6.1. Bildfolgen

Haben wir im vorangegangenen Kapitel Folgen als eigenständige Objekte betrachtet, so werden wir sie jetzt als Hilfsmittel einsetzen, um Funktionen intensiver studieren zu können. Wir werden beobachten, wie auf der x-Achse laufende Folgen durch eine Funktion f verändert werden. Dadurch, so hoffen wir, lassen sich Rückschlüsse auf Eigenschaften der Funktion f ziehen.

Definition: Ist

f : A \to ℝ

eine Funktion und

(a_{n})

eine Folge in A, so heißt die Folge

(f (a_{n}))

[6.1.1]

die Bildfolge von $(a_{n})$ bzgl. f.

Während wir die Originalfolge $(a_{n})$ als Folge auf der x-Achse auffassen, sehen wir in der Bildfolge $(f (a_{n}))$ , deren Folgenglieder ja Funktionswerte von f sind, eine Folge auf der y-Achse.

Beispiel: Wir ermitteln einige Bildfolgen für die Quadratfunktion, für die Heavisidefunktion H
i

$H (x) = {\begin{array}{l} 1, falls x \geq 0 \\ 0, falls x < 0 \end{array}$
und für die Kehrwertfunktion.

$f = X^{2}$
- $(n - 1)$ hat die Bildfolge $(f (n - 1)) = ({(n - 1)}^{2})$ .
- $({(- 1)}^{n})$ hat die Bildfolge $(f ({(- 1)}^{n})) = ? ({(- 1)}^{2 n}) = (1) .$
- $(\frac{1}{n})$ hat die Bildfolge $(f (\frac{1}{n})) = (\frac{1}{n^{2}})$ .
$f = H$
- $(\frac{1}{n})$ hat die Bildfolge $(f (\frac{1}{n})) = (1)$ .
- $(- \frac{1}{n})$ hat die Bildfolge $(f (- \frac{1}{n})) = ? (0) .$
- $(\frac{{(- 1)}^{n}}{n})$ hat die Bildfolge $(f (\frac{{(- 1)}^{n}}{n})) = ({\begin{array}{l} 1, falls n gerade \\ 0, falls n ungerade \end{array})$ .
$f = \frac{1}{X}$
- $(n)$ hat die Bildfolge $(f (n)) = (\frac{1}{n})$ .
- $(\frac{1}{n^{2}})$ hat die Bildfolge $(f (\frac{1}{n^{2}})) = ? (n^{2}) .$

Die Beispiele zeigen deutlich, dass Eigenschaften der Originalfolgen nicht immer an ihre Bildfolgen weiter gegeben werden: So können etwa aus beschränkten Folgen unbeschränkte werden und auch die Konvergenz wird nicht immer vererbt. Aber auch umgekehrt können Bildfolgen nun Eigenschaften aufweisen, die ursprünglich nicht gegeben waren.

Wir können also Funktionen auszeichnen, wenn wir untersuchen, wie "treu" sie sich den einzelnen Folgeneigenschaften gegenüber verhalten

6.2.