9.10. Lineare Abbildungen

9.10. Lineare Abbildungen

Wir wenden uns nun den strukturverträglichen Abbildungen zu, Abbildungen also zwischen zwei Vektorräumen, die die Vektoraddition und die skalare Multiplikation respektieren.

Definition: V und W seien zwei Vektorräume. Wir nennen eine Abbildung

f : V \to W

linear (oder auch einen Homomorphismus), falls für alle $v_{1}, v_{2} \in V$ und $α_{1}, α_{2} \in ℝ$ gilt:

f (α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2}) = α_{1} f (v_{1}) + α_{2} f (v_{2})

Die Menge aller linearen Abbildungen von V nach W bezeichnen wir mit dem Symbol Hom(V,W).

Beachte:

Eine lineare Abbildung ist insbsondere mit der Addition verträglich (wähle $α_{1} = α_{2} = 1$ !):

$f (v_{1} + v_{2}) = f (v_{1}) + f (v_{2})$ ,

mit der Subtraktion (wähle $α_{1} = 1$ und $α_{2} = - 1$ !):

$f (v_{1} - v_{2}) = f (v_{1}) - f (v_{2})$ ,

und mit der skalaren Multiplikation (wähle $α_{2} = 0$ !):

$f (α v) = α f (v)$ .
Die für nur zwei Summanden formulierte Bedingung läßt sich (per Induktion) auf beliebig viele übertragen. Lineare Abbildungen sind daher auch mit der Bildung von Linearkombinationen veträglich:

$f (α_{1} v_{1} + \dots + α_{k} v_{k}) = α_{1} f (v_{1}) + \dots + α_{k} f (v_{k})$ .
Die Situation $W = ℝ$ wird meist sprachlich unterschieden:
Eine lineare Abbildung $f : V \to ℝ$ nennt man auch eine Linearform und die Menge V ' := Hom(V,R ) den Dualraum von V.

Wir beginnen die Untersuchung der linearen Abbildungen mit einem einfachen, aber nützlichen Kriterium:

Bemerkung: Ist $f : V \to W$ linear, so gilt: $f (0) = 0$ .
Die Umkehrung ist i.a. falsch!

Beweis:

$f (0) = f (0 \cdot 0) = 0 \cdot f (0) = 0$ .

Die Quadratfunktion $X^{2} : ℝ \to ℝ$ ist nicht linear, denn z.B. ist $X^{2} (1 + 2) = 9$ und $X^{2} (1) + X^{2} (2) = 5$ , aber: $X^{2} (0) = 0$ .

Beispiel:

$f : ℝ^{3} \to ℝ^{3}$ gegeben durch $f (x) = (\begin{matrix} x_{1} + x_{2} \\ x_{3} \\ x_{1} - x_{3} \end{matrix})$ ist linear, denn: $f (α x + β y) = (\begin{matrix} α x_{1} + β y_{1} + α x_{2} + β y_{2} \\ α x_{3} + β y_{3} \\ α x_{1} + β y_{1} - α x_{3} - β y_{3} \end{matrix}) = α (\begin{matrix} x_{1} + x_{2} \\ x_{3} \\ x_{1} - x_{3} \end{matrix}) + β (\begin{matrix} y_{1} + y_{2} \\ y_{3} \\ y_{1} - y_{3} \end{matrix}) = α f (x) + β f (y)$ .
$f : ℝ^{2} \to ℝ$ gegeben durch $f (x) = x_{1} \cdot x_{2}$ ist nicht linear, denn z.B. ist $2 f ((\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})) = 2 \cdot 1 = 2$ , aber $f (2 (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})) = f ((\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})) = 4$ .

Beachte:

$m X + b : ℝ \to ℝ$ ist genau dann linear, wenn b = 0 ist. Die "alten" linearen Funktionen sind also nur in Sonderfällen lineare Abbildungen!

