b-a}{n+1}]\text{ , if }b<\infty \hfill \\ [a,a+n]\text{ , if }b=\infty \hfill \end{array}}$

   f ist auf jedem dieser Intervalle stetig, ist also nach der Vorüberlegung 2 für geschlossene Intervalle dort integrierbar. Gemäß [8.1.3] gibt es daher zu jedem ${\displaystyle n>1}$ genau eine differenzierbare Funktion ${\displaystyle g_n:I_n\to ℝ}$ mit ${\displaystyle g_n(a)=0}$ und ${\displaystyle {g_n}^{\prime }(x)=f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in I_n}$.

   Die Eindeutigkeit garantiert dabei für ${\displaystyle m\ge n>1}$

   ${\displaystyle g_m(x)=g_n(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in I_n}$,

   so dass durch die Festsetzung

   ${\displaystyle g(x)≔g_n(x)}$, falls ${\displaystyle x\in I_n}$ für ein n

   eine Funktion ${\displaystyle g:I\to ℝ}$ gegeben ist, die in jedem x lokal mit einer der Funktionen ${\displaystyle g_n}$ identisch ist. g ist daher differenzierbar mit ${\displaystyle g^{\prime }=f}$.