5.10. Doppelfolgen und Doppelreihen

Wir erweitern in diesem Abschnitt den Folgenbegriff: Bisher haben wir uns mit eindimensional indizierten Listen reeller Zahlen befasst, eine Deutung, die auch durch unsere Notation unterstützt wird. Es liegt nahe, auch zweidimensionale Listen in unsere Überlegungen einzubeziehen. Zwar gewinnen wir dadurch i.w. keine neuen Inhalte (siehe etwa [5.10.9] - [5.10.12]), dennoch spielen Doppelfolgen unter technischen Gesichtspunkten eine wichtige Rolle. Mit ihrer Hilfe nämlich finden wir grundlegende Kriterien ([5.10.23] und [5.10.26]), die das Vertauschen von Grenzprozessen gestatten.

Definition: Jede Funktion

(a_{n m}) : ℕ^{*} \times ℕ^{*} \to ℝ

[5.10.1]

nennen wir eine Doppelfolge (in $ℝ$ ).

(\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} a_{i j}) : ℕ \times ℕ \to ℝ

[5.10.2]

heißt die zu ${(a_{n m})}_{\begin{array}{l} n \geq 0 \\ m \geq 0 \end{array}}$ gehörige Doppelreihe.

Beachte:

Wie bei den gewöhnlichen Folgen auch, werden wir Funktionen von $ℤ^{\geq k} \times ℤ^{\geq l} \to ℝ$ ebenfalls als Doppelfolgen bezeichnen. Wir notieren sie dann (wie in [5.10.2] bereits geschehen) in der Form ${(a_{n m})}_{\begin{array}{l} n \geq k \\ m \geq l \end{array}}$ .
Wertetabellen von Doppelfolgen müssen natürlich flächenhaft angelegt werden. Dabei fassen wir n als nach unten laufenden Zeilenindex und m als nach rechts laufenden Spaltenindex auf. Z.B.:

$(n + {(- 1)}^{n} m) = (\begin{matrix} 0 & - 1 & - 2 & - 3 & \dots \\ 3 & 4 & 5 & 6 & \dots \\ 2 & 1 & 0 & - 1 & \dots \\ 5 & 6 & 7 & 8 & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix})$

Wir übertragen nun die bei den gewöhnlichen Folgen eingeführten Standardbegriffe.

Definition: Eine Doppelfolge $(a_{n m})$ heißt

1. beschränkt, falls es ein $n_{0} \in ℕ^{*}$ und ein $c \in ℝ$ gibt, so dass $\| a_{n m} \| \leq c für alle n, m \geq n_{0}$	[5.10.3]
2. monoton wachsend, falls für alle $(n_{1}, m_{1}), (n_{2}, m_{2}) \in ℕ^{} \times ℕ^{}$ gilt: $n_{1} \leq n_{2} \land m_{1} \leq m_{2} \Rightarrow a_{n_{1} m_{1}} \leq a_{n_{2} m_{2}}$	[5.10.4]
3. monoton fallend, falls für alle $(n_{1}, m_{1}), (n_{2}, m_{2}) \in ℕ^{} \times ℕ^{}$ gilt: $n_{1} \leq n_{2} \land m_{1} \leq m_{2} \Rightarrow a_{n_{1} m_{1}} \geq a_{n_{2} m_{2}}$	[5.10.5]
4. konvergent gegen $g \in ℝ$ (in Zeichen: $a_{n m} \to g$ ), falls es zu jedem $ε > 0$ ein $n_{0} \in ℕ^{*}$ gibt, so dass $\| a_{n m} - g \| < ε für alle n, m \geq n_{0}$	[5.10.6]
5. Cauchy-Folge, falls es zu jedem $ε > 0$ ein $n_{0} \in ℕ^{*}$ gibt, so dass $\| a_{n_{1} m_{1}} - a_{n_{2} m_{2}} \| < ε für alle n_{1} > n_{2} \geq n_{0} \land m_{1} > m_{2} \geq n_{0}$	[5.10.7]

Beachte:

