7.12. Folgen differenzierbarer Funktionen

Wir nehmen die Überlegungen aus Abschnitt 6.10 wieder auf. Dort konnten wir zeigen, dass die gleichmäßige Konvergenz mit der Stetigkeit verträglich ist. Eine direkte Übertragung auf differenzierbare Funktionen gelingt allerdings nicht, denn wir wissen etwa aus dem Beweis des Weierstraßschen Approximationssatzes, dass jede stetige Funktion auf

[0, 1]

gleichmäßiger Grenzwert einer Polynomfolge, also einer Folge differenzierbarer Funktionen ist (siehe [6.7.2]). So ist z.B. die (in

\frac{1}{2}

) nicht differenzierbare Funktion

| X - \frac{1}{2} |

auf

[0, 1]

als gleichmäßiger Limes einer Folge differenzierbarer Funktionen zu gewinnen.

Aber selbst wenn die Grenzfunktion wieder differenzierbar ist, muss ihre Ableitung nicht aus den Ableitungen der Folgenglieder hervorgehen. So weiß man etwa mit dem Majorantenkriterium [6.10.7] dass

\frac{1}{n} \sin \circ (n X) \underset{g m}{\to} 0

denn $| \frac{1}{n} \sin (n x) | \leq \frac{1}{n}$ für alle n und alle x, aber die Folge $((\frac{1}{n} \sin \circ n X)^{'}) = (\cos \circ n X)$ ist nicht einmal punktweise konvergent: $(\cos (n π)) = ({(- 1)}^{n})$ z.B. ist divergent.

Interessanterweise läßt sich die Differenzierbarkeit der Limesfunktion mit passender Ableitung gewinnen, wenn die gleichmäßige Konvergenz der Ableitungsfolge gegeben ist. Für die Funktionenfolge selbst muss lediglich die punktweise Konvergenz gesichert sein.

Der Nachweis verwendet, wieder einmal, dem Mittelwertsatz, so dass die Gültigkeit an Intervalle gebunden ist, in unserem Fall sogar an beschränkte Intervalle.

Bemerkung: Sei I ein beschränktes Intervall, $f_{n} \in D^{1} (I)$ und $g : I \to ℝ$ , so dass ${f_{n}}^{'} \underset{g m}{\to} g$ . Ist für ein $a \in I$ die Zahlenfolge $(f_{n} (a))$ konvergent, so gilt der Reihe nach:

$(f_{n})$ ist gleichmäßig konvergent

[7.12.1]

$f ≔ \lim f_{n} : I \to ℝ$ ist differenzierbar in a und $f^{'} (a) = g (a)$

[7.12.2]

Beweis:

1. ► Wir setzen den zentralen Darstellungssatz [7.5.1] ein und finden zu jedem n eine in a stetige Funktion $r_{n} : I \to ℝ$ mit $r_{n} (a) = {f_{n}}^{'} (a)$ , so dass

f_{n} = f_{n} (a) + (X - a) r_{n}

[0]

Die so gewonnene Funktionenfolge $(r_{n})$ erweist sich gemäß Cauchy-Kriterium [6.10.8] als gleichmäßig konvergent auf I. Ist nämlich $ε > 0$ beliebig vorgegeben, so gibt es nach Voraussetzung über $({f_{n}}^{'})$ (wieder mit dem Cauchy-Kriterium) ein $n_{0} \in ℕ^{*}$ , so dass

| {f_{n}}^{'} (x) - {f_{m}}^{'} (x) | < ε

[1]

für alle $n, m \geq n_{0}$ und alle $x \in I$ . Insbesondere also hat man für diese n, m:

| r_{n} (a) - r_{m} (a) | = | {f_{n}}^{'} (a) - {f_{m}}^{'} (a) | < ε

Für ein von a verschiedenes $x \in I$ gibt es nun zu $n, m \geq n_{0}$ nach Mittelwertsatz [7.9.5] ein ${\tilde{x}}_{n m}$ zwischen a und x, mit

\frac{(f_{n} - f_{m}) (x) - (f_{n} - f_{m}) (a)}{x - a} = (f_{n} - f_{m})^{'} ({\tilde{x}}_{n m})

so dass mit [1] die folgende Abschätzung gelingt:

\begin{array}{l} | r_{n} (x) - r_{m} (x) | & = | \frac{f_{n} (x) - f_{n} (a)}{x - a} - \frac{f_{m} (x) - f_{m} (a)}{x - a} | \\ = | \frac{(f_{n} - f_{m}) (x) - (f_{n} - f_{m}) (a)}{x - a} | \\ = | (f_{n} - f_{m})^{'} ({\tilde{x}}_{n m}) | \\ = | {f_{n}}^{'} ({\tilde{x}}_{n m}) - {f_{m}}^{'} ({\tilde{x}}_{n m}) | < ε \end{array}

Mit der gleichmäßigen Konvergenz von $(r_{n})$ zeigen wir jetzt die eigentliche Behauptung. Dazu geben wir wieder ein $ε > 0$ vor. Da I beschränkt ist, hat I einen endlichen Durchmesser $c > 0$ . Zu $\frac{ε}{2 c} > 0$ gibt es nun ein $n_{1} \in ℕ^{*}$ , so dass

| r_{n} (x) - r_{m} (x) | < \frac{ε}{2 c}

für alle

n, m \geq n_{1}

und alle

x \in I

.[2]

