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4.3. Die trigonometrischen Funktionen

Die trigonometrischen Funktionen spielen nicht nur in der Mathematik selbst, sondern auch in ihren Anwendungsgebieten, speziell in der Physik, eine bedeutende Rolle. Ihre Ursprünge reichen sehr weit zurück und im Gegensatz zu den bisherigen Funktionen liegen ihre Wurzeln deutlich im geometrischen Bereich, nämlich in der Dreieckslehre. Unsere Einführung der trigonometrischen Funktionen trägt ihrer geometrischen Herkunft Rechnung.

Die in der Dreieckslehre übliche Methode, Winkel in Graden zu messen, ist allerdings für unsere Zwecke ungeeignet. Ein geeignetes Maß, Winkel durch Zahlen und nicht durch Grade, zu messen, ist das Bogenmaß. Die Grundidee liegt dabei in der Beobachtung, daß jeder Winkel, im Mittelpunkt eines vorgelegten Kreises angetragen, einen Ausschnitt des Kreisesbogens liefert. Da allerdings ein Winkel bei verschieden großen Kreisen unterschiedliche große Bögen ausschneidet, ist eine Festlegung auf einen bestimmten Kreis zwingend. Zur Winkelmessung durch Bögen werden wir daher stets einen Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems zugrunde legen, den sog. Einheitskreis.

Jedem gemäß nebenstehender Skizze eingetragenem Winkel a kommt nun neben seinem (orientierten) Gradmaß a° auch sein (orientiertes) Bogenmaß a~, d.h. die Länge des von ihm ausgeschnittenen Bogens, zu. Dabei bezieht sich der Zusatz "orientiert" auf die Vereinbarung, daß im Gegenuhrzeigersinn (wie in der Skizze) eingezeichnete Winkel positive Maßzahlen haben, und Winkeln, die im Uhrzeigersinn eingetragen sind, negative Maßzahlen zukommen.

Natürlich kann man die beiden Maßsysteme ineinander umrechnen. So liefert z.B. ein Winkel vom Gradmaß 180° den halben Umfang des Einheitskreises, also die Zahl p als Bogenmaß. Daraus ergibt sich für einen beliebigen Winkel a:

Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über die Grad- und Bogenmaße häufig vorkommender Winkel:

Mit dem folgenden Umrechnungsformular lassen sich beliebige Maßzahlen ineinander umrechnen:

Nun können wir die beiden ersten trigonometrischen Funktionen, nämlich die Sinus- und die Cosinusfunktion

einführen. Statt einer präzisen Funktionsvorschrift geben wir hier eine geometrisch ausgerichtete Konstruktionsvorschrift an und tragen die exakte Definition in einem späteren Abschnitt nach:

Eine gegebene reelle Zahl x Î R  interpretieren wir als das Bogenmaß eines Winkels und tragen dieses Maß am Einheitskreis ab (positive Zahlen im Gegenuhrzeigersinn, negative im Uhrzeigersinn). Dadurch legen wir eindeutig einen, von x abhängigen, Punkt (a,b) auf dem Kreis fest. Seine beiden Koordinaten a und b sind nun die Funktionswerte, und zwar: Definition: cos(x) := a sin(x) := b Es ist üblich, die Funktionswerte klammerfrei zu schreiben, also: sin x bzw. cos x.

Im allgemeinen wird man mit dieser Methode keine exakten Funktionswerte ermitteln können, für einige gut ausgewählte x-Werte lassen sich sin x und cos x jedoch leicht aus der Skizze ablesen:

Um einen Funktionsgraphen zu zeichnen, reichen diese Daten natürlich nicht aus. Das folgende Applet simuliert jedoch die Konstruktionsmethode für die Sinusfunktion, so daß man die Entstehung des Graphen verfolgen kann.

sin und cos besitzen eine Fülle von Eigenschaften. Viele ergeben sich direkt aus der Konstruktion über den Einheitskreis; allerdings lassen sich wegen des geometrischen Angangs keine strengen Nachweise führen. Wie notieren zunächst einige Punkte, die sich nur auf sin und cos allein beziehen:

