${\displaystyle (f\ast g{)}^{\prime }=f(0)\cdot g+f^{\prime }\ast g}$

Zunächst zeigen wir für ein beliebiges ${\displaystyle a\in ℝ}$:

Dazu müssen wir nachweisen, dass die Differenzenquotientenfunktion ${\displaystyle m_a=\frac{f\ast g-f\ast g(a)}{\mathrm{X}-a}}$ in a den Grenzwert ${\displaystyle f(0)\cdot g(a)+f^{\prime }\ast g(a)}$ besitzt (siehe [7.3.1]). Für ${\displaystyle x\ne a}$ schreiben wir zunächst:

Ist jetzt ${\displaystyle (a_n)}$ eine beliebige Folge mit ${\displaystyle a\ne a_n\to a}$, so zeigen wir der Reihe nach

1. ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \underset{a}{\overset{a_n}{\int }}f(a_n-\mathrm{X})\cdot g}}{a_n-a}\to f(0)\cdot g(a)}$

2. ${\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{(f(a_n-\mathrm{X})-f(a-\mathrm{X}))\cdot g}{a_n-a}\to f^{\prime }\ast g(a)}$

und haben so die Konvergenz ${\displaystyle m_a(a_n)\to f(0)\cdot g(a)+f^{\prime }\ast g(a)}$ nachgewiesen.

1. ►  Gemäß Mittelwertsatz [8.2.8] gibt es zunächst zu jedem n ein ${\displaystyle {\tilde{x}}_n}$ zwischen a und ${\displaystyle a_n}$, also ${\displaystyle |{\tilde{x}}_n-a|<|a_n-a|}$, so dass

Da ${\displaystyle |{\tilde{x}}_n-a|<|a_n-a|}$, folgt aus ${\displaystyle a_n\to a}$ auch ${\displaystyle {\tilde{x}}_n\to a}$, und damit auch ${\displaystyle a_n-{\tilde{x}}_n\to 0}$. Weil f und g stetig sind ( f in 0 und g in a), erhält man daher:

2. ►  Für ${\displaystyle a=0}$ ist nicht zu zeigen, denn hier liegt der Fall ${\displaystyle 0\to 0}$ vor. Für ${\displaystyle a\ne 0}$ reicht es nach [8.2.14], die gleichmäßige Konvergenz

auf dem Intervall ${\displaystyle [-|a|,|a|]}$ nachzuweisen. Wir beginnen mit einigen Vorbereitungen:

Da g als stetige Funktion auf dem auf dem von a und ${\displaystyle -a}$ begrenzten abgeschlossenen Intervall beschränkt ist, gibt es ein ${\displaystyle c\in {ℝ}^{>0}}$, so dass

Ferner ist die Nullfolge ${\displaystyle (a_n-a)}$ beschränkt. Es gibt also eine weitere Konstante ${\displaystyle k>0}$, so dass

Wir setzen nun wieder den Mittelwertsatz ein, hier in der Version [7.9.5]: Nach Kettenregel ist für jedes x die Funktion ${\displaystyle f(\mathrm{X}-x)}$ differenzierbar. Insbesondere gibt es daher zu jedem x zwischen a und ${\displaystyle -a}$ und zu jedem n ein ${\displaystyle {\tilde{x}}_{x,n}}$ zwischen a und ${\displaystyle a_n}$, d.h. ${\displaystyle |{\tilde{x}}_{x,n}-a|<|a_n-a|}$, so dass

Sei nun ${\displaystyle \epsilon >0}$ vorgegeben. Auf dem abgeschlossenen Intervall ${\displaystyle [-k-2|a|,k+2|a|]}$ ist die stetige Funktion ${\displaystyle f^{\prime }}$ auch gleichmäßig stetig (siehe [6.5.5]). Also gibt es zu ${\displaystyle \frac{\epsilon }{c}}$ ein ${\displaystyle \delta >0}$, so dass der Schluss

für alle r,s mit ${\displaystyle |r|,|s|\le k+2|a|}$ gültig ist. Wir stellen zunächst fest, dass für jedes x mit ${\displaystyle |x|\le |a|}$ die Zahlen ${\displaystyle a-x}$ und ${\displaystyle {\tilde{x}}_{x,n}-x}$ diese Bedingung erfüllen, denn:

Man wähle nun ein ${\displaystyle n_0\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$, so dass ${\displaystyle |a_n-a|<\delta }$ für alle ${\displaystyle n\ge n_0}$. Für diese n und alle x gilt also:

Damit hat man für alle ${\displaystyle n\ge n_0}$ und alle ${\displaystyle x\in [-|a|,|a|]}$:

Die benötigte gleichmäßige Konvergenz ist also nachgewiesen.

