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4.5. Polynome

Im letzten Abschnitt haben wir gesehen, daß allein die identische Funktion X durch Potenzieren unendlich viele weitere Funktionen erzeugt. Bereits durch die Hinzunahme der konstanten Funktionen läßt sich aus X (und ihren Potenzen) eine sehr umfangreiche Funktionenmenge konstruieren.

Definition: Es sei n ÎN È {0} und a0,..., an ÎR . Die Funktion p := anX n + .... + a1X + a0 heißt ein Polynom (oder auch eine ganz-rationale Funktion). Dabei heißen die Zahlen a0,..., an die Koeffizienten von p. Ist an ¹ 0, so heißt an der Leitkoeffizient von  p. In diesem Fall heißt die Zahl n der Grad von p und p ein Polynom n-ten Grades. Wir nennen  p normiert, falls an = 1 ist. Die speziellen Polynome anX n heißen auch Monome.

Beachte:

1. Aufgrund ihrer Konstruktionsweise sind Polynome grundsätzlich Funktionen mit Definitionsbereich R : für jedes Polynom p gilt:  p: R ®R.

2. Die Funktionswerte von Polynomen sehen so aus, wie es das Polynom bereits vorwegnimmt:

   p (x) = a_nx ⁿ + .... + a₁x + a₀

3. Die Koeffizienten von Polynomen müssen Zahlen sein. So ist z.B. die Funktion HX - 1 kein Polynom, denn der "Koeffizient" H, also die Heavisidefunktion, ist nicht konstant. (Beachte aber eine der nachfolgenden Bemerkungen.)

4. Die von 0 verschiedenen konstanten Funktionen sind genau die Polynome vom Grad 0.

5. Die konstante Funktion 0 ist ein Polynom; wir nennen es meist das Nullpolynom. 0 hat keinen Leitkoeffizienten und besitzt somit als einziges Polynom keinen Grad.

6. Die nicht-konstanten linearen Funktionen sind genau die Polynome 1. Grades.

7. Statt Polynom n-ten Grades sagt man gelegentlich auch nur Funktion n-ten Grades; die in Teil 2 angegesprochenen Funktionen 2. und 3. Grades sind also spezielle Polynome.

Beispiel: 3X 4 + 7X 3 - 4X 2 - 12X + 3 ist ein Polynom 4. Grades. X 12 + 56X 8 - 3.5X 2 + $\sqrt{2}$ ist ein normiertes Polynom 12. Grades. 12 ist ein Polynom 0. Grades X + 1 ist ein Polynom 1. Grades X -1 ist kein Polynom, denn X -1 hat den Definitionsbereich R \ {0}.

Die Polynome stellen innerhalb der Funktionen aus F(R ) eine geschlossene Gruppe dar:

Bemerkung: Sind p und q Polynome, so sind auch p + q p - q pq wieder Polynome. $\frac{p}{q}$ ist meist kein Polynom. 1. und 2. führen zu folgendem Ergebnis: Bezeichnet man mit P die Menge aller Polynome, so ist (P,+) eine abelsche Gruppe - und zwar eine Untergruppe von (F(R ),+). Beweis: Sei etwa  p = anX n + .... + a1X + a0  und  q = bmX m + .... + b1X + b0. Ohne Einschränkung nehmen wir an, daß n = m ist (im anderen Fall fülle man eines der Polynome mit geeigneten Monomen mit Koeffizient 0 auf). Dann erhält man nach Sortieren und Zusammenfassen: p + q = (an + bn)X n + .... + (a1 + b1)X + (a0 + b0), also wieder ein Polynom. Bei p - q argumentiert man genauso, bei  p · q erhält man die Polynomdarstellung durch Ausmultiplizieren der Klammern (anX n + .... + a1X + a0)(bmX m + .... + b1X + b0).

Obwohl Polynome recht einfach strukturierte Funktionen sind, zeichnen Sie sich bereits durch eine große Flexibilität aus. In einem späteren Kapitel soll dies deutlicher herausgestellt werden. Hier verschaffen wir uns zunächst einen optischen Eindruck über einige ihrer Graphen. Dabei beschränken wir uns auf Polynome von höchstens siebtem Grad:

Bereits durch ihre Gestalt und erst recht durch ihre Funktionsvorschrift drücken die Polynome eine Verwandtschaft zu den Gleichungen höheren Grades aus. Genauer hat man die folgende Situation:

Bemerkung: Ist  p = anX n + .... + a1X + a0  ein Polynom, so gilt p(x) = 0  Û  anx n + .... + a1x + a0 = 0 Die Nullstellensuche bei Polynomen und das Lösen von Gleichungen höheren Grades sind also dieselben Probleme! Überhaupt kann man viele Eigenschaften, die den Gleichungen zukommen, stets auch in eine Polynomvariante umschreiben; so ergibt sich z.B. die folgende Aussage über das Nullstellenverhalten der Polynome: Jedes Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. Eine wichtige Folgerung daraus ist der "Nullpolynomtest": p ist genau dann das Nullpolynom, wenn alle Koeffizienten verschwinden, also: p = 0   Û   an   = .... =  a1 =  a0 = 0 Beweis: Bei dieser Richtung "Ü" ist nichts zu zeigen. Sei jetzt  p = 0, dann hat p unendlich viele Nullstellen, denn die Gleichung p(x) = 0 wird von jedem x gelöst. Falls nun einer der Koeffizienten ai ungleich 0 ist, ist p ein Polynom mindestens i-ten Grades, hat also nur endlich viele Lösungen. Also gilt "Þ".