Die Formulierung der Beschränktheit (und auch die der Cauchy-Bedingung) ist der Natur der Doppelfolgen angepasst und keine direkte Übertragung der Originaldefinition. Dennoch ist sie eine - und wie die weiteren Ausführungen zeigen - sinnvolle Verallgemeinerung von [5.3.11], denn man hat ja

$| a_{n} | \leq c für alle n \geq n_{0} \Rightarrow | a_{n} | \leq \max {c, | a_{1} |, \dots, | a_{n_{0} - 1} |} für alle n$

Beispiel:

${(- 1)}^{n + m} (\frac{1}{n} + \frac{1}{m}) \to 0$

[5.10.8]

Denn wählt man zu $ε > 0$ ein $n_{0} > \frac{2}{ε}$ , so gilt für alle $n, m \geq n_{0}$ :

| {(- 1)}^{n + m} (\frac{1}{n} + \frac{1}{m}) | = \frac{1}{n} + \frac{1}{m} < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

Die neuen Begriffe sind den alten so parallel angelegt, dass man auch gleiche Eigenschaften erwarten darf. Die folgende Bemerkung erleichtert deren Nachweis. Zu ihrer Formulierung vereinbaren wir: Eine Funktion

ϕ = (ϕ_{1}, ϕ_{2}) : ℕ^{*} \to ℕ^{*} \times ℕ^{*}

heißt streng wachsend falls die Koordinatenfunktionen $ϕ_{1} und ϕ_{2}$ streng monoton wachsend sind.

Man beachte, dass für jede Doppelfolge $(a_{n m})$ die Funktion $(a_{n m}) \circ ϕ = (a_{ϕ (n)})$ eine gewöhnliche Folge ist. Ferner zeigt man leicht per Induktion:

ϕ_{i} (n) \geq n

für alle n

Bemerkung: Es sei $(a_{n m})$ irgendeine Doppelfolge, dann gilt:

1. $(a_{n m})$ beschränkt $\Leftrightarrow (a_{ϕ (n)})$ beschränkt für alle streng wachsenden $ϕ$	[5.10.9]
2. $(a_{n m})$ monoton $\Leftrightarrow (a_{ϕ (n)})$ monoton für alle streng wachsenden $ϕ$	[5.10.10]
3. $a_{n m} \to g \Leftrightarrow a_{ϕ (n)} \to g$ für alle streng wachsenden $ϕ$	[5.10.11]
4. $(a_{n m})$ Cauchy-Folge $\Leftrightarrow (a_{ϕ (n)})$ Cauchy-Folge für alle streng wachsenden $ϕ$	[5.10.12]

Beweis:

1. ►
" $\Rightarrow$ "  Sei $| a_{n m} | \leq c für alle n, m \geq n_{0}$ .

Für $n \geq n_{0}$ ist $ϕ_{i} (n) \geq ϕ_{i} (n_{0}) \geq n_{0}$ , also hat man: $| a_{ϕ (n)} | \leq c für alle n \geq n_{0}$ , und damit:

$| a_{ϕ (n)} | \leq \max {c, | a_{ϕ (1)} |, \dots, | a_{ϕ (n_{0} - 1)} |} für alle n$ .

" $\Leftarrow$ "  zeigen wir indirekt: Ist $(a_{n m})$ unbeschränkt, so ist insbesondere die Aussage

$| a_{n m} | \leq k für alle n, m \geq k + 1$

für kein k gültig. Also gibt es zu jedem $k \in ℕ^{*}$ Zahlen $n_{k}, m_{k} \in ℕ^{> k}$ , so dass

$| a_{n_{k} m_{k}} | > k$ .

Wir setzen nun rekursiv

$\begin{array}{l} ϕ (1) ≔ (n_{1}, m_{1}) \\ ϕ (i + 1) ≔ (n_{p}, m_{p}) \end{array}$
wobei $p ≔ \max {ϕ_{1} (1), ϕ_{2} (1), \dots, ϕ_{1} (i), ϕ_{2} (i), i + 1}$ .

