6.6. Stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen

Unter allen angeordneten Körpern ist ${\displaystyle ℝ}$ der einzige, der das Vollständigkeitsaxiom erfüllt:

Jede nicht leere, nach oben beschränkte Teilmenge ${\displaystyle A\subset ℝ}$ besitzt eine kleinste obere Schranke, das Supremum von A.

Das Supremum von A ist eine eindeutig bestimmte reelle Zahl. Sie wird mit dem Symbol ${\displaystyle \sup A}$ bezeichnet hat. Äquivalent zur notierten Fassung steht auch die folgende Variante zur Verfügung:

Jede nicht leere, nach unten beschränkte Teilmenge ${\displaystyle A\subset ℝ}$ besitzt eine größte untere Schranke, das Infimum von A (in Zeichen ${\displaystyle \inf A}$).

Supremum und Infimum haben folgende Eigenschaften:

${\displaystyle x\le \sup A\text{ für alle }x\in A}$		${\displaystyle \inf A\le x\text{ für alle }x\in A}$
${\displaystyle x\le s\text{ für alle }x\in A\Rightarrow \sup A\le s}$		${\displaystyle s\le x\text{ für alle }x\in A\Rightarrow s\le \inf A}$
${\displaystyle A\subset [a,b]\Rightarrow \sup A\in [a,b]}$		${\displaystyle A\subset [a,b]\Rightarrow \inf A\in [a,b]}$
${\displaystyle y<\sup A\Rightarrow }$es gibt ein ${\displaystyle x\in A}$ mit ${\displaystyle x>y}$		${\displaystyle y>\inf A\Rightarrow }$es gibt ein ${\displaystyle x\in A}$ mit ${\displaystyle x<y}$
${\displaystyle A\subset B\Rightarrow \sup A\le \sup B}$		${\displaystyle A\subset B\Rightarrow \inf A\ge \inf B}$

Satz (Nullstellensatz):  Es sei  ${\displaystyle f\in {\mathcal{C}}^0([a,b])}$. Haben die Funktionswerte an den Intervallgrenzen ein unterschiedliches Vorzeichen, also etwa  ${\displaystyle f(a)<0<f(b)}$, so besitzt  f eine Nullstelle im Inneren von ${\displaystyle [a,b]}$, d.h. es gibt ein ${\displaystyle \tilde{x}\in ]a,b[}$, so dass

Beweis:  Wir skizzieren zunächst die Grundidee: Wählt man unter allen ${\displaystyle x\in [a,b]}$ mit negativem Funktionswert das größte aus, so liegen rechts von dieser Stelle nur noch Zahlen mit positiven Funktionswerten. An dieser "Übergangsstelle vom Negativen zum Positiven" darf man daher den Funktionswert 0 erwarten.

Wir betrachten also die Menge

A ist nicht leer, denn da  ${\displaystyle f(a)<0}$, gehört a zu A. Als Teilmenge von ${\displaystyle [a,b]}$ ist A außerdem beschränkt, besitzt also gemäß Vollständigkeitsaxiom ein Supremum.

Setzen wir zur Abkürzung ${\displaystyle \tilde{x}≔\sup A}$, so hat man zunächst: ${\displaystyle \tilde{x}\in [a,b]}$. Und weil oberhalb von ${\displaystyle \tilde{x}}$ keine Elemente aus A liegen können, ist

Indem wir die Möglichkeiten  ${\displaystyle f(\tilde{x})>0}$ und  ${\displaystyle f(\tilde{x})<0}$ ausschließen, zeigen wir jetzt:  ${\displaystyle f(\tilde{x})=0}$:

• Ist  ${\displaystyle f(\tilde{x})>0}$, also insbesondere ${\displaystyle \tilde{x}\ne a}$, so gibt es gemäß [6.4.1] eine relative ${\displaystyle \epsilon }$-Umgebung ${\displaystyle {[a,b]}_{\tilde{x},\epsilon }=[a,b]\cap ]\tilde{x}-\epsilon ,\tilde{x}+\epsilon [}$, so dass

  ${\displaystyle f(x)>0\text{ für alle }x\in {[a,b]}_{\tilde{x},\epsilon }}$

  Da ${\displaystyle \tilde{x}\ne a}$, findet man in ${\displaystyle [a,b]}$ ein ${\displaystyle y<\tilde{x}}$, so dass  ${\displaystyle f(x)>0}$ für alle ${\displaystyle x\in [y,\tilde{x}]}$. Mit [0] hat man daher: ${\displaystyle A\subset [a,y[}$ und somit den Widerspruch  ${\displaystyle \tilde{x}=\sup A\le y<\tilde{x}}$.

• Ist  ${\displaystyle f(\tilde{x})<0}$, also insbesondere ${\displaystyle \tilde{x}\ne b}$, so gibt es, noch einmal nach [6.4.1], eine relative ${\displaystyle \epsilon }$-Umgebung ${\displaystyle {[a,b]}_{\tilde{x},\epsilon }=[a,b]\cap ]\tilde{x}-\epsilon ,\tilde{x}+\epsilon [}$ , so dass

  ${\displaystyle f(x)<0\text{ für alle }x\in {[a,b]}_{\tilde{x},\epsilon }}$

  Da ${\displaystyle \tilde{x}\ne b}$, findet man in ${\displaystyle [a,b]}$ ein ${\displaystyle x>\tilde{x}}$ mit  ${\displaystyle f(x)<0}$ im Widerspruch zu [0].

Also ist  ${\displaystyle f(\tilde{x})=0}$, womit auch ${\displaystyle \tilde{x}\in ]a,b[}$ sichergestellt ist.

