9.6. Nicht-endliche Vektorräume

Wir übertragen in diesem Abschnitt die bisher eingeführten Grundbegriffe auf nicht-endliche Verhältnisse und beginnen dabei mit den Erzeugnissen: Zwar lassen sich keine unendlich langen Linearkombinationen bilden, aber man kann die Einschränkung, die Erzeuger müssen aus einem endlichen Vorrat an Vektoren genommen werden, aufgeben.
 

Definition:  Es sei V ein Vektorraum, ${\displaystyle A\subset V}$ eine Teilmenge von V. Dann heißt die Menge ${\displaystyle <A>=\{{\alpha }_1{v}_1+\dots +{\alpha }_i{v}_i|v_1,\dots ,v_i\in A,{\alpha }_j\in ℝ,i\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}\subset V}$ das Erzeugnis von A. ${\displaystyle <A>}$ besteht also aus allen endlichen Linearkombinationen von Vektoren aus A.

Beachte:

• Der neue Erzeugnisbegriff ist eine Erweiterung des alten, denn man zeigt leicht:
   
  ${\displaystyle <\{v_1,\dots ,v_k\}>=<v_1,\dots ,v_k>}$ .

  Beweis:

  "${\displaystyle \supset }$":  Jedes ${\displaystyle x\in <v_1,\dots ,v_k>}$ ist eine endliche Linearkombination von Vektoren aus ${\displaystyle \{v_1,\dots ,v_k\}}$, also Element von ${\displaystyle <\{v_1,\dots ,v_k\}>}$.

  "${\displaystyle \subset }$":  Ist ${\displaystyle x\in <\{v_1,\dots ,v_k\}>}$, so ist x eine Linearkombination von einigen Vektoren aus ${\displaystyle \{v_1,\dots ,v_k\}}$. Fügt man nun die nicht benutzten Vektoren, versehen mit dem Skalar 0, als Summanden der Linearkombination hinzu, so hat man x als Element von ${\displaystyle <v_1,\dots ,v_k>}$ dargestellt.
   

• Die alte Festsetzung ${\displaystyle <\varnothing >=\{\mathbf{0}\}}$ ist hier automatisch gegeben, denn die Summe über ein leeres System ist per Definition gleich 0.
   
• Gelegentlich benutzen wir eine mehr mengentechnisch ausgerichtete Darstellung:
   
  ${\displaystyle <A>=\cup \{<E>|E\subset A\text{ endlich}\}}$,
  und damit das Kriterium
   
  ${\displaystyle x\in <A>\iff \text{es gibt eine endliche Teilmenge }E\subset A,\text{so dass }x\in <E>}$.
   
• Trivialerweise gilt: ${\displaystyle A\subset B\Rightarrow <A>\subset <B>}$.

 
Die neuen Erzeugnisse haben die gleichen Eigenschaften wie die alten; so gilt etwa:

 

Beispiel: In ${\displaystyle {ℝ}^n}$ gilt: ${\displaystyle <{ℝ}^n>={ℝ}^n}$,  denn: ${\displaystyle {ℝ}^n=<{\mathit{e}}_1,\dots ,{\mathit{e}}_n>\subset <{ℝ}^n>\subset {ℝ}^n}$.   In ${\displaystyle 𝔽(\mathbb{N})}$ gilt: ${\displaystyle <\{(\frac{1}{n^k})|k\in \mathbb{N}\}>=\{(\frac{p(n)}{n^k})|k\in \mathbb{N}\wedge p\in {\mathbb{P}}^k\}}$. Dies ergibt sich (mit ${\displaystyle k=\max \{k_1,\dots ,k_r\}}$) aus der Darstellung ${\displaystyle {\alpha }_1(\frac{1}{n^{k_1}})+\dots +{\alpha }_r(\frac{1}{n^{k_r}})=(\frac{{\alpha }_1{n}^{k-k_1}+\dots +{\alpha }_r{n}^{k-k_r}}{n^k})}$.