$ϕ$ ist streng wachsend, denn für alle $i, j \in ℕ^{*}, i \geq j$ , hat man:

$\begin{array}{l} ϕ_{1} (i + 1) = n_{p} > p \geq ϕ_{1} (j) \\ ϕ_{2} (i + 1) = m_{p} > p \geq ϕ_{2} (j) \end{array}$

Die Abschätzung $| a_{ϕ (i + 1)} | = | a_{n_{p} m_{p}} | > p \geq i + 1$ zeigt nun, dass $(a_{ϕ (n)})$ unbeschränkt ist.   Widerspruch!

2. ►
Wir betrachten beispielhaft nur monoton wachsende Folgen.

" $\Rightarrow$ ":  Für $j \leq i$ hat man $ϕ_{1} (j) \leq ϕ_{1} (i) \land ϕ_{2} (j) \leq ϕ_{2} (i)$ und damit: $a_{ϕ (j)} \leq a_{ϕ (i)}$ .

" $\Leftarrow$ ":  Auch hier argumentieren wir indirekt. Angenommen es gibt zwei Zahlenpaare $(n_{1}, m_{1}), (n_{2}, m_{2})$ mit $n_{1} < n_{2} \land m_{1} < m_{2}$ , so dass $a_{n_{1} m_{1}} > a_{n_{2} m_{2}}$ . Wir setzen nun

$ϕ (1) ≔ (n_{1}, m_{1}), ϕ (2) ≔ (n_{2}, m_{2}) und ϕ (i + 2) ≔ (n_{2} + i, m_{2} + i)$ .

$ϕ$ ist offensichtlich streng wachsend, denn

$\begin{array}{l} (ϕ_{1}) = (n_{1}, n_{2}, n_{2} + 1, n_{2} + 2, \dots) \\ (ϕ_{2}) = (m_{1}, m_{2}, m_{2} + 1, m_{2} + 2, \dots) \end{array}$

aber $(a_{ϕ (n)})$ wächst nicht monoton.   Widerspruch!

3. ►
" $\Rightarrow$ ":  Zu $ε > 0$ gibt es ein $n_{0} \in ℕ^{*}$ , so dass

$| a_{n m} - g | < ε für alle n, m \geq n_{0}$ .

Da $ϕ_{i} (n) \geq n$ hat man somit für alle $n \geq n_{0}$ erst recht:

$| a_{ϕ (n)} - g | < ε$

" $\Leftarrow$ ":  Wir gehen noch einmal indirekt vor und nehmen an, $(a_{n m})$ konvergiere nicht gegen g. Dann gibt es ein $ε > 0$ , derart dass zu jedem $k \in ℕ^{*}$ Zahlen $n_{k}, m_{k} \in ℕ^{\geq k + 1}$ gibt mit

$| a_{n_{k} m_{k}} - g | \geq ε$

Ähnlich wie in 1. liefert nun die Rekursion

$\begin{array}{l} ϕ (1) ≔ (n_{1}, m_{1}) \\ ϕ (i + 1) ≔ (n_{p}, m_{p}), \end{array}$

mit $p ≔ \max {ϕ_{1} (1), ϕ_{2} (1), \dots, ϕ_{1} (i), ϕ_{2} (i)}$ , ein streng wachsendes $ϕ$ , so dass

$| a_{ϕ (n)} - g | \geq ε für alle n$ .

$(a_{ϕ (n)})$ ist damit divergent.   Widerspruch!

4. ►
" $\Rightarrow$ ":  Hat man für ein beliebiges $ε > 0$

$| a_{n_{1} m_{1}} - a_{n_{2} m_{2}} | < ε für alle n_{1} > n_{2} \geq n_{0} \land m_{1} > m_{2} \geq n_{0}$ ,

so gilt insbesondere (beachte: $ϕ_{i} (n) > ϕ_{i} (m) \geq m \geq n_{0}$ )

$| a_{ϕ (n)} - a_{ϕ (m)} | < ε für alle n > m \geq n_{0}$ .

Die Ungleichung ist auch für $n \leq m$ gültig (Vertauschen der Summandenreihenfolge), also für alle $n, m \geq n_{0}$ .