Interessant ist wieder das Zusammenspiel zwischen Analysis und linearer Algebra. Viele Rechenregeln aus der Analysis lassen sich nun unter einem einheitlichen Gesichtspunkt formulieren.

Beispiel: Die folgenen Abbildungen aus der Analysis sind linear. Der Nachweis ist durch den Beweis der jeweiligen Rechenregel bereits geführt.

$\lim : {(a_{n}) | (a_{n}) ist konvergent} \to ℝ$ .
$\lim_{x \to a} : {f \in 𝔽 (A) | f ist in a stetig fortsetzbar} \to ℝ$ .
$D_{a} : {f \in 𝔽 (A) | f ist in a differenzierbar} \to ℝ$ gegeben durch $D_{a} (f) = f^{'} (a)$ .
$D^{n} : C^{k} (A) \to C^{k - n} (A)$ gegeben durch $D^{n} (f) = f^{(n)}$ , für $k \geq n$ .
$\int_{a}^{b} : I (I) \to ℝ$ .

Auf das folgende Beispiel kommen wir im Abschnitt über die verallgemeinerte Differenzierbarkeit noch einmal zurück.

Beispiel: Es sei

a \in A

. Die Funktion

δ_{a} : 𝔽 (A) \to ℝ

gegeben durch

δ_{a} (f) = f (a)

ist eine Linearform. Wir nennen sie die Diracsche Deltaform.

Beweis: $δ_{a} (α_{1} f_{1} + α_{2} f_{2}) = α_{1} f_{1} + α_{2} f_{2} (a) = α_{1} f_{1} (a) + α_{2} f_{2} (a) = α_{1} δ_{a} (f_{1}) + α_{2} δ_{a} (f_{2})$ .

Das nächste Beispiel stellt einige allgemeine lineare Abbildungen vor, die in natürlicher Weise zu jedem Vektorraum gehören.

Bemerkung: V und W seien Vektorräume,

U \subset V

ein Untervektorraum,

α \in ℝ

. Dann sind die folgenden Abbildungen linear:

$0 : V \to W$ die Nullabbildung.
$X_{V} : V \to V$ die Identität auf V.
$L_{α} : V \to V$ gegeben durch $L_{α} (v) = α \cdot v$ die Streckung mit einem festen Skalar $α$ .
$I_{U} : U \to V$ gegeben durch $I_{U} (v) = v$ die zu U gehörige Inklusion.
$P_{U} : V \to V_{/_{U}}$ gegeben durch $P_{U} (a) = a + U$ die zu U gehörige Projektion.

Beweis:

Zu 1.: $0 (α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2}) = 0 = α_{1} 0 + α_{2} 0 = α_{1} 0 (v_{1}) + α_{2} 0 (v_{2})$ .

Zu 2.: $X_{V} (α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2}) = α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2} = α_{1} X_{V} (v_{1}) + α_{2} X_{V} (v_{2})$ .

Zu 3.: $L_{α} (α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2}) = α (α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2}) = α_{1} (α v_{1}) + α_{2} (α v_{2}) = α_{1} L_{α} (v_{1}) + α_{2} L_{α} (v_{2})$ .

Zu 4.: $I_{U} (α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2}) = α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2} = α_{1} I_{U} (v_{1}) + α_{2} I_{U} (v_{2})$ .

Zu 5.: $P_{U} (α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2}) = (α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2}) + U = α_{1} (v_{1} + U) + α_{2} (v_{2} + U) = α_{1} P_{U} (v_{1}) + α_{2} P_{U} (v_{2})$ .

Beachte:

Während die Streckung mit einem festen Skalar $α$ linear ist, gilt eine entsprechende Aussage für die Verschiebung um festen Vektor a

$T_{a} : V \to V$ gegeben durch $T_{a} (v) = a + v$

bis auf eine Ausnahme nicht! Denn für $a \neq 0$ hat man: $T_{a} (0) = a \neq 0$ .

Ein Vorteil der linearen Abbildungen gegenüber anderen Funktionen ist ihre Überschaubarkeit: Lineare Abbildungen sind durch ihre Werte auf den Basisvektoren - und bei endlichen Vektorräumen sind dies nur endlich viele (!) - bereits eindeutig bestimmt.

Bemerkung: V und W seien Vektorräume. Dann gilt:

Ist $v_{1}, \dots, v_{n}$ eine Basis von V, so gibt es zu jeder Sequenz $w_{1}, \dots, w_{n}$ aus W genau eine lineare Abbildung

$f : V \to W$ ,
so dass $f (v_{i}) = w_{i}$ .
Ist $B \subset V$ eine Basis von V, so läßt sich jede Funktion $h : B \to W$ auf genau eine Weise zu einer linearen Abbildung

$f : V \to W$

fortsetzen.

Beweis:

Zu 1.: Zunächst zur Eindeutigkeit: Ist $g : V \to W$ eine weitere Abbildung der genannten Art, so hat man für jedes $v = α_{1} v_{1} + \dots + α_{n} v_{n} \in V$ :

f (v) = f (α_{1} v_{1} + \dots + α_{n} v_{n}) = α_{1} f (v_{1}) + \dots + α_{n} f (v_{n}) = α_{1} g (v_{1}) + \dots + α_{n} g (v_{n}) = g (α_{1} v_{1} + \dots + α_{n} v_{n}) = g (v)

Zur Konstruktion von f setzen wir für $v = α_{1} v_{1} + \dots + α_{n} v_{n} \in V$ :

f (v) = α_{1} w_{1} + \dots + α_{n} w_{n}

Die so definierte Abbildung erfüllt offenbar die Forderung

f (v_{i}) = w_{i}

, und sie ist linear: Hat man etwa

\begin{array}{l} x = α_{1} v_{1} + \dots + α_{n} v_{n} \\ y = β_{1} v_{1} + \dots + β_{n} v_{n}, \end{array}

so ist:

\begin{array}{l} f (α x + β y) & = f (α (α_{1} v_{1} + \dots + α_{n} v_{n}) + β (β_{1} v_{1} + \dots + β_{n} v_{n})) \\ = f ((α α_{1} + β β_{1}) v_{1} + \dots + (α α_{n} + β β_{n}) v_{n}) \\ = (α α_{1} + β β_{1}) w_{1} + \dots + (α α_{n} + β β_{n}) w_{n} \\ = α (α_{1} w_{1} + \dots + α_{n} w_{n}) + β (β_{1} w_{1} + \dots + β_{n} w_{n}) \\ = α f (x) + β f (y) . \end{array}

Zu 2.: Der Beweis ist i.w. eine Kopie des gerade geführten. Man beachte dabei, dass es zu jedem $v \in V$ genau eine Darstellung $v = α_{1} v_{1} + \dots + α_{n} v_{n}$ mit geeigneten Basisvektoren $v_{1}, \dots, v_{n} \in B$ gibt. Dies sichert wie gerade die Eindeutigkeit, und durch die Festsetzung

f (v) = α_{1} h (v_{1}) + \dots + α_{n} h (v_{n})

ist auch hier die gesuchte lineare Abbildung f konstruiert.

Mit linearen Abbildungen sind stets zwei charakteristische Mengen - und wie wir sehen werden sogar Untervektorräume - verbunden.

Definition: Es sei V und W seien zwei Vektorräume,

f : V \to W

linear. Dann heißt die Menge

$K e r f = {v \in V | f (v) = 0} \subset V$ der Kern von f.
$Im f = f (V) = {f (v) | v \in V} \subset W$ das Bild von f.

Über den Kern und das Bild von f lassen sich oft Eigenschaften von f beschreiben, so hat man z.B.:

Bemerkung:

f : V \to W

sei linear. Dann gilt:

f ist surjektiv $\Leftrightarrow Im f = W$ .
f ist injektiv $\Leftrightarrow K e r f = {0}$ .

