Beweis einiger Eigenschaften der Transformationsabbildung

Beweis einiger Eigenschaften der Transformationsabbildung

Zu 1. müssen wir zeigen: Die Koordinaten des Nullvektors in Rⁿ sind die richtigen Koeffizienten zur Darstellung des Nullvektors in V. Dies ist aber offensichtlich der Fall:

0v₁ + ... + 0v_n = 0.

Zu 2. ist nachzuweisen: Die Koordinaten des Vektors e_i in Rⁿ sind die richtigen Koeffizienten zur Darstellung des v_i in V:

0v₁ + ... + 1v_i + ... + 0v_n = v_i.

Zu 3. und 4.: Sei a = $T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x)$ und b = $T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (y)$ , also:

a₁v₁ + ... + a_nv_n = x und b₁v₁ + ... + b_nv_n = y.

Folgt: (a₁ + b₁)v₁ + ... + ( a_n + b_n)v_n = a₁v₁ + ... + a_nv_n + b₁v₁ + ... + b_nv_n = x + y. D.h. aber:

a + b =

T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x + y)

Ferner: ta₁v₁ + ... + ta_nv_n = t(a₁v₁ + ... + a_nv_n) = tx, und damit:

T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (τ x) = τ α

Zu 5.: Wir setzen für a ÎRⁿ : $S_{v_{1}, &ldots;, v_{n}}$ (a) := a₁v₁ + ... + a_nv_n. Die Abbildung

S_{v_{1}, &ldots;, v_{n}}

: Rⁿ ® V

erfüllt trivialerweise die Gleichungen

S_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} \circ T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}}

= X_V und

T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} \circ S_{v_{1}, &ldots;, v_{n}}

= X_Rn.

T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}}

besitzt also eine inverse Funktion und ist somit umkehrbar.

Zu 6.: Nach 5. ist $T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}}$ insbesondere injektiv, das Argument

T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x) = T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (y) \Rightarrow x = y

steht also zur Verfügung. Man hat daher:

	v Î < x₁,..., x_k >
Û	v = a₁x₁ + ... + a_kx_k für geeignete a_i
Û	$T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (v)$	= $T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (α_{1} x_{1} + &ldots; + α_{k} x_{k})$ für geeignete a_i
		= $α_{1} T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x_{1}) + &ldots; + α_{k} T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x_{k})$
Û	$T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (v) \in < T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x_{1}), &ldots;, T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x_{k}) >$ .

Zu 7: Es reicht, die analoge Aussage für die lineare Abhängigkeit nachzuweisen. Mit 6. hat man:

	x₁,..., x_k linear abhängig
Û	x_i Î < x₁,..., x_i - 1, x_i + 1,..., x_k > für ein i
Û	$T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x_{i}) \in < T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x_{1}), &ldots;, T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x_{i - 1}), T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x_{i + 1}), &ldots;, T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x_{k}) >$
Û	$T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x_{1}), &ldots;, T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x_{k})$ linear abhängig.

Zu 8.: Wir zeigen zunächst:

T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (< x_{1}, &ldots;, x_{k} >) = < T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x_{1}), &ldots;, T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x_{k}) >

Beweis:

a Î	$T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (< x_{1}, &ldots;, x_{k} >)$
Û a =	$T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (α_{1} x_{1} + &ldots; + α_{k} x_{k})$ für geeignete a_i
=	$α_{1} T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x_{1}) + &ldots; + α_{k} T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x_{k})$
Û a Î	$< T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x_{1}), &ldots;, T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x_{k}) >$ .

Ferner garantiert die Surjektivität der Transformationsabbildung die Gleichheit $T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (V)$ = Rⁿ. Wir können also die folgende Äquivalenz notieren:

	x₁,..., x_k maximal in V
Û	< x₁,..., x_k > = V
Û	$T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (< x_{1}, &ldots;, x_{k} >) = T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (V)$
Û	$< T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x_{1}), &ldots;, T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x_{k}) >$ = Rⁿ
Û	$T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x_{1}), &ldots;, T_{v_{1}, &ldots;, v_{n}} (x_{k})$ maximal in Rⁿ

9. ergibt sich direkt aus 7. und 8.