Ferner finden wir ein $n_{2} \in ℕ^{*}$ (nach [5.5.7] ist $(f_{n} (a))$ eine Cauchy-Folge) derart, dass

| f_{n} (a) - f_{m} (a) | < \frac{ε}{2}

für alle

n, m \geq n_{2}

.[3]

Für alle $n, m \geq n_{0} ≔ \max {n_{1}, n_{2}}$ und alle $x \in I$ folgt aus der Darstellung [0] jetzt mit [2] und [3]:

\begin{array}{l} | f_{n} (x) - f_{m} (x) | & = | f_{n} (a) + (x - a) r_{n} (x) - f_{m} (a) - (x - a) r_{m} (x) | \\ \leq | f_{n} (a) - f_{m} (a) | + | x - a | \cdot | r_{n} (x) - r_{m} (x) | \\ < \frac{ε}{2} + c \cdot \frac{ε}{2 c} = ε \end{array}

2. ► Zunächst ist der nach 1 existierende Limes $r ≔ \lim r_{n} : I \to ℝ$ gemäß [6.10.5] stetig in a. Ferner folgt für die Funktion $f = \lim f_{n}$ aus den punktweisen Konvergenzen

$f_{n} (a) + (X - a) r_{n} \underset{p w}{\to} f (a) + (X - a) r$
$f_{n} (a) + (X - a) r_{n} = f_{n} \underset{p w}{\to} f$

die Identität $f = f (a) + (X - a) r$ . Dies sichert nach [7.5.1] die Differenzierbarkeit von f in a sowie die Ableitung

f^{'} (a) = r (a) = \lim r_{n} (a) = \lim {f_{n}}^{'} (a) = g (a)

Das lokale Ergebnis [7.12.2] läßt sich nun globalisieren, wobei man sogar auf die Beschränktheit des Intervalls verzichten darf, und außerdem auf $C^{1}$ -Funktionen übertragen.

Bemerkung: Es sei I ein beliebiges Intervall, $f_{n} \in D^{1} (I)$ , $g : I \to ℝ$ , so dass ${f_{n}}^{'} | J \underset{g m}{\to} g | J$ für jedes abgeschlossene Teilintervall $J \subset I$ . Ist nun für ein $a \in I$ die Zahlenfolge $(f_{n} (a))$ konvergent, so gilt für den punktweisen Limes $f ≔ \lim f_{n}$ :

$f \in D^{1} (I)$ und $f^{'} = g$	[7.12.3]
$f_{n} \in C^{1} (I) \Rightarrow f \in C^{1} (I)$	[7.12.4]

Beweis: Wir zeigen zunächst, dass die Folge $(f_{n})$ punktweise konvergiert. Sei dazu $x \in I$ beliebig, o.E. $x \neq a$ , x und a spannen ein abgeschlossenes Teilintervall $J \subset I$ auf, so dass nach Voraussetzung $({f_{n}}^{'} | J)$ gleichmäßig konvergiert. Mit [7.12.1] ist damit $(f_{n} | J)$ ebenfalls gleichmäßig, also auch punktweise konvergent. Da $x \in J$ , konvergiert insbesondere die Zahlenfolge $(f_{n} (x))$ .

1. ► Gemäß Vorüberlegung konvergiert $(f_{n} (x))$ für jedes $x \in I$ . Da es zu jedem x eine relative ε-Umgebung $I_{x, ε}$
i

$ε ≔ \frac{1}{2} \cdot {\begin{array}{l} \min {| x - a |, | x - b | {,1}^{*)}}, falls x kein Randpunkt von I ist \\ \min {| b - a | {,1}^{*)}}, falls x ein Randpunkt von I ist \end{array}$

ist eine nicht-negative Zahl, die mit

$J ≔ {\begin{array}{l} [x - ε, x + ε], falls x kein Randpunkt von I ist \\ [x, x + ε], falls x = a \\ [x - ε, x], falls x = b \end{array}$

ein abgeschlossenes Teilintervall von I liefert, so dass $I_{x, ε} = I \cap] x - ε, x + ε [\subset J$ .

__________
^*) Mit der Vereinbarung $| x \pm \infty | = | \infty + \infty | = \infty > r$ für jedes reelle r berücksichtigen wir so den Fall unbeschränkter Intervalle.

gibt, die in einem abgeschlossenen Teilintervall J von I liegt, garantiert [7.12.2] die Differenzierbarkeit von $f | I_{x, ε}$ in x mit $(f | I_{x, ε})^{'} (x) = g (x)$ . Auf Grund des lokalen Charakters der Differenzierbarkeit (siehe [7.4.2]) ist dies die Behauptung.

2. ► Sind alle ${f_{n}}^{'}$ stetig, so ist nach [6.10.6] auch $f^{'} = g = \lim {f_{n}}^{'}$ als lokal gleichmäßiger Limes der Folge $({f_{n}}^{'})$ stetig.

7.11.