" $\Leftarrow$ ":  Ist $(a_{n m})$ keine Cauchy-Folge, so gibt es ein $ε > 0$ , derart dass es zu jedem $k \in ℕ^{*}$ Zahlen $n_{k} > r_{k} > k$ und $m_{k} > s_{k} > k$ gibt mit

$| a_{n_{k} m_{k}} - a_{r_{k} s_{k}} | \geq ε$ .

Durch die zweistufige Rekursion

$\begin{array}{l} ϕ (1) ≔ (r_{1}, s_{1}) \land ϕ (2) ≔ (n_{1}, m_{1}) \\ ϕ (2 i + 1) ≔ (r_{p}, s_{p}) \land ϕ (2 i + 2) ≔ (n_{p}, m_{p}) \end{array}$

mit $p ≔ \max {ϕ_{1} (1), ϕ_{2} (1), \dots, ϕ_{1} (2 i), ϕ_{2} (2 i)}$ wird ein streng wachsendes $ϕ$ erzeugt, so dass

$| a_{ϕ (2 n)} - a_{ϕ (2 n - 1)} | \geq ε für alle n$ .

$(a_{ϕ (n)})$ kann also keine Cauchy-Folge sein.   Widerspruch!

[5.10.11] garantiert nun auch bei Doppelfolgen die Eindeutigkeit des Grenzwerts: Hätte nämlich $(a_{n m})$ zwei verschiedene Grenzwerte, so z.B. auch die gewöhnliche Folge $(a_{n n})$ . Die Konvergenz $a_{n m} \to g$ dürfen wir jetzt also auch so notieren:

\lim_{n, m \to \infty} a_{n m} = g

Viele Eigenschaften gewöhnlicher Folgen lassen sich direkt aus [5.10.9] bis [5.10.12] ableiten. So etwa die zentralen Grenzwertsätze:

Bemerkung:

1. $a_{n m} \to a \land b_{n m} \to b \Rightarrow a_{n m} + b_{n m} \to a + b$	[5.10.13]
2. $a_{n m} \to a \land b_{n m} \to b \Rightarrow a_{n m} - b_{n m} \to a - b$	[5.10.14]
3. $a_{n m} \to a \land b_{n m} \to b \Rightarrow a_{n m} \cdot b_{n m} \to a \cdot b$	[5.10.15]
4. $a_{n m} \to a \land b_{n m} \to b \Rightarrow \frac{a_{n m}}{b_{n m}} \to \frac{a}{b}$ , falls $b, b_{n m} \neq 0$	[5.10.16]

Beweis: Wir führen beispielhaft nur den Beweis zu 1.: Man hat für jedes streng wachsende $ϕ$ :

a_{ϕ (n)} \to a \land b_{ϕ (n)} \to b

Also folgt mit dem ersten Grenzwertsatz (siehe [5.6.1]): $a_{ϕ (n)} + b_{ϕ (n)} \to a + b$ , d.h. aber:

a_{n m} + b_{n m} \to a + b

Aber auch wichtige Konvergenzkriterien können nun mühelos auf Doppelfolgen übertragen werden.

Bemerkung:

1. $(a_{n m})$ konvergent $\Rightarrow (a_{n m})$ beschränkt	[5.10.17]
2. $(a_{n m})$ monoton und beschränkt $\Rightarrow (a_{n m})$ konvergent	[5.10.18]
3. $(a_{n m})$ konvergent $\Leftrightarrow (a_{n m})$ Cauchyfolge	[5.10.19]

Beweis: Auch hier beweisen wir exemplarisch nur die erste Aussage:

	$(a_{n m})$ konvergent
$\Rightarrow$	$(a_{ϕ (n)})$ konvergent für alle streng wachsenden $ϕ$	[5.10.11]
$\Rightarrow$	$(a_{ϕ (n)})$ beschränkt für alle streng wachsenden $ϕ$	[5.5.1]
$\Rightarrow$	$(a_{n m})$ beschränkt	[5.10.9]

Die zweidimensionale Struktur der Doppelfolgen erlaubt es, einen weiteren Konvergenzbegriff einzuführen. Mit seiner Hilfe wird die Ermittlung des Limes gemäß [5.10.6] in manchen Fällen erleichtert.