Wir übertragen nun die Eigenschaften von Sequenzen in V auf Teilmengen von V:
 

Definition:  Es sei V ein Vektorraum. Eine Teilmenge ${\displaystyle A\subset V}$ heißt linear unabhängig, falls jede endliche Sequenz ${\displaystyle v_1,\dots ,v_k}$ von paarweise verschiedenen Vektoren aus A linear unabhängig ist. linear abhängig, falls sie nicht linear unabhängig ist. maximal (in V), falls ${\displaystyle <A>=V}$ . (verallgemeinerte) Basis von V, falls sie maximal und linear unabhängig ist.

Beachte:

• Wie im Abschnitt zuvor dient der Ausdruck verallgemeinerte Basis nur zur Abgrenzung gegenüben den endlichen Basen. Wir verwenden ihn nur, wenn wir auf diesen Unterschied hinweisen wollen.
   
• Bei endlichen Basen spielte die Reihenfolge eine Rolle (das Umsortieren einer Basissequenz lieferte eine neue Basis!). Wir verzichten auf eine entsprechende Feindifferenzierung im unendlichen Fall, wenngleich dies mit Hilfe einer Ordnung auf V (Achtung: Auswahlaxiom wird benötigt!) erreicht werden könnte.

Im endlichen Fall liegen die gerade eingeführten Eigenschaften nun in zwei Versionen vor: einmal für Sequenzen (alt) und einmal für Teilmengen (neu), so dass Verwechslungen vorkommen könnten. Die nachfolgende Bemerkung zeigt aber, dass dies unerheblich ist.
 

Bemerkung:  Es sei V ein Vektorraum, ${\displaystyle v_1,\dots ,v_k}$ paarweise verschiedene Vektoren aus V. Dann gilt: ${\displaystyle v_1,\dots ,v_k}$ linear unabhängig${\displaystyle \iff \{v_1,\dots ,v_k\}}$ linear unabhängig. ${\displaystyle v_1,\dots ,v_k}$ linear abhängig${\displaystyle \iff \{v_1,\dots ,v_k\}}$ linear abhängig. ${\displaystyle v_1,\dots ,v_k}$ maximal${\displaystyle \iff \{v_1,\dots ,v_k\}}$ maximal. ${\displaystyle v_1,\dots ,v_k}$ Basis${\displaystyle \iff \{v_1,\dots ,v_k\}}$ Basis. Beweis: Zu 1.: "${\displaystyle \Leftarrow }$":  Wenn jede endliche, wiederholungsfreie Sequenz aus ${\displaystyle \{v_1,\dots ,v_k\}}$ linear unabhängig ist, so gilt dies insbesondere für ${\displaystyle v_1,\dots ,v_k}$ selbst. "${\displaystyle \Rightarrow }$":  Ist nun ${\displaystyle v_1,\dots ,v_k}$ linear unabhängig, so ist auch jede Teilsequenz von ${\displaystyle v_1,\dots ,v_k}$, d.h. jede endliche, wiederholungsfreie Sequenz aus ${\displaystyle \{v_1,\dots ,v_k\}}$, linear unabhängig. 2. ist mit 1. bereits gezeigt. Zu 3.:  Es reicht, die Gleichheit ${\displaystyle <v_1,\dots ,v_k>=<\{v_1,\dots ,v_k\}>}$ zu bestätigen. Man sieht sie folgendermaßen ein: Sowohl ${\displaystyle <v_1,\dots ,v_k>}$; als auch ${\displaystyle <\{v_1,\dots ,v_k\}>}$ stellen jeweils den kleinsten Untervektorraum dar, der ${\displaystyle v_1,\dots ,v_k}$ enthält, sie müssen daher identisch sein. 4. folgt direkt aus 1. und 3.

