6.3. Rechenregeln für stetige Funktionen

Wir haben den Stetigkeitsbegriff über die Konvergenz von Folgen gewonnen. Es ist daher zu erwarten, dass etliche Eigenschaften konvergenter Folgen eine Parallele bei den stetigen Funktionen haben. In diesem Abschnitt übertragen wir zunächst die vier Grenzwertsätze. Darüber hinaus ist auch die Komposition mit der Stetigkeit verträglich.

Bemerkung (Stetigkeitssätze, lokal):

f : A \to ℝ

und

g : B \to ℝ

seien irgendzwei Funktionen,

n \in ℕ^{*}

. Sind f und g stetig in

a \in A \cap B

, so ist auch

$f + g$ stetig in a

[6.3.1]

$f - g$ stetig in a

[6.3.2]

$f \cdot g$ , und damit auch $f^{n}$ stetig in a

[6.3.3]

$\frac{f}{g}$ , und speziell auch $\frac{1}{g}$ stetig in a, falls $g (a) \neq 0$

[6.3.4]

Ist g stetig in a und f stetig in $g (a) \in A$ , so ist

$f \circ g$ stetig in a

[6.3.5]

Beweis: Die ersten vier Nachweise werden mit dem jeweiligen Grenzwertsatz geführt. Wir zeigen dies beispielhaft für die erste Aussage.

Sei dazu $(a_{n})$ eine Folge in $A \cap B$ die gegen a konvergiert. Da $A \cap B \subset A$ und $A \cap B \subset B$ hat man daher auf Grund der vorausgesetzten Stetigkeit von f und g:

$A ∋ a_{n} \to a \Rightarrow f (a_{n}) \to f (a)$
$B ∋ a_{n} \to a \Rightarrow g (a_{n}) \to g (a)$

Mit dem ersten Grenzwertsatz gewinnen wir daraus die Konvergenz

f + g (a_{n}) = f (a_{n}) + g (a_{n}) \to f (a) + g (a) = f + g (a)

Zum Beweis der fünften Aussage geben wir uns irgendeine gegen a konvergente Folge $(a_{n})$ in ${x \in B | g (x) \in A} \subset B$ vor. Da $g (a_{n}) \in A$ hat kann mit den gegebenen Stetigkeiten folgendermaßen argumentieren:

a_{n} \to a \Rightarrow g (a_{n}) \to g (a) \Rightarrow f \circ g (a_{n}) = f (g (a_{n})) \to f (g (a)) = f \circ g (a)

Die gerade bewiesenen Rechenregeln für die punktweise Stetigkeit übertragen sich sofort auf die allgemeine Stetigkeit. Die folgende Bemerkung ist daher nur eine Neuformulierung der Stetigkeitssätze.

Bemerkung (Stetigkeitssätze, global):

$f \in C^{0} (A) \land g \in C^{0} (B) \Rightarrow f + g \in C^{0} (A \cap B)$

[6.3.6]

$f \in C^{0} (A) \land g \in C^{0} (B) \Rightarrow f - g \in C^{0} (A \cap B)$

[6.3.7]

$f \in C^{0} (A) \land g \in C^{0} (B) \Rightarrow f \cdot g \in C^{0} (A \cap B)$

[6.3.8]

$f \in C^{0} (A) \land g \in C^{0} (B) \Rightarrow \frac{f}{g} \in C^{0} ({x \in A \cap B | g (x) \neq 0})$

[6.3.9]

$f \in C^{0} (A) \land g \in C^{0} (B) \Rightarrow f \circ g \in C^{0} ({x \in B | g (x) \in A})$

[6.3.10]

Beachte:

Mit den Stetigkeitssätzen läßt sich, ähnlich wie bei den analytischen Funktionen, der Funktionenraum $C^{0} (A)$ algebaisieren, denn da die Konstanten $0 ≔ 0 | A$ und $1 ≔ 1 | A$ stetig sind, erhält man aus [6.3.6] bis [6.3.8]:

(C^{0} (A), +)

ist eine ablesche Gruppe

(C^{0} (A), +, \cdot)

ist ein kommutativer Ring mit Einselement

Die (in [6.2.17] bereits nachgewiesene) Stetigkeit der Polynome und ihrer Quotienten ergibt sich aus [6.3.6] und [6.3.8] bzw. [6.3.9] auch ohne Kenntnis der analytischen Funktionen.
Auch die Stetigkeit der trigonometrischen Funktionen ([6.2.17]) läßt sich allein aus der Stetigkeit von sin elementar ableiten:

$\cos = \sin \circ (X + \frac{π}{2})$ mit [6.3.10]

$\tan = \frac{\sin}{\cos}$ und $\cot = \frac{\cos}{\sin}$ mit [6.3.9]

Die Menge $Bi (A)$ der bijektiven Funktionen von A nach A bilden unter der Verknüpfung $\circ$ eine (nicht-abelsche) Gruppe mit dem neutralen Element $X | A$ . Nach [6.3.10] ist (für $A \subset ℝ$ ) $\circ$ auch eine Verknüpfung auf $Bi (A) \cap C^{0} (A)$ . Ob hier sogar eine Gruppenstruktur vorliegt, hängt nur noch davon ab, ob die Umkehrung einer stetigen Funktion wieder stetig ist. Dafür aber ist interessanterweise nur der Definitionsbereich verantwortlich.