Bemerkung: Für alle x ÎR  gilt: -1 £ sin x £ 1 -1 £ cos x £ 1 sin und cos haben somit einen deutlich eingeschränkten Wertebereich. sin x = 0   Û    $x=k\pi =2k\frac{\pi }{2}$ ,  k ÎZ cos x = 0   Û    $x=(2k+1)\frac{\pi }{2}$ ,  k ÎZ Die Nullstellen von sin und cos lassen sich leicht merken: Bei der Sinusfunktion sind es die geraden Vielfachen von $\frac{\pi }{2}$ , bei der Cosinusfunktion die ungeraden! sin(-x) = -sin x cos(-x) = cos x D.h. cos verläuft symmetrisch zur y-Achse und sin punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. $$ sin(\frac{\pi }{2}+x)=sin(\frac{\pi }{2}-x)$$ $cos(\frac{\pi }{2}+x)=-cos(\frac{\pi }{2}-x)$ sin verläuft also symmetrischen zur Senkrechten x = $\frac{\pi }{2}$ , während cos punktsymmetrisch zu ( $\frac{\pi }{2}$ ,0) liegt. sin(x + 2p) = sin x cos(x + 2p) = cos x sin und cos wiederholen ihre Werte nach jedem Intervall der Länge 2p, man sagt: sin und cos sind 2p-periodisch.

Weitere Eigenschaften beleuchten das Zusammenspiel zwischen sin und cos:

Bemerkung: Für alle x, y ÎR  gilt: $sin(x+\frac{\pi }{2})=cosx$ $cos(x-\frac{\pi }{2})=sinx$ (sin x) 2 + (cos x) 2 = 1 sin(x + y) = (sin x)(cos y) + (cos x)(sin y) cos(x + y) = (cos x)(cos y) - (sin x)(sin y) Diese beiden Gesetzmäßigkeiten heißen die Additionstheoreme für sin und cos.

Der Punkt 2 wird oft in der Kurzform

notiert. Dies ist die mit Abstand wichtigste Eigenschaft der Funktionen sin und cos, nämlich der Satz des Pythagoras.

Mit ihm gelingt es z.B., den Wert sin( $\frac{\pi }{4}$ ) exakt zu ermitteln: Da $\frac{\pi }{4}$ einen Winkel mit Gradmaß 45° repräsentiert, hat man:
$sin\frac{\pi }{4}=cos\frac{\pi }{4}\text{, also:\&quad;}2{sin}^2\frac{\pi }{4}={sin}^2\frac{\pi }{4}+{sin}^2\frac{\pi }{4}=1$ ,  und damit: $sin\frac{\pi }{4}=\sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Die klassischen Modifikationen der Sinusfunktion stammen aus der Physik, und zwar aus der Schwingungslehre. Wir übernehmen die dort benutzten Bezeichnungen für die Paramenter. Außerdem wird in diesem Sachzusammenhang die x-Achse meist als "Zeitachse" interpretiert, so daß p als Einheit ungünstig ist; statt dessen kehren wir wieder zu 1 als Einheit zurück und messen mit ihr z.B. Sekunden.

Die Funktion

nennen wir eine Schwingung.

Schwingungen treten in natürlicher Weise bei der Beschreibung von Pendelvorgängen auf. Die Benennung der Parameter hat hierin ihren Ursprung: so heißt

• a  die Amplitude

• v die Frequenz

• cp  die Phasenverschiebung

• y° die Anfangselongation

der Schwingung.

Die Amplitude ist das Maß der maximalen Auslenkung, oder Elongation, die Frequenz gibt die Anzahl der vollständigen Durchläufe (d.h. der Kurvenstücke der Länge 2p) pro Einheit, also etwa pro Sekunde, an.
Die Phasenverschiebung erlaubt es, Schwingungen verzögert oder verfrüht beginnen zu lassen, und durch eine Änderung der Anfangselongation kann man Schwingungen auch außerhalb ihres Ruhezustands starten.