Mit Hilfe dieser Bemerkung läßt sich für die lineare Abhängigkeit / lineare Unabhängigkeit eine neue Formulierung finden, die manchmal bequemer einzusetzen ist:
 

Bemerkung:  Es sei V ein Vektorraum, ${\displaystyle A\subset V}$. Dann gilt: A linear unabhängig${\displaystyle \iff }$jede endliche Teilmenge ${\displaystyle E\subset A}$ ist linear unabhängig. A linear abhängig${\displaystyle \iff }$es gibt eine linear abhängige, endliche Teilmenge ${\displaystyle E\subset A}$ von A. Beweis: Es reicht, 1. zu zeigen. Nach Definition ist A genau dann linear unabhängig, wenn jede endliche, wiederholungsfreie Sequenz in A linear unabhängig ist. Nach der Bemerkung zuvor ist das aber gleichbedeutend damit, dass jede endliche Teilmenge von A linear unabhängig ist.

 

Beispiel:  Die Menge aller Monome ${\displaystyle M=\{{\mathrm{X}}^i|i\in \mathbb{N}\}\subset \mathbb{P}}$ ist eine Basis von ${\displaystyle \mathbb{P}}$. Beweis: 1. M ist linear unabhängig, denn ist ${\displaystyle E\subset M}$ eine endliche Teilmenge von M, so gibt es ein n, derart dass ${\displaystyle E\subset \{\mathrm{1,}\mathrm{X},\dots ,{\mathrm{X}}^n\}}$. Nun ist die Sequenz ${\displaystyle \mathrm{1,}\mathrm{X},\dots ,{\mathrm{X}}^n}$ nach einem Ergebnis aus Teil 3 linear unabhängig, also auch jede ihrer Teilsequenzen, und damit schließlich die Menge E. 2. M ist trivialerweise maximal, denn jedes Polynom ist per Definition eine endliche Linearkombination der in ihm vorkommenden Monome. Beachte: M ist keine Basis im alten Sinn, denn ${\displaystyle \mathbb{P}}$ ist ein nicht-endlicher Vektorraum.

Das letzte Beispiel wirft die Frage nach der generellen Existenz von Basen auf. Endliche Vektorräume besitzen per Definition eine Basis, so dass dieses Problem nur bei den nicht-endlichen Räumen auftritt. Bei der Beantwortung solcher Fragen spielt in der Regel die eingesetzte Mengenlehre eine entscheidende Rolle! Für den Rest dieses Abschnitts setzen wir daher voraus, dass die zugrunde liegende Mengenlehre das Auswahlaxiom erfüllt.

Der folgende Satz sichert nun die Existenz von Basen für jeden Vektorraum:
 

Satz:  V sei ein beliebiger Vektorraum. Dann läßt sich jede linear unabhängige Teilmenge ${\displaystyle A\subset V}$ zu einer verallgemeinerten Basis ergänzen. Beweis: Wir haben die Aufgabe, unter den linear unabhängigen Teilmengen von V, also im System   ${\displaystyle \mathit{B}=\{L\subset V|L\text{ ist linear unabhängig}\}}$, eine maximale zu finden, die A umfasst. Wir setzen dazu eine äquivalente Fassung des Auswahlaxioms, das Zornsche Lemma ein:   ${\displaystyle (M,\le )}$ sei eine nicht-leere, geordnete Menge. Besitzt jede linear geordnete Teilmenge von M eine obere Schranke, so gibt es zu jedem ${\displaystyle x\in M}$ ein größtmögliches Element, d.h. ein ${\displaystyle m\in M}$, so dass ${\displaystyle x\le m}$ für alle ${\displaystyle y\in M}$ gilt: ${\displaystyle m\le y\Rightarrow m=y}$ Wir können das Zornsche Lemma nun auf die nicht-leere, geordnete Menge ${\displaystyle (\mathit{B},\subset )}$ anwenden, denn ist ${\displaystyle \mathit{B}\mathit{\text{'}}\subset \mathit{B}}$ eine linear geordnete Teilmenge von B, so setzen wir   ${\displaystyle K=\cup \mathit{B}\mathit{\text{'}}}$ Behauptung: K ist linear unabhängig. Beweis: Ist ${\displaystyle v_1,\dots ,v_k}$ eine Sequenz in K, ${\displaystyle v_i}$ paarweise verschieden, so gibt es Mengen ${\displaystyle L_1,\dots ,L_k\in \mathit{B}\mathit{\text{'}}}$, mit ${\displaystyle v_i\in L_i}$. Da ${\displaystyle \mathit{B}\mathit{\text{'}}}$ linear geordnet ist, sind die Mengen ${\displaystyle L_1,\dots ,L_k}$ untereinander vergleichbar; o.E. darf man etwa annehmen:   ${\displaystyle L_1\subset \dots \subset L_k}$. Dann gilt aber:${\displaystyle v_1,\dots ,v_k\in L_k}$. Als Element von ${\displaystyle \mathit{B}}$ ist ${\displaystyle L_k}$ linear unabhängig, also ist ${\displaystyle v_1,\dots ,v_k}$ eine linear unabhängige Sequenz in ${\displaystyle L_k}$. Nach dem Zornschen Lemma gibt es nun zu jedem ${\displaystyle A\in \mathit{B}}$ ein ${\displaystyle M\in \mathit{B}}$, so dass ${\displaystyle A\subset M}$ für alle ${\displaystyle L\in \mathit{B}}$ gilt: ${\displaystyle M\subset L\Rightarrow M=L}$(+) Wir zeigen nun: M ist maximal (und damit eine Basis, die A umfasst). Gäbe es ein ${\displaystyle x\in V}$, so dass ${\displaystyle x\notin <M>}$, so wäre ${\displaystyle L=M\cup \left\{x\right\}}$ linear unabhängig, also ein Element von ${\displaystyle \mathit{B}}$ und eine echte Obermenge von M, im Widerspruch zu (+). Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit von L geben wir uns eine Sequenz ${\displaystyle v_1,\dots ,v_k,v_i}$ paarweise verschieden, in L vor. Kommt x unter den ${\displaystyle v_i}$ nicht vor, so ist ${\displaystyle v_1,\dots ,v_k}$ eine Sequenz in M, und daher linear unabhängig (${\displaystyle M\in \mathit{B}}$!). Sei also etwa ${\displaystyle x=v_k}$; dann ist ${\displaystyle v_1,\dots ,v_{k-1}}$ eine Sequenz in M, also linear unabhängig, und ${\displaystyle x\in <v_1,\dots ,v_{k-1}>\subset <M>}$. Nach einem Ergebnis aus Teil 3 ist daher ${\displaystyle v_1,\dots ,v_{k-1},x=v_1,\dots ,v_k}$ linear unabhängig.

 

Folgerung:  Jeder Vektorraum V besitzt eine verallgemeinerte Basis. Beweis: Nach dem gerade Bewiesenen läßt sich die linear unabhängige Teilmenge ${\displaystyle \varnothing \subset V}$ zu einer Basis ergänzen.

Mit der Bereitstellung von (verallgemeinerten) Basen auch im unendlichen Fall sind weitere Fragen verknüpft:

• Lassen sich Koordinatenvektoren einführen?
• Kann man einen Dimensionsbegriff begründen?

Beide Fragen sind - in geeigneter Weise - positiv zu beantworten.

Wir beginnen mit einer technischen Vorbereitung: Ist ${\displaystyle f:A\to ℝ}$ eine reellwertige Funktion, so nennt man die Menge
 

den Träger (support) von  f. Mit dem Symbol ${\displaystyle {𝔽}_{\text{finsupp}}(A)}$ bezeichnen wir die Menge aller reellwertigen Funktionen auf A mit endlichem Träger.

Die Menge ${\displaystyle {𝔽}_{\text{finsupp}}(A)}$ ist algebraisch interessant:
 

1. ${\displaystyle \mathbf{0}\in {𝔽}_{\text{finsupp}}(A),\text{da supp}\mathbf{0}=\varnothing }$.
2. ${\displaystyle f,g\in {𝔽}_{\text{finsupp}}(A)\Rightarrow f+g\in {𝔽}_{\text{finsupp}}(A),\text{denn: supp}(f+g)\subset \text{supp}f\cup \text{supp}g}$, so dass mit ${\displaystyle \text{supp}f}$ und ${\displaystyle \text{supp}g}$ auch ${\displaystyle \text{supp}(f+g)}$ endlich ist.
3. ${\displaystyle f\in {𝔽}_{\text{finsupp}}(A)\Rightarrow \alpha f\in {𝔽}_{\text{finsupp}}(A),\text{denn: supp}(\alpha f)\subset \text{supp}f}$.