Bemerkung: Ist $f : I \to B \subset ℝ$ eine bijektive Funktion auf einem Intervall
i

Wir unterscheiden hier nicht zwischen offenen und geschlossenen Intervallen. Im offenen Fall erlauben wir auch den Wert $\infty$ für die rechte, bzw. $- \infty$ für die linke Ecke. $ℝ$ und z.B. $ℝ^{> 0}$ sind in diesem Sinn also auch Intervalle.

, so gilt:

f stetig

\Rightarrow f^{- 1}

stetig

[6.3.11]

Beweis: Für ein abgeschlossenes Intervall I gehen wir indirekt vor. Angenommen zu einem $a \in B$ gibt es eine Folge $(a_{n})$ in B, so dass zwar $a_{n} \to a$ , aber $(f^{- 1} (a_{n}))$ nicht gegen $f^{- 1} (a)$ läuft. Dann aber gibt es ein $ε > 0$ derart, dass in der speziellen $ε$ -Umgebung $] f^{- 1} (a) - ε, f^{- 1} (a) + ε [$ fast alle Folgenglieder fehlen. Wir können also über die Rekursion

\begin{array}{l} k_{1} > 1 \land f^{- 1} (a_{k_{1}}) \notin] f^{- 1} (a) - ε, f^{- 1} (a) + ε [ \\ k_{n + 1} > k_{n} \land f^{- 1} (a_{k_{n + 1}}) \notin] f^{- 1} (a) - ε, f^{- 1} (a) + ε [ \end{array}

eine Teilfolge $(f^{- 1} (a_{k_{n}}))$ in I konstruieren, deren Folgenglieder vollständig außerhalb des Intervalls $] f^{- 1} (a) - ε, f^{- 1} (a) + ε [$ liegen [1]. Als Folge in I ist $(f^{- 1} (a_{k_{n}}))$ beschränkt, besitzt also gemäß Bolzano-Weierstraß [5.8.6] einen Häufungspunkt b. Nach [5.8.5] gibt es daher eine Teilfolge $(f^{- 1} (a_{k_{j_{n}}}))$ mit

f^{- 1} (a_{k_{j_{n}}}) \to b

I ist abgeschlossen, also hat man: $b \in I$ , und da f in b stetig ist, folgt: $a_{k_{j_{n}}} \to f (b)$ . Andererseits hat man auch $a_{k_{j_{n}}} \to a$ , also ist $f (b) = a$ , und damit $b = f^{- 1} (a)$ . D.h. also $f^{- 1} (a_{k_{j_{n}}}) \to f^{- 1} (a)$ im Widerspruch zu [1].

Sei nun I irgendein Intervall und $a \in B$ . Dann gibt es ein abgeschlossenes Intervall $J \subset I$ , so dass $f^{- 1} (a) \in J$ . Die Einschränkung $f | J$ ist stetig auf J und $f (J)$ ist nach einem Ergebnis in Abschnitt 6 ([6.6.6]) ein Intervall. $f^{- 1}$ und ${(f | J)}^{- 1}$ sind daher in a lokal identisch. Mit ${(f | J)}^{- 1}$ ist daher auch $f^{- 1}$ stetig in a.

Beachte:

Bijektive Funktionen, die beidseitig stetig sind, nennt man Homöomorphismen. [6.3.11] kann man also auch so lesen:

Jede stetige Bijektion auf einem Intervall ist ein Homöomorphismus.
Da $X | I$ stetig ist, hat man jetzt für jedes Intervall I :

$(Bi (I) \cap C^{0} (I), \circ)$ ist eine nicht-abelsche Gruppe.
[6.3.11] wird i.a. falsch wenn der Definitionsbereich von f kein Intervall ist. So ist z.B. die Funktion $f :] 0,1] \cup {2} \to [0,1]$ gegeben durch

$f (x) = {\begin{array}{l} x, falls 0 < x \leq 1 \\ 0, falls x = 2 \end{array}$

stetig (in 2, da 2 isolierter Punkt ist; in $x \in] 0,1]$ ist f lokal identisch mit X) und umkehrbar mit

$f^{- 1} (x) = {\begin{array}{l} x, falls 0 < x \leq 1 \\ 2, falls x = 0 \end{array}$

$f^{- 1}$ aber ist in 0 unstetig.

6.2. 6.4.