${\displaystyle (R[\mathrm{X}],+,\cdot )}$ ist ein kommutativer Ring mit 1

Im Folgenden seien ${\displaystyle p=(a_i)}$, ${\displaystyle q=(b_i)}$ und ${\displaystyle r=(c_i)}$ drei beliebige Polynome über R.

• ${\displaystyle +}$ ist kommutativ:

  Da ${\displaystyle +}$ auf R kommutativ ist, hat man ${\displaystyle a_i+b_i=b_i+a_i}$ für alle i, und damit:

  ${\displaystyle p+q=(a_i+b_i)=(b_i+a_i)=q+p}$.

• ${\displaystyle +}$ ist assoziativ:

  ${\displaystyle +}$ ist auf R assoziativ, d.h. ${\displaystyle (a_i+b_i)+c_i=b_i+(a_i+c_i)}$ für alle i. Also ist auch:

  ${\displaystyle (p+q)+r=((a_i+b_i)+c_i)=(b_i+(a_i+c_i))=p+(q+r)}$.

• 0 ist neutrales Element bzgl. ${\displaystyle +}$:

  Die Neutralität von 0 in R überträgt sich zu

  ${\displaystyle p+0=(a_i+0)=(a_i)=p}$.

• ${\displaystyle (-a_i)}$ ist invers zu ${\displaystyle (a_i)}$:

  In R gilt für alle i: ${\displaystyle -a_i+a_i=0}$, also hat man:

  ${\displaystyle (-a_i)+(a_i)=(-a_i+a_i)=(0)=0}$,

  und damit natürlich auch:

  ${\displaystyle (a_i)-(b_i)=(a_i)+(-(b_i))=(a_i-b_i)}$.

• ${\displaystyle \cdot }$ ist kommutativ:

  Da ${\displaystyle \cdot }$ auf R kommutativ ist und, aufgrund der Kommutativität der Addition in R, die Reihenfolge der Summanden ohne Bedeutung ist, hat man hier:

  ${\displaystyle p\cdot q=(\sum _{j+k=i}{a}_j\cdot b_k)=(\sum _{k+j=i}{b}_k\cdot a_j)=q\cdot p}$.

• ${\displaystyle \cdot }$ ist assoziativ:

  Wir benötigen hier das Distributivgesetz in R. Außerdem dürfen wir wieder die Reihenfolge der Summanden verändern:

  ${\displaystyle \begin{array}{cc}(p\cdot q)\cdot r& =(\sum _{j+k=l}{a}_j\cdot b_k)\cdot r\hfill \\ & =(\sum _{l+m=i}(\sum _{j+k=l}{a}_j\cdot b_k)\cdot c_m)\hfill \\ & =(\sum _{j+k+m=i}{a}_j\cdot b_k\cdot c_m)\hfill \\ & =(\sum _{j+l=i}{a}_j(\sum _{k+m=l}{b}_k\cdot c_m))\hfill \\ & =p\cdot (\sum _{k+m=l}{b}_k\cdot c_m)\hfill \\ & =p\cdot (q\cdot r)\text{.}\hfill \end{array}}$
• 1 ist neutral bzgl. ${\displaystyle \cdot }$:

  Beachtet man, dass bei dem konstanten Polynom 1 alle Folgenglieder mit einem Index ${\displaystyle \ge 1}$ den Wert 0 haben und das erste Folgenglied (Index${\displaystyle =0}$) gleich 1 ist, erhält man mit der Neutralität von 1 in R sofort:

  ${\displaystyle p\cdot 1=(\sum _{\begin{array}{c}j+k=i\\ k=0\end{array}}{a}_j\cdot 1)=(a_i)=p}$.

• ${\displaystyle \cdot }$ ist distributiv bzgl. ${\displaystyle +}$:

  Wir benutzen das Distributivgesetz in R und ändern an geeigneter Stelle die Summationsreihenfolge:

  ${\displaystyle \begin{array}{cc}(p+q)\cdot r& =(\sum _{j+k=i}(a_j+b_j)\cdot c_k)\hfill \\ & =(\sum _{j+k=i}(a_j{c}_k+b_j{c}_k))\hfill \\ & =(\sum _{j+k=i}{a}_j{c}_k+\sum _{j+k=i}{b}_j{c}_k)\hfill \\ & =p\cdot r+q\cdot r\text{.}\hfill \end{array}}$

• ${\displaystyle \varphi }$ ist ein Ringhomomorphismus mit ${\displaystyle \varphi (1)=1}$:

  Wir wählen zunächst ein ${\displaystyle n\ge \max \{gradp,gradq,0\}}$. Mit dem Distributivgesetz in ${\displaystyle \mathbb{F}(R)}$ und der Kommutativität der Funktionenaddition ergibt sich damit:

  ${\displaystyle \begin{array}{cc}\varphi (p+q)& =\sum _{i=0}^n(a_i+b_i){\mathrm{X}}^i\hfill \\ & =\sum _{i=0}^n{a}_i{\mathrm{X}}^i+\sum _{i=0}^n{b}_i{\mathrm{X}}^i\hfill \\ & =\varphi (p)+\varphi (q)\text{.}\hfill \end{array}}$

  Ist ${\displaystyle p=0\vee q=0}$, so ist auch ${\displaystyle p\cdot q=0}$ und damit ${\displaystyle \varphi (p\cdot q)=0=\varphi (p)\cdot \varphi (q)}$. Wir dürfen also für ${\displaystyle n=gradp}$ und ${\displaystyle m=gradq}$ annehmen, dass ${\displaystyle n,m\ge 0}$. Man hat also:

  ${\displaystyle \begin{array}{cc}\varphi (p\cdot q)& =\sum _{i=0}^{n+m}(\sum _{j+k=i}{a}_j\cdot b_k){\mathrm{X}}^i\hfill \\ & =(\sum _{j=0}^n{a}_j{\mathrm{X}}^j)\cdot (\sum _{k=0}^m{b}_k{\mathrm{X}}^k)\hfill \\ & =\varphi (p)\cdot \varphi (q)\text{.}\hfill \end{array}}$

  Schließlich ist offensichtlich ${\displaystyle \varphi (1)=\sum _{i=0}^{0}1\cdot {\mathrm{X}}^i=1}$.

• Die Aussagen über die Moduleigenschaften sind mit den (stärkeren) Ringeigenschaften bereits mitbewiesen.