Beweis:

Zu 1.: f ist genau dann surjektiv, wenn jedes Element von W ein Urbild besitzt, wenn also W ausschließlich aus f-Bildern besteht.

Zu 2.:
$" \Rightarrow "$ : Es reicht zu zeigen: $K e r f \subset {0}$ . Sei dazu $x \in K e r f$ , also: $f (x) = 0$ . Da auch $f (0) = 0$ , hat man insbesondere: $f (x) = f (0) \Rightarrow x = 0$ .

$" \Leftarrow "$ : Sei $f (x) = f (y)$ . Folgt: $0 = f (x) - f (y) = f (x - y) \Rightarrow x - y \in K e r f \Rightarrow x - y = 0 \Rightarrow x = y$ .

Bemerkung: $f : V \to W$ sei linear, $A \subset V$ und $v_{i} \in V$ . Dann gilt:

$f (< A >) = < f (A) >$ .

$f (< v_{1}, \dots, v_{n} >) = < f (v_{1}), \dots, f (v_{n}) >$ .

$Im f$ ist ein Untervektorraum von W.

Beweis:
Zu 1.:
$\begin{array}{l} w \in f (< A >) \\ \Leftrightarrow & es gibt ein v \in < A > mit w = f (v) \\ \Leftrightarrow & es gibt eine endliche Teilmenge {v_{1}, \dots, v_{n}} \subset V, α_{i} \in ℝ, so dass w = f (α_{1} v_{1} + \dots + α_{n} v_{n}) = α_{1} f (v_{1}) + \dots + α_{n} f (v_{n}) \\ \Leftrightarrow & w \in < f (A) > . \end{array}$
2 ist ein Spezialfall von 1.

Zu 3.: Mit 1. hat man: $Im f = f (V) = f (< V >) = < f (V) >$ . $Im f$ ist also stets ein Erzeugnis, insbesondere damit ein Untervektorraum.

Bemerkung: $f : V \to W$ sei linear. Dann gilt: $K e r f$ ist ein Untervektorraum von V.
Beweis:

Es sind drei Punkte zu überprüfen:

$0 \in K e r f$ , denn: $f (0) = 0$ .

$x, y \in K e r f \Rightarrow f (x + y) = f (x) + f (y) = 0 + 0 = 0$ , d.h.: $x + y \in K e r f$ .

$x \in K e r f \Rightarrow f (α x) = α f (x) = α \cdot 0 = 0$ , also: $α x \in K e r f$ .

Lineare Abbildungen deren Kern der Nullraum ist, sind vom großer Bedeutung, denn sie besitzen automatisch weitere interessante Eigenschaften, wie etwa die oben bereits nachgewiesene Injektivität. Im Folgenden nun zeigen wir, dass sie die lineare Unabhängigkeit vererben.

Bemerkung:

f : V \to W

sei linear mit

K e r f = {0}

. Dann gilt:

v_{1}, \dots, v_{n} linear unabhängig \Rightarrow f (v_{1}), \dots, f (v_{n}) linear unabhängig .

Beweis:

Sei $0 = α_{1} f (v_{1}) + \dots + α_{n} f (v_{n}) = f (α_{1} v_{1} + \dots + α_{n} v_{n})$ , d.h.

\begin{array}{l} α_{1} v_{1} + \dots + α_{n} v_{n} \in K e r f \\ \Rightarrow & α_{1} v_{1} + \dots + α_{n} v = 0 \\ \Rightarrow & α_{1} = \dots = α_{n} = 0, da v_{1}, \dots, v_{n} linear unabhängig . \end{array}

Wir untersuchen nun die Verrechnungmöglichkeiten von linearen Abbildungen untereinander. Zunächst kann man - wie bei allen Funktionen - zwei lineare Abbildungen hinter einander schalten; Die Linearität geht dabei nicht verloren!

Bemerkung: Sind

g : V \to W

und

f : W \to U

zwei lineare Abbildungen, so ist auch

f \circ g : V \to U

linear.

Beweis:

\begin{array}{l} f \circ g (α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2}) \\ = & f (α_{1} g (v_{1}) + α_{2} g (v_{2})) \\ = & α_{1} f (g (v_{1})) + α_{2} f (g (v_{2})) \\ = & α_{1} f \circ g (v_{1}) + α_{2} f \circ g (v_{2}) \end{array}

Die Grundrechenarten, also die Rechenarten in $ℝ$ , ließen sich auf die reellwertigen Funktionen übertragen. Analog dazu führen wir nun für W-wertige Funktionen das Rechnen mit den Rechenarten von W ein, d.h. wir übertragen die Vektoraddition und die skalare Multiplikation. Dabei beschränken wir uns auf lineare Funktionen mit festem Definitionsbereich.

Definition: V und W seien zwei Vektorräume und

f, g : V \to W

zwei lineare Abbildungen. Dann heißt

$f + g : V \to W$ gegeben durch $f + g (v) = f (v) + g (v)$ die Summe von f und g.
$α f : V \to W$ gegeben durch $α f (v) = α (f (v))$ das α-fache von f.

Erwartungsgemäß sind die so eingeführten Rechenarten mit der Linearität verträglich.

Bemerkung: Sind

f, g : V \to W

linear, so auch

$f + g$ .
$α f$ .

Beweis:

Zu 1.:

\begin{array}{l} f + g (α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2}) & = f (α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2}) + g (α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2}) \\ = α_{1} f (v_{1}) + α_{2} f (v_{2}) + α_{1} g (v_{1}) + α_{2} g (v_{2}) \\ = α_{1} f (v_{1}) + α_{1} g (v_{1}) + α_{2} f (v_{2}) + α_{2} g (v_{2}) \\ = α_{1} (f (v_{1}) + g (v_{1})) + α_{2} (f (v_{2}) + g (v_{2})) \\ = α_{1} (f + g) (v_{1}) + α_{2} (f + g) (v_{2}) \end{array}

Zu 2.:

\begin{array}{l} α f (α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2}) & = α (f (α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2})) \\ = α (α_{1} f (v_{1}) + α_{2} f (v_{2})) \\ = (α_{1} α) f (v_{1}) + (α_{2} α) f (v_{2}) \\ = α_{1} (α f) (v_{1}) + α_{2} (α f) (v_{2}) \end{array}

Damit haben wir nun die Möglichkeit, lineare Abbildungen von V nach W, also die Elemente von Hom(V,W) "wie Vektoren" zu verrechnen! Das dies nicht nur eine oberflächliche Ähnlichkeit ist, zeigt der nächste Satz:

Bemerkung: Sind V und W zwei Vektorräume, so ist ( Hom(V,W) , + , · ) ebenfalls ein Vektorraum.

Beweis:

Zunächst sind nach der Vorüberlegung + und · Rechenoperationen auf Hom(V,W):

\begin{array}{l} + : Hom (V, W) \times Hom (V, W) \to Hom (V, W) \\ \cdot : ℝ \times Hom (V, W) \to Hom (V, W) \end{array}

Nun sind die acht Vektorraumaxiome zu bestätigen: Da alle hier auftretenden Vektoren Abbildungen von V nach W sind, läßt sich jede Regel bereits über die Gleichheit der Funktionsvorschriften beweisen. Wir verwenden dazu die entsprechenden Regeln in W. Zur optischen Orientierung sind zusammengesetzte Funktionen durch eckige Klammern markiert.