Satz (Zwischenwertsatz):  Es sei  ${\displaystyle f\in {\mathcal{C}}^0([a,b])}$ und ${\displaystyle c\in ℝ}$. Liegt c zwischen  ${\displaystyle f(a)}$ und  ${\displaystyle f(b)}$, also etwa  ${\displaystyle f(a)<c<f(b)}$, so gibt es ein ${\displaystyle \tilde{x}\in ]a,b[}$, so dass

Beweis:  Für die stetige Funktion  ${\displaystyle f-c\in {\mathcal{C}}^0([a,b])}$ hat man:  ${\displaystyle f-c(a)<0<f-c(b)}$. Also gibt es gemäß Nullstellensatz [6.6.1] ein ${\displaystyle \tilde{x}\in ]a,b[}$, so dass

Aufgabe:  Es sei  ${\displaystyle f,g\in {\mathcal{C}}^0([a,b])}$, so dass  ${\displaystyle f(a)<g(a)}$ und  ${\displaystyle f(b)>g(b)}$.

Zeige:  f und g besitzen einen Schnittpunkt im Inneren von ${\displaystyle [a,b]}$, d.h. es gibt ein ${\displaystyle \tilde{x}\in ]a,b[}$, so dass

Beweis:  ${\displaystyle \phantom{|}}$ ?Für die stetige Funktion  ${\displaystyle f-g\in {\mathcal{C}}^0([a,b])}$ hat man:  ${\displaystyle f-g(a)<0<f-g(b)}$. Gemäß Nullstellensatz [6.6.1] gibt es daher ein ${\displaystyle \tilde{x}\in ]a,b[}$ mit  ${\displaystyle f-g(\tilde{x})=0\iff f(\tilde{x})=g(\tilde{x})}$.

Satz:  Ist  ${\displaystyle f\in {\mathcal{C}}^0([a,b])}$, so ist  f beschränkt, d.h. es gibt ein c, so dass

Beweis:  Nach [6.5.5] ist  f auf ${\displaystyle [a,b]}$ gleichmäßig stetig. Also gibt zu 1 ein ${\displaystyle \delta >0}$, so dass für alle ${\displaystyle x,y\in [a,b]}$ gilt:

Da ${\displaystyle ℝ}$ archimedisch geordnet

i

Das bedeutet: ${\displaystyle \mathbb{N}}$ ist eine unbeschränkte Teilmenge von ${\displaystyle (ℝ,\le )}$. Es gibt also eine größte natürliche Zahl k, so dass ${\displaystyle k\le \frac{b-a}{\delta }}$.

ist, fällt die Menge ${\displaystyle [a,b]\cap \{a+n\delta |n\in \mathbb{N}\}}$ endlich aus, d.h. es gibt ein ${\displaystyle k\in \mathbb{N}}$, derart dass

Daraus nun ergibt sich die Abschätzung

denn zu jedem ${\displaystyle x\in [a,b]}$, o.E. ${\displaystyle x\ne b}$, findet man ein ${\displaystyle i\le k}$, derart dass ${\displaystyle x\in [a+i\cdot \delta ,a+(i+1)\cdot \delta [}$, also ${\displaystyle |x-(a+i\cdot \delta )|<\delta }$, so dass wir mit [1] folgendermaßen abschätzen können:

Satz (über die Annahme des Maximums und Minimums):  Ist  ${\displaystyle f\in {\mathcal{C}}^0([a,b])}$, so gibt es zwei Zahlen ${\displaystyle \underset{¯}{x},\overline{x}\in [a,b]}$ derart dass

Beweis:  Wir weisen zunächst die Existenz eines Minimums nach. Dazu zeigen wir, dass die nach [6.6.4] existierende Zahl

ein Funktionswert ist. Zunächst ist ${\displaystyle c\le f(x)}$ [2] für alle ${\displaystyle x\in [a,b]}$, und da oberhalb von c keine weiteren unteren Schranken liegen können, gibt es zu jedem ${\displaystyle n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ ein ${\displaystyle x_n\in [a,b]}$ so dass

Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß [5.8.6] besitzt die beschränkte Folge $(x_n)$ einen Häufungspunkt ${\displaystyle \underset{¯}{x}\in [a,b]}$, den wir als Limes einer konvergenten Teilfolge darstellen können: ${\displaystyle \underset{¯}{x}=lim{x}_{k_n}}$.

Aus [3] gewinnen wir die Ungleichung  ${\displaystyle c\le f(x_{k_n})<c+\frac{1}{k_n}\le c+\frac{1}{n}}$, die über den Schachtelsatz [5.5.8] und die Stetigkeit von  f zur Gleichheit

führt. ${\displaystyle c=f(\underset{¯}{x})}$ ist also nach [2] ein minimaler Funktionswert.

Einen maximalen Funktionswert von f finden wir jetzt leicht: Ist nämlich ${\displaystyle -f(\overline{x})}$ ein minimaler Funktionswert der stetigen Funktion ${\displaystyle -f}$, so ist  ${\displaystyle f(\overline{x})}$ ein maximaler Wert für  f.

Bemerkung:  Stetige Funktionen bilden Intervalle auf Intervalle ab:

Beweis:  Nach [6.6.5] gibt es ${\displaystyle \underset{¯}{x},\overline{x}\in [a,b]}$ so dass

Der Zwischenwertsatz [6.6.2] garantiert dabei, dass jede Zahl aus ${\displaystyle [f(\underset{¯}{x}),f(\overline{x})]}$ ein Funktionswert ist, also ist auch