6.9. Eigenschaften stetig fortsetzbarer Funktionen

Bemerkung:  Es sei a ein Häufungspunkt von ${\displaystyle A\subset B}$. Ist  ${\displaystyle f:B\to ℝ}$ in a stetig fortsetzbar, so ist auch  ${\displaystyle f|A}$ stetig fortsetzbar in a und:

Die Umkehrung ist i.a. falsch.

Beweis:  Ist ${\displaystyle g:B\cup \left\{a\right\}\to ℝ}$ eine stetige Fortsetzung von  f in a, so ist gemäß [6.2.8]  ${\displaystyle g|A\cup \{a\}}$ die stetige Fortsetzung von  ${\displaystyle f|A}$ in a. Die Gleichheit der Grenzwerte ist damit ebenfalls gegeben.

Die Heavisidefunktion H

i

${\displaystyle \mathrm{H}(x)=\{\begin{array}{l}1\text{, falls }x\ge 0\hfill \\ 0\text{, falls }x<0\hfill \end{array}}$

ist in 0 nicht stetig fortsetzbar, wohl aber ihre Einschränkung ${\displaystyle \mathrm{H}|{ℝ}^{>0}}$.

Bemerkung:  a sei ein Häufungspunkt von ${\displaystyle A\cap B}$. Sind  ${\displaystyle f:A\to ℝ}$ und ${\displaystyle g:B\to ℝ}$ in a lokal identisch, so gilt:

Sind beide Funktionen stetig fortsetzbar, so hat man:  ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }g(x)}$

Beweis:  Nach Voraussetzung gibt es relative ${\displaystyle \epsilon }$-Umgebungen ${\displaystyle A_{a,\epsilon }}$

i

${\displaystyle A_{a,\epsilon }=A\cap ]a-\epsilon ,a+\epsilon [}$

und ${\displaystyle B_{a,\epsilon }}$, so dass

Es reicht, nur eine der beiden Richtungen, etwa "${\displaystyle \Rightarrow }$", zu zeigen. Wir setzen dabei das Folgenkriterium [6.8.4] ein.

Sei  f stetig fortsetzbar in a. Ist $(a_n)$ eine Folge in B mit ${\displaystyle a_n\to a}$, so gibt es ein ${\displaystyle n_0\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$, so dass ${\displaystyle a_n\in B_{a,\epsilon }}$ für alle ${\displaystyle n\ge n_0}$. Für diese n hat man dann wegen [0]

und damit die Behauptung.

Bemerkung:   ${\displaystyle f:A\to ℝ}$ sei in einem Häufungspunkt a von ${\displaystyle A\subset ℝ}$ stetig fortsetzbar. Dann gilt für jedes ${\displaystyle c\in ℝ}$ und für jede relative ${\displaystyle \epsilon }$-Umgebung  ${\displaystyle A_{a,\epsilon }}$ :

Beweis:  Sei g stetige Fortsetzung von  f in a.

1. ►  Mit ${\displaystyle g(a)=\underset{x\to a}{\lim }f(x)<c}$ ergibt sich dann die Behauptung direkt aus [6.4.1].

2. ►  Hier folgt der Beweis aus [6.4.9], denn für alle ${\displaystyle x\in A_{a,\epsilon }\backslash \{a\}}$ ist ${\displaystyle g(x)=f(x)\le c}$.

Bemerkung (Grenzwertsätze):  ${\displaystyle f:A\to ℝ}$ und ${\displaystyle g:B\to ℝ}$ seien zwei beliebige Funktionen, a ein Häufungspunkt von ${\displaystyle A\cap B}$ (also auch von A bzw. B). Sind  f und g in a stetig fortsetzbar, so gilt dies auch für

Beweis:  Nach Voraussetzung gibt es in a stetige Fortsetzungen zu  f und zu g, etwa

1. ►  Dann aber ist ${\displaystyle r+s:(A\cap B)\cup \left\{a\right\}\to ℝ}$ die stetige Fortsetzung von ${\displaystyle f+g}$ in a. Ihren Grenzwert können wir daher folgendermaßen errechnen:

2./3. ►  Der Beweis ist i.w. eine Kopie der gerade geführten Überlegung.

4. ►  Der Formelanteil ergibt sich wieder wie zuvor. Allerdings muss jetzt noch gepüft werden, ob a auch ein Häufungspunkt von ${\displaystyle \{x\in A\cap B|g(x)\ne 0\}}$ ist:

Da a Häufungspunkt von ${\displaystyle A\cap B}$ ist, gibt es zunächst eine Folge $(a_n)$ in ${\displaystyle (A\cap B)\backslash \left\{a\right\}}$, die gegen a konvergiert, und da ${\displaystyle s(a)=\underset{x\to a}{\lim }g(x)\ne 0}$, gibt es aus Stetigkeitsgründen (siehe [6.4.2]) eine relative ${\displaystyle \epsilon }$-Umgebung ${\displaystyle B_{a,\epsilon }}$ von a, so dass

Ab einem geeigneten ${\displaystyle n_0}$ liegen aber alle Folgenglieder in ${\displaystyle B_{a,\epsilon }}$. Daher ist ${\displaystyle (a_{n+n_0})}$ eine gegen a konvergente Folge in ${\displaystyle \{x\in A\cap B|g(x)\ne 0\}}$.

Bemerkung:  ${\displaystyle g:A\to ℝ}$ und  ${\displaystyle f:B\to ℝ}$ seien zwei Funktionen, a ein Häufungspunkt von ${\displaystyle \{x\in A|g(x)\in B\}}$. Ist g stetig fortsetzbar in a und ${\displaystyle \underset{y\to a}{\lim }g(y)}$ ein Häufungspunkt von B in dem  f stetig fortsetzbar ist, so ist auch  ${\displaystyle f\circ g}$ in a stetig fortsetzbar und

Beweis:  Wir setzen das Folgenkriterium [6.8.4] ein: Ist $(a_n)$ eine Folge in ${\displaystyle \{x\in A|g(x)\in B\}\subset A}$ mit ${\displaystyle a_n\to a}$, so hat man der Reihe nach:

• ${\displaystyle g(a_n)\to \underset{y\to a}{\lim }g(y)}$, denn g ist in a stetig fortsetzbar

• ${\displaystyle f\circ g(a_n)=f(g(a_n))\to \underset{x\to \underset{y\to a}{\lim }g(y)}{\lim }f(x)}$, denn  f ist in ${\displaystyle \underset{y\to a}{\lim }g(y)}$ stetig forstsetzbar

Bemerkung (Schachtelsatz):  a sei ein Häufungspunkt von A und  ${\displaystyle f,g,h:A\to ℝ}$ drei Funktionen, so dass

Sind  f und h in a stetig fortsetzbar mit ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }h(x)}$, so ist auch g dort stetig fortsetzbar und

Beweis:  Wir arbeiten wieder mit dem Folgenkriterium [6.8.4] und geben dazu eine Folge $(a_n)$ in A vor, die gegen a konvergiert. Die Voraussetzungen liefern

so dass sich die Behauptung direkt aus dem Schachtelsatz für Folgen [5.5.8] ergibt.

Bemerkung:  ${\displaystyle f:A\to ℝ}$ sei irgendeine Funktion, a ein Häufungspunkt von ${\displaystyle A\subset ℝ}$ und ${\displaystyle b\in ℝ}$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

Beweis:  Die Richtung "${\displaystyle \Rightarrow }$" ergibt sich direkt aus den Rechenregeln [6.9.6] und [6.9.9]. Die zweite Richtung "${\displaystyle \Leftarrow }$" zeigen wir mit dem Folgenkriterium: