Berechnung von sin' und cos' ohne Potenzreihenkalkül

1. In [6.8.6] haben wir den Grenzwert

   ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\sin 0}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1}$

   berechnet. sin ist damit in 0 differenzierbar und ${\displaystyle {\sin }^{\prime }(0)=1}$.
    

2. Für alle ${\displaystyle x\in [-\frac{\mathrm{\pi }}{2},\frac{\mathrm{\pi }}{2}]}$ ist nach dem Satz des Pythagoras (siehe [4.3.*]) ${\displaystyle \cos x=\sqrt{1-{\sin }^2(x)}}$, cos und ${\displaystyle \sqrt{1-{\sin }^2}}$ sind also in 0 lokal identisch. Da ${\displaystyle 1-{\sin }^2}$ in 0 und ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{X}}}$ in 1 differenzierbar sind, ergibt sich die Differenzierbarkeit von cos in 0 aus der Kettenregel ([7.6.11]) mit

   ${\displaystyle {\cos }^{\prime }(0)=\frac{-2\sin 0\cdot {\sin }^{\prime }(0)}{2\sqrt{1-{\sin }^2(0)}}=0}$

   als Ableitungszahl.
    

3. Nach den Additionstheoremen für sin und cos (siehe [4.3.*]) hat man für alle ${\displaystyle x,a\in ℝ}$:

   ${\displaystyle \begin{array}{l}\sin x=\sin (x-a+a)=\sin (x-a)\cdot \cos a+\cos (x-a)\cdot \sin a\hfill \\ \cos x=\cos (x-a+a)=\cos (x-a)\cdot \cos a-\sin (x-a)\cdot \sin a\hfill \end{array}}$

   Nach Ketten- und Faktorregel ([7.6.6]) sowie 1. und 2. sind daher sin und cos differenzierbar in a und

   ${\displaystyle \begin{array}{l}{\sin }^{\prime }(a)={\sin }^{\prime }(0)\cdot 1\cdot \cos a+{\cos }^{\prime }(0)\cdot 1\cdot \sin a=\cos a\hfill \\ {\cos }^{\prime }(a)={\cos }^{\prime }(0)\cdot 1\cdot \cos a-{\sin }^{\prime }(0)\cdot 1\cdot \sin a=-\sin a\hfill \end{array}}$