+ ist assoziativ:
$[(f + g) + h] (v) = (f (v) + g (v)) + h (v) = f (v) + (g (v) + h (v))) = [f + (g + h)] (v) .$
+ ist kommutativ:
$[f + g] (v) = f (v) + g (v) = g (v) + f (v) = [g + f] (v) .$
$0 \in Hom (V, W)$ ist neutrales Element:
$[0 + f] (v) = 0 (v) + f (v) = 0 + f (v) = f (v) .$
$f \in Hom (V, W) \Rightarrow - f \in Hom (V, W)$ ist invers zu f:
$[f + (- f)] (v) = f (v) + (- f) (v) = f (v) - f (v) = 0 = 0 (v) .$
$α (β f) = (α β) f$ :
$[α (β f)] (v) = α [β f] (v) = α (β f (v)) = (α β) f (v) = [(α β) f] (v) .$
$1 f = f$ :
$[1 f] (v) = 1 f (v) = f (v) .$
$(α + β) f = α f + β f$ :
$[(α + β) f] (v) = (α + β) f (v) = α f (v) + β f (v) = [α f] (v) + [β f] (v) = [α f + β f] (v) .$
$α (f + g) = α f + α g$ :
$[α (f + g)] (v) = α [f + g] (v) = α (f (v) + g (v)) = α f (v) + α g (v) = [α f] (v) + [α g] (v) = [α f + α g] (v) .$

In der folgenden Definition zeichnen wir spezielle lineare Abbildungen aus. Sie eignen sich zu strukturellen Untersuchungen von Vektorräumen.

Definition: V und W seien zwei Vektorräume. Eine umkehrbare, lineare Abbildung

f : V \to W

nennen wir einen Isomorphismus.

Gibt es eine solche Abbildung zwischen V und W, so sagen wir, V und W seien isomorph, in Zeichen: $V ≅ W$ .

Beachte:

Ein Isomorphismus ist also ein bijektiver Homomorphismus.
Für eine lineare Abbildung $f : V \to W$ hat man:

f ist Isomorphismus $\Leftrightarrow Im f = W \land K e r f = {0}$ .
Ein wichtige Gruppe von Isomophismen ist uns bereits bekannt :
- Nach einer Bemerkung in 9.5. ist für jeden endlichen Vektorraum V mit einer Basis $v_{1}, \dots, v_{n}$ die zugehörige Koordinatentransformation
  
  $T_{v_{1}, \dots, v_{n}} : V \to ℝ^{n}$
  
  ein Isomorphismus. Hiermit ist also die damalige Aussage "jeder endliche Vektorraum ist die Kopie eines geeigneten $ℝ^{n}$ " mathematisch präzisiert!
- Ebenso trifft dies auf einen nicht-endlichen Vektorraum V mit einer Basis B zu: Auch hier ist die zugehörige Koordinatentransformation
  
  $T_{B} : V \to 𝔽_{finsupp} (B)$
  
  ein Isomorphismus.

Isomorphe Vektorräume stimmen in ihren Kenndaten überein, Isomorphismen erhalten alle relevanten Eigenschaften. In den folgenden drei Aussagen ist dies beispielhaft vorgestellt.

Bemerkung:

f : V \to W

sei Isomorphismus. Dann gilt

$v_{1}, \dots, v_{n}$ Basis von V $\Rightarrow f (v_{1}), \dots, f (v_{n})$ Basis von W.
V endlich $\Rightarrow$ W endlich.
dim V = dim W.

Beweis:

Zu 1.: Wir nutzen einige Ergebnisse aus dem oberen Teil dieses Abschnitts.

Da f injektiver Homomorphismus ist, hat man: $K e r f = {0}$ , so dass man argumentieren kann:

v_{1}, \dots, v_{n}

linear unabhängig

\Rightarrow f (v_{1}), \dots, f (v_{n})

linear unabhängig.

Ferner ist $v_{1}, \dots, v_{n}$ maximal, d.h. $< v_{1}, \dots, v_{n} > = V$ . Folgt mit der Surjektivität von f :

< f (v_{1}), \dots, f (v_{n}) > = f (< v_{1}, \dots, v_{n} >) = f (V) = W

Also ist auch

f (v_{1}), \dots, f (v_{n})

maximal.