Der Nullpolynomtest macht es leicht, zwei Polynome zu vergleichen:

Bemerkung (Identitätssatz für Polynome): Sind  p = anX n + .... + a1X + a0  und  q = bnX n + .... + b1X + b0  zwei Polynome, so gilt: p = q   Û   ai = bi  für alle i Zwei Polynome sind also genau dann gleich, wenn sie koeffizientenweise übereinstimmen. Der Beweis ergibt sich sofort aus dem Nullpolynomtest, denn  p = q  Û  p - q = 0, und die Koeffizienten von  p - q sind gerade die Differenzen  ai - bi .

Als eine weitere Konsequenz aus dem Nullstellenverhalten der Polynome ergibt sich die erstaunliche Tatsache, daß ein Polynom höchstens n-ten Grades bereits durch n + 1 viele Funktionswerte bestimmt ist:

Bemerkung: Sind (x0,y0),.....,(xn ,yn)  n + 1 viele Zahlenpaare des R 2 mit paarweise verschiedenen xi, so gibt es höchstens ein Polynom p vom Grad £ n mit p(xi) = yi  für alle i. Beweis: Angenommen, es gibt zwei verschiedene Polynome dieser Art, etwa p und q, dann hat man für alle i: p - q(xi) = p(xi) - q(xi) = yi - yi = 0. D.h. p - q hat n + 1 viele Nullstellen. Andererseits ist p - q nicht das Nullpolynom und für seinen Grad hat man: grad(p - q) £ max{grad p, grad q} £ n, also kann p - q höchstens n Nullstellen besitzen. - Widerspruch.

Der gerade geführte Eindeutigkeitsnachweis läßt die Frage, ob es Polynome dieser Art überhaupt gibt, noch offen. Tatsächlich allerdings gibt es hier eine positive Antwort:

Satz (Lagrangescher Interpolationssatz): Sind (x0, y0),.....,(xn, yn)  n + 1 viele Zahlenpaare des R 2 mit paarweise verschiedenen xi, so gibt es genau ein Polynom p vom Grad £ n mit p(xi) = yi  für alle i. p heißt das zu den Knoten (x0, y0),.....,(xn, yn) gehörige Lagrangesche Interpolationspolynom. Beweis: Da die Eindeutigkeit bereits nachgewiesen ist, reicht es, ein Polynom der geforderten Art zu konstruieren. Zunächst setzen wir für 0 £ k £ n: $l_k:=\frac{(X-x_0)ċ\mathrm{\&ldots;}ċ(X-x_{k-1})(X-x_{k+1})ċ\mathrm{\&ldots;}ċ(X-x_n)}{(x_k-x_0)ċ\mathrm{\&ldots;}ċ(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})ċ\mathrm{\&ldots;}ċ(x_k-x_n)}$   . Diese Langrangeschen Grundpolynome lk sind (faktorisierte) Polynome vom Grad n. Man beachte, daß das Nennerprodukt, also die Zahl (xk - x0)·...·(xk - xk - 1)(xk - xk + 1)·...·(xk - xn) nicht 0 ist, denn die xi sind paarweise verschieden und der Faktor (xk - xk) kommt nicht vor! Wir berechnen nun die Werte, die lk an den Stellen xi annimmt: Zunächst hat man lk(xk) = 1, denn in diesem Fall stimmen Zähler und Nenner überein. Für i ¹ k tritt im Zähler der Faktor (xi - xi) auf; also ist hier lk(xi) = 0. Für das Polynom p := y0l0 + .... + ynln gilt daher  p(xi) = yili(xi) = yi. Schließlich ist der Grad von p höchstens gleich n. Diese konstruktive(!) Methode (1794 von Lagrange veröffentlicht) läßt sich direkt auf Beispiele übertragen.

Auch Funktionen, die zunächst gar nicht wie ein Polynom aussehen, können durchaus Polynome sein, nämlich dann, wenn man sie zu einem Polynom umschreiben kann. So ist z.B. der Quotient $\frac{X^4-16}{X^2+4}=X^2-4$ ein Polynom! Der Quotient $\frac{X^4-16}{X^2-4}$ dagegen hat den Definitionsbereich R \ {-2,2}, kann also kein Polynom sein.

Damit ist ein oft schwieriges Problem angesprochen: Wie kann man einer Funktion, die nicht direkt als Polynom gegeben ist, ansehen, ob sie in ein Polynom umgeschrieben werden kann oder nicht? Funktionen, deren Definitionsbereich nicht R  ist, bleiben sowieso außen vor; bei den anderen kann man zum Teil mit folgendem Kriterium Erfolg haben, das sich direkt aus dem Nullstellenverhalten der Polynome ergibt:

Bemerkung: Ist p nicht das Nullpolynom, so hat p nur endlich viele Nullstellen. Beweis: Ist p nicht das Nullpolynom, so hat p irgendeinen Grad und daher höchstens soviele Nullstellen wird der Grad angibt.

Beispiel: sin und cos sind keine Polynome, denn sie besitzen unendlich viele Nullstellen, sind aber beide nicht die Nullfunktion. H und HX sind keine Polynome, denn auch sie besitzen unendlich viele Nullstellen, obwohl keine von ihnen die Nullfunktion ist. Das gerade benutzte Kriterium ist nicht umkehrbar! So hat z.B. die Funktion f : R ®R  gegeben durch   $f(x):=\{\begin{array}{l}0\text{,\&quad;falls\&quad;}x=0\hfill \\ 1\text{,\&quad;falls\&quad;}x\&neq;0\hfill \end{array}$ genau eine Nullstelle. Wäre nun  f ein Polynom, so auch  f - 1.  f - 1 aber hat unendlich viele Nullstellen, also hätte man  f - 1 = 0 und damit  f = 1. Widerspruch!