Die "alten" Funktionen sin und cos kommen unter den Schwingungen natürlich auch noch vor:
sin ist eine Schwingung mit  a = 1, v = (2p)^-1, c = 0,  y° =0
cos ist eine Schwingung mit  a = 1, v = (2p)^-1, c = -0.5,  y° =0

Wir studieren also jetzt Schwingungen, d.h. Funktionen der Form  f = a sin(2pvX - cp) + y° :

Mit Hilfe der Funktionen sin und cos führen wir nun zwei weitere trigonometrische Funktionen ein. Allerdings werden bei den Funktionsvorschriften nun Divisionen durchgeführt, so daß die Definitionsbereiche geeignet zu wählen sind. Dabei ist es wichtig, die Nullstellen von sin und cos genau zu kennen.

Definition: Die Funktion tan : R  \ { $(2k+1)\frac{\pi }{2}$  |  k ÎZ } ® R  gegeben durch   $tan(x):=\frac{sinx}{cosx}$ heißt die Tangensfunktion. Die Funktion cot : R  \ {kp |  k ÎZ } ® R  gegeben durch   $tan(x):=\frac{cosx}{sinx}$ heißt die Cotangensfunktion. Auch bei diesen Funktionen ist die Schreibweise tan x bzw. cot x gebräuchlicher.

Wir verzichten hier auf Bezüge zur Physik und modifizieren tan "in üblicher Weise" durch

Auch tan und cot erfüllen einen umfangreichen Katalog von Eigenschaften. Viele lassen sich direkt auf entsprechende Sachverhalte bei sin und cos zurückführen und sind somit auch beweisbar!

Die folgende Bemerkung stellt einige Eigenschaften zusammen:

Bemerkung: Für alle x ÎR  mit   $x\&neq;(2k+1)\frac{\pi }{2}\text{\&quad;bzw. mit\&quad;}x\&neq;k\pi$ gilt: tan x = 0   Û    $x=k\pi =2k\frac{\pi }{2}$ ,  k ÎZ cot x = 0   Û    $x=(2k+1)\frac{\pi }{2}$ ,  k ÎZ (tan x)(cot x) = 1 D.h. tan x ist der Kehrwert von cot x und umgekehrt. tan(-x) = -tan x cot(-x) = -cot x tan(x + p) = tan x cot(x + p) = cot x tan und cot sind also p-periodisch. (1 + tan 2 x) cos 2 x = 1 (1 + cot 2 x) sin 2 x = 1 Beweis: Zu 1.: Da ein Bruch genau dann gleich Null wird, wenn der Zähler Null wird, haben tan und sin dieselben Nullstellen. Ebenso gilt dies für cot and cos. Zu 2.: Durch Kürzen erhält man sofort: $tanxċcotx=\frac{sinx}{cosx}ċ\frac{cosx}{sinx}=1\text{.}$ Zu 3.: Wir nutzen die entsprechenden Eigenschaften von sin und cos: $tan(-x)=\frac{sin(-x)}{cos(-x)}=\frac{-sinx}{cosx}=-tanx$ . Die Gleichung für cot(-x) zeigt man genauso. Zu 4.: Zunächst erhalten aus Punkt 4 der ersten Bemerkung über sin und cos: $\begin{array}{ccc}sin(x+\pi )\hfill & =\hfill & sin(\frac{\pi }{2}+x+\frac{\pi }{2})\hfill \\ \hfill & =\hfill & sin(\frac{\pi }{2}-x-\frac{\pi }{2})=sin(-x)=-sinx\text{.}\hfill \\ cos(x+\pi )\hfill & =\hfill & cos(\frac{\pi }{2}+x+\frac{\pi }{2})\hfill \\ \hfill & =\hfill & -cos(\frac{\pi }{2}-x-\frac{\pi }{2})=-cos(-x)=-cosx\text{.}\hfill \end{array}$ Damit nun ist:  $tan(x+\pi )=\frac{sin(x+\pi )}{cos(x+\pi )}=\frac{-sinx}{-cosx}=\frac{sinx}{cosx}=tanx$ . Dieses Verfahren liefert auch die entsprechende Aussage für cot. Zu 5.: Auch hier zeigen wir nur die erste Gleichung; wir nutzen dabei den Satz des Pythagoras: $(1+{tan}^{2}x){cos}^{2}x=(1+\frac{{sin}^{2}x}{{cos}^{2}x}){cos}^{2}x=\frac{{cos}^{2}x+{sin}^{2}x}{{cos}^{2}x}{cos}^{2}x=1$ .