Nach dieser Vorbereitung können wir nun das Konzept der Koordinatenvektoren übertragen:

Beachte:

• Ist V ein endlicher Vektorraum und ${\displaystyle v_1,\dots ,v_n}$ eine Basis von V, so ist
   
  ${\displaystyle T_{v_1,\dots ,v_n}=T_{\{v_1,\dots ,v_n\}}}$,
  
  denn fasst man ein ${\displaystyle \mathit{\alpha }\in {ℝ}^n}$ über die Zuordnung ${\displaystyle v_i\mapsto {\alpha }_i}$ als eine Funktion ${\displaystyle \mathit{\alpha }:\{v_1,\dots ,v_n\}\to ℝ}$, also als ein Element von ${\displaystyle 𝔽(\{v_1,\dots .v_n\})={𝔽}_{\text{finsupp}}(\{v_1,\dots .v_n\})}$ auf, so hat man:
   
  ${\displaystyle \begin{array}{ll}\hfill & \alpha =T_{v_1,\dots ,v_n}(x)\hfill \\ \iff \hfill & x=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\cdot v_i\hfill \\ \iff \hfill & x=\sum _{v\in \{v_1,\dots ,v_n\}}\alpha (v)\cdot v\hfill \\ \iff \hfill & \alpha =T_{\{v_1,\dots ,v_n\}}(x)\hfill \end{array}}$
  
   
• Die Transformationsabbildungen nicht-endlicher Vektorräume verhalten sich ähnlich wie die der endlichen. Insbesondere ist ihre Linearität (→Beweis) gewährleistet:
   
  ${\displaystyle T_B(x+y)=T_B(x)+T_B(y)}$
    ${\displaystyle T_B(\tau x)=\tau T_B(x)}$
  
   
• Ebenso wie bei den endlichen Vektorräumen lassen sich die Transformationsabbildungen auch als Ordnungsprinzip einsetzen: Jeder nicht-endliche Vektorraum läßt sich als Kopie eines geeigneten ${\displaystyle {𝔽}_{\text{finsupp}}(B)}$ auffassen.
   

Um den Dimensionsbegriff einzuführen, muß zunächst sicher gestellt sein, dass zwei verschiedene Basen stets gleich viele Elemente haben.

 

Definition:  Es sei V ein beliebiger Vektorraum und ${\displaystyle B\subset V}$ eine Basis. Dann heißt die Kardinalzahl   ${\displaystyle \dim V=|B|}$ die Dimension von V.

Beachte:

• Der neue Dimensionsbegriff setzt den alten fort, denn für eine endliche Basis ${\displaystyle v_1,\dots ,v_n}$ hat man: ${\displaystyle |\{v_1,\dots ,v_n\}|=n}$.
   
• ${\displaystyle V\text{endlich}\iff \dim V\in \mathbb{N}}$.
   
• Es gilt stets: ${\displaystyle \dim V\le |V|}$.
   
• Es gelingt nur selten, die Dimension eines nicht-endlichen Vektorraums direkt zu bestimmen, denn wenn auch die Existenz von Basen gesichert ist, so ist doch in den meisten Fällen die Aussicht, eine Basis tatsächlich zu finden äußerst gering.
  Selbst bei einem so überschaubaren Vektorraum wie etwa ${\displaystyle 𝔽(\mathbb{N})}$ gelingt dies nicht.