Definition: Wir nennen eine Doppelfolge $(a_{n m})$ zeilenkonvergent, wenn für jedes feste $n \in ℕ^{*}$ die gewöhnliche Folge $(a_{n m})$ konvergent ist. Die Zahlen

\lim_{m \to \infty} a_{n m}

[5.10.20]

heißen Zeilengrenzwerte. Analog richten wir die Begriffe spaltenkonvergent und Spaltengrenzwert ein.

Beachte:

Der neue und der alte Konvergenzbegriff beschreiben nicht diesselben Verhältnisse:

Die Doppelfolge $({(- 1)}^{n + m} (\frac{1}{n} + \frac{1}{m}))$ etwa konvergiert nach Beispiel [5.10.8] gegen 0, sie ist aber weder zeilen- noch spaltenkonvergent. Für (sogar) jedes feste n nämlich belegen die Konvergenzen

$\begin{array}{l} {(- 1)}^{n + 2 m} (\frac{1}{n} + \frac{1}{2 m}) = \frac{{(- 1)}^{n}}{n} + \frac{{(- 1)}^{n}}{2 m} \to \frac{{(- 1)}^{n}}{n} \\ {(- 1)}^{n + 2 m + 1} (\frac{1}{n} + \frac{1}{2 m + 1}) = - \frac{{(- 1)}^{n}}{n} - \frac{{(- 1)}^{n}}{2 m + 1} \to - \frac{{(- 1)}^{n}}{n} \end{array}$

dass die Folge $({(- 1)}^{n + m} (\frac{1}{n} + \frac{1}{m}))$ zwei verschiedene Häufungspunkte besitzt und somit divergent sein muss. Dies belegt die Zeilendivergenz. Analog zeigt man die Spaltendivergenz.

Die Doppelfolge $({(1 - \frac{1}{n})}^{m})$ ist zeilenkonvergent ( ${(1 - \frac{1}{n})}^{m} \to 0$ ) und spaltenkonvergent ( ${(1 - \frac{1}{n})}^{m} \to 1^{m} = 1$ ) aber, wie die nächste Bemerkung zeigt, nicht konvergent.

Obwohl - wie gerade gesehen - die beiden Konvergenzbegriffe unverträglich sind, spielen konvergente Doppelfolgen, die gleichzeitig zeilen- und spaltenkonvergent sind, eine wichtige Rolle. Bei ihnen nämlich darf man die Reihenfolge der Grenzprozesse vertauschen. Man beachte, dass bei der Formulierung der nachfolgenden Bemerkung die Unterscheidung zwischen nicht festen und festen Indizes nicht mehr durch die Verwendung kursiver bzw. nicht nicht-kursiver Schrift unterstützt werden kann.

Bemerkung: $(a_{n m})$ sei eine gegen g konvergente Doppelfolge. Dann gilt:

Ist $(a_{n m})$ zeilenkonvergent, so konvergieren die Zeilengrenzwerte gegen g:

\lim_{n \to \infty} (\lim_{m \to \infty} a_{n m}) = g

[5.10.21]

Ist $(a_{n m})$ spaltenkonvergent, so konvergieren die Spaltengrenzwerte gegen g:

\lim_{m \to \infty} (\lim_{n \to \infty} a_{n m}) = g

[5.10.22]

Ist $(a_{n m})$ zeilen- und spaltenkonvergent, so ist die doppelte Grenzwertbildung möglich und von der Reihenfolge unabhängig:

\lim_{n \to \infty} (\lim_{m \to \infty} a_{n m}) = \lim_{m \to \infty} (\lim_{n \to \infty} a_{n m})

[5.10.23]

Beweis: Wir zeigen nur 1., denn 2. beweist man analog und 3. ist eine direkte Folgerung aus 1. und 2.