Wir zeigen nun abschließend, dass ${\displaystyle f\ast g}$ auch stetig differenzierbar ist, dass also die Ableitung ${\displaystyle (f\ast g{)}^{\prime }=f(0)\cdot g+f^{\prime }\ast g}$ in jedem ${\displaystyle a\in ℝ}$ stetig ist. Sei dazu ${\displaystyle (a_n)}$ eine beliebige gegen a konvergierende Folge. Um nun die Konvergenz ${\displaystyle (f\ast g{)}^{\prime }(a_n)\to (f\ast g{)}^{\prime }(a)}$ nachzuweisen, zerlegen wir ${\displaystyle (f\ast g{)}^{\prime }(a_n)}$ in drei Summanden:

• Da g stetig ist, hat man sofort ${\displaystyle f(0)\cdot g(a_n)\to f(0)\cdot g(a)}$.

• Mit dem dritten Summanden verfahren wir genauso wie in 1.: Gemäß Mittelwertsatz [8.2.8] gibt es zunächst zu jedem n ein ${\displaystyle {\tilde{x}}_n}$ zwischen a und ${\displaystyle a_n}$, d.h. ${\displaystyle |{\tilde{x}}_n-a|<|a_n-a|}$, und damit auch ${\displaystyle a_n-{\tilde{x}}_n\to 0}$, so dass

  ${\displaystyle \underset{a}{\overset{a_n}{\int }}{f}^{\prime }(a_n-\mathrm{X})\cdot g=(a_n-a)\cdot f^{\prime }(a_n-\tilde{x})\cdot g(\tilde{x})\to 0\cdot f^{\prime }(0)\cdot g(a)=0}$,

  wobei die notierte Konvergenz durch die Stetigkeit von ${\displaystyle f^{\prime }}$ und g gewährleistet ist.

• Nach den vorstehenden Ergebnissen reicht es nun, für den zweiten Summanden die Konvergenz

  ${\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}{f}^{\prime }(a_n-\mathrm{X})\cdot g\to \underset{0}{\overset{a}{\int }}{f}^{\prime }(a-\mathrm{X})\cdot g}$,

  nach [8.2.14] also die gleichmäßige Konvergenz ${\displaystyle f^{\prime }(a_n-\mathrm{X})\cdot g\underset{gm}{\to }{f}^{\prime }(a-\mathrm{X})\cdot g}$ auf dem Intervall ${\displaystyle [-|a|,|a|]}$ nachzuweisen (für ${\displaystyle a\ne 0}$, der Fall ${\displaystyle a=0}$ ist trivial). Wir orientieren uns jetzt an den Nachweis von 2. und finden wieder ${\displaystyle k,c>0}$, so dass für alle x mit ${\displaystyle |x|\le |a|}$ und alle ${\displaystyle n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ Abschätzungen

  ${\displaystyle \begin{array}{ll}\hfill |g(x)|& \le c\hfill \\ \hfill |a-x|& \le k+2|a|\hfill \\ \hfill |a_n-a|& \le k+2|a|\hfill \end{array}}$[1]

  gültig sind. Und ebenso finden wir zu einem beliebigen ${\displaystyle \epsilon >0}$ ein ${\displaystyle \delta >0}$, so dass

  ${\displaystyle |f^{\prime }(r)-f^{\prime }(s)|<\frac{\epsilon }{c}}$[2]

  für alle ${\displaystyle r,s\in [-k-|a|,k+|a|]}$ mit ${\displaystyle |r-s|<\delta }$. Man wähle jetzt ein ${\displaystyle n_0\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$, so dass ${\displaystyle |a_n-a|<\delta }$ für alle ${\displaystyle n\ge n_0}$. Dann gilt für diese n und alle x:

  ${\displaystyle |a_n-x-(a-x)|=|a_n-a|<\delta }$.

  Mit [1] und [2] hat man daher für alle ${\displaystyle n\ge n_0}$ und alle ${\displaystyle x\in [-|a|,|a|]}$

  ${\displaystyle |f^{\prime }(a_n-x)\cdot g(x)-f^{\prime }(a-x)\cdot g(x)|\le |f^{\prime }(a_n-x)-f^{\prime }(a-x)|\cdot c<\frac{\epsilon }{c}\cdot c=\epsilon }$.

  Damit ist die gleichmäßige Konvergenz ${\displaystyle f^{\prime }(a_n-\mathrm{X})\cdot g\underset{gm}{\to }{f}^{\prime }(a-\mathrm{X})\cdot g}$ auf ${\displaystyle [-|a|,|a|]}$ gesichert.