2. folgt direkt aus 1., ebenso 3. für endliche Vektorräume. Für nicht-endliche Vektorräume ergibt sich 3. aus der leicht einzusehenden Verallgemeinerung von 1.:

B Basis von V

\Rightarrow f (B)

Basis von W.

Die Isomorphie zwischen Vektorräumen ist eine Äquivalenzrelation, d.h. es gelten die folgenden drei Beziehungen:

Bemerkung: V, W und U seien drei Vektorräume. Dann gilt:

$V ≅ V$
$V ≅ W \Rightarrow W ≅ V$
$V ≅ W \land W ≅ U \Rightarrow V ≅ U$

Beweis:

Zu 1.: $i d_{V}$ ist linear und bijektiv, also ein Isomorphismus.

Zu 2.: Ist $V ≅ W$ , so gibt es einen Isomorphismus $f : V \to W$ . Da f bijektiv ist, existiert die Umkehrabbildung $f^{- 1}$ ; sie ist ebenfalls bijektiv. Wir zeigen jetzt: $f^{- 1}$ ist linear. Da sich f und $f^{- 1}$ in ihrer Wirkung gegenseitig aufheben, hat man auf Grund der Linearität von f die folgende Gleichung:

\begin{array}{l} f^{- 1} (α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2}) & = f^{- 1} (α_{1} f (f^{- 1} (v_{1})) + α_{2} f (f^{- 1} (v_{2}))) \\ = f^{- 1} (f (α_{1} f^{- 1} (v_{1}) + α_{2} f^{- 1} (v_{2}))) \\ = α_{1} f^{- 1} (v_{1}) + α_{2} f^{- 1} (v_{2}) . \end{array}

Insgesamt ist somit

f^{- 1} : W \to V

ebenfalls ein Isomorphismus; das bedeutet:

W ≅ V

Zu 3.: Nach Voraussetzung gibt es Isomorphismen $g : V \to W$ und $f : W \to U$ . Nun ist die Funktion

f \circ g : V \to U

wieder bijektiv und linear, also ein Isomorphismus, d.h. aber:

V ≅ U

Zwar ist nicht jeder Homomorphismus bijektiv, aber jedem Homomorphismus ist in natürlicher Weise ein Isomophismus zugeordnet. Dieser Sachverhalt stärkt die Bedeutung der Isomorphismen und beleuchtet gleichzeitig die Rolle der Quotientenräume.

Satz (Homomorphiesatz):

f : V \to W

sei linear. Setzt man für

a + K e r f \in V_{/_{K e r f}}

\bar{f} (a + K e r f) = f (a)

,(+)

so ist durch diese Zuordung ein Isomorphismus

\bar{f} : V_{/_{K e r f}} \to Im f

gegeben. Also ist $V_{/_{K e r f}} ≅ Im f$ .

Beweis:

Zunächst ist sicherzustellen, dass die Festsetzung in (+) wohldefiniert, d.h. vertreterunabhängig ist: Hat man aber etwa

a + K e r f = b + K e r f

so folgt:

a - b \in K e r f \Rightarrow 0 = f (a - b) = f (a) - f (b) \Rightarrow f (a) = f (b)

Wir zeigen nun:

$\bar{f}$ ist linear:
$\begin{array}{l} \bar{f} (α (a + K e r f) + β (b + K e r f)) & = \bar{f} (α a + β b + K e r f) \\ = f (α a + β b) \\ = α f (a) + β f (b) \\ = α \bar{f} (a + K e r f) + β \bar{f} (b + K e r f) \end{array}$
$\bar{f}$ ist injektiv:
$\begin{array}{l} \bar{f} (a + K e r f) = 0 & \Rightarrow f (a) = 0 \\ \Rightarrow a \in K e r f \\ \Rightarrow a + K e r f = K e r f = 0 \end{array}$
$\bar{f}$ ist surjektiv: Da $Im f$ per Definition als Bildbereich festgelegt ist, hat man hier nichts zu zeigen.

9.9 9.11.