1. ►

Wir setzen zur Abkürzung $g_{n} ≔ \lim_{m \to \infty} a_{n m}$ und zeigen: $g_{n} \to g$ . Sei dazu $ε > 0$ vorgegeben. Da $a_{n m} \to g$ , gibt es ein $n_{0} \in ℕ^{*}$ , so dass für alle $n \geq n_{0}$ gilt:

| a_{n m} - g | < \frac{ε}{2} für alle m \geq n_{0}

d.h. aber für diese m: $g - \frac{ε}{2} < a_{n m} < g + \frac{ε}{2}$ und damit für den Grenzwert $g_{n}$ :

g - \frac{ε}{2} \leq g_{n} \leq g + \frac{ε}{2}

Also hat man: $| g_{n} - g | \leq \frac{ε}{2} < ε$ .

Die bisher erzielten Ergebnisse gelten natürlich insbesondere auch für Doppelreihen. Uns interessiert hier vor allem die Aussage [5.10.23], die wir im Zusammenhang mit absolut konvergenten Doppelreihen neu formulieren wollen. Zunächst betrachten wir dazu Doppelreihen mit positiven Gliedern.

Bemerkung: Eine Doppelreihe $(\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} a_{i j})$ mit positiven Gliedern ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist. In diesem Fall gilt die folgende Abschätzung:

\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} a_{i j} \leq \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{\infty} a_{i j} für alle n, m \in ℕ

[5.10.24]

Beweis: Die Richtung " $\Rightarrow$ " steht in [5.10.17].

" $\Leftarrow$ ": Da alle $a_{i j}$ positiv sind, wächst die Doppelreihe monoton. Die Konvergenz folgt also aus [5.10.18].

Nach [5.10.11] kann man für jedes streng wachsende $ϕ$ den Grenzwert gemäß Beweis zu [5.7.1] auch als Supremum der monotonen wachsenden ([5.10.10]) gewöhnlichen Folge $(\sum_{i = 0}^{ϕ_{1} (n)} \sum_{j = 0}^{ϕ_{2} (n)} a_{i j})$ berechnen. Für $ϕ : n \mapsto (n, n)$ etwa erhält man daher für alle n, m (mit $k = \max {n, m}$ ):

\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} a_{i j} \leq \sum_{i = 0}^{k} \sum_{j = 0}^{k} a_{i j} \leq \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{\infty} a_{i j}

Mit diesem Ergebnis gelingt es nun, [5.9.13] auf Doppelreihen zu übertragen.

Bemerkung:

Jede absolut konvergente Doppelreihe ist konvergent.

[5.10.25]

Beweis: Da $| a_{i j} | \pm a_{i j} \geq 0$ , sind $(\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} \frac{1}{2} (| a_{i j} | + a_{i j}))$ und $(\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} \frac{1}{2} (| a_{i j} | - a_{i j}))$ Doppelreihen mit positiven Gliedern. Die nach [5.10.24] gültigen Abschätzungen

\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} \frac{1}{2} (| a_{i j} | \pm a_{i j}) \leq \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} \frac{1}{2} (| a_{i j} | + | a_{i j} |) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} | a_{i j} | \leq \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{\infty} | a_{i j} |

garantieren (wieder mit [5.10.24]) deren Konvergenz, und damit gemäß [5.10.14] auch die Konvergenz von

(\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} a_{i j}) = (\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} \frac{1}{2} (| a_{i j} | + a_{i j})) - (\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} \frac{1}{2} (| a_{i j} | - a_{i j}))

Bemerkung: Ist die Reihe $(\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} | a_{i j} |)$ beschränkt, so gilt:

\sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{\infty} a_{i j} = \sum_{j = 0}^{\infty} \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i j}

[5.10.26]

Beweis: Mit $(\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} | a_{i j} |)$ sind auch ihre Zeilen- und Spaltenreihen monoton wachsend und beschränkt, also konvergent ([5.10.18] bzw. [5.7.1]). Nach [5.10.25] und [5.9.13] trifft dies auch auf die Reihe $(\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} a_{i j})$ zu. Die Behauptung folgt daher aus [5.10.23].

5.9. 5.11.