 

Beispiel: ${\displaystyle \dim \mathbb{P}={\aleph }_0}$. Die Menge aller Monome ${\displaystyle \{{\mathrm{X}}^i|i\in \mathbb{N}\}}$ ist eine Basis von ${\displaystyle \mathbb{P}}$ und ihre Kardinalzahl ist:  ${\displaystyle |\{{\mathrm{X}}^i|i\in \mathbb{N}\}|=|\mathbb{N}|={\aleph }_0}$.   ${\displaystyle \dim {𝔽}_{\text{finsupp}}(\mathbb{N})={\aleph }_0}$. Setzt man für ${\displaystyle i\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$: ${\displaystyle ({\mathit{e}}_i)=(\mathrm{0,}\dots \mathrm{,1,0,}\dots ),\text{also }{({\mathit{e}}_i)}_j={\delta }_{i,j}}$, so ist das System ${\displaystyle \{({\mathit{e}}_i)|i\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}}$ eine Basis von ${\displaystyle {𝔽}_{\text{finsupp}}(\mathbb{N})}$ der Mächtigkeit ${\displaystyle {\aleph }_0}$.

 

Bemerkung:  Es sei V ein beliebiger Vektorraum und ${\displaystyle A\subset V}$ eine linear unabhängige Teilmenge von V. Dann gilt: ${\displaystyle |A|\le \dim V}$. ${\displaystyle |A|=\dim V\Rightarrow \dim V=|V|}$. ${\displaystyle \dim V=\sup \{|A||A\subset V\text{ linear unabhängig}\}}$. Beweis: Zu 1.: Wir ergänzen A zu einer Basis B; aus ${\displaystyle A\subset B}$ ergibt sich: ${\displaystyle |A|\le |B|=\dim V}$. Zu 2.: Mit 1. erhält man: ${\displaystyle \dim V\le |V|=|A|\le \dim V}$. Das ist die Behauptung. Zu 3.: Aus 1. folgt zunächst: ${\displaystyle \sup \{|A||A\subset V\text{ linear unabhängig}\}\le \dim V}$. Sei nun B eine Basis von V; man hat also insbesondere: ${\displaystyle B\in \{|A||A\subset V\text{ linear unabhängig}\}}$. Daher gilt auch:   ${\displaystyle \dim V=|B|\le \sup \{|A||A\subset V\text{ linear unabhängig}\}}$.

Natürlich gilt stets: ${\displaystyle \dim V\le |V|}$. Für viele nicht-endliche Vektorräume ist dies aber keine echte Ungleichung, wie die folgende Bemerkung zeigt.

Ihrem Beweis stellen wir zunächst eine technische Vorbereitung voran: Ist M irgendeine Menge, so bezeichnen wir mit dem Symbol ${\displaystyle P_{\text{fin}}(M)}$ die Menge aller endlichen Teilmengen von M. Es ist also:
 

Behauptung: Ist M eine unendliche Menge, so gilt: ${\displaystyle |P_{\text{fin}}(M)|=|M|}$.

Beweis: Da M unendlich ist, gilt für jedes ${\displaystyle n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$:  ${\displaystyle |\{X\subset M|X\text{ besitzt}n\text{Elemente}\}|\le |M^n|=|M|}$.
Für ${\displaystyle n=0}$ hat man: ${\displaystyle |\{X\subset M|X\text{ besitzt}n\text{Elemente}\}|\le |\{\varnothing \}|=1}$.

Also ist ${\displaystyle P_{\text{fin}}(M)}$´eine abzählbare Vereinigung von Mengen einer Mächtigkeit ${\displaystyle \le |M|}$. Damit ist
 

Andererseits liefert die injektive Zuodrnung ${\displaystyle x\mapsto \left\{x\right\}}$ die umgekehrte Abschätzung:
 

${\displaystyle |M|\le |P_{\text{fin}}(M)|}$.

Bemerkung:  Es sei V ein nicht-endlicher (reeller) Vektorraum. Dann gilt:   ${\displaystyle |V|\le \max \{2^{\omega },\dim V\}}$. Ist ${\displaystyle \dim V\ge 2^{\omega }}$, so ist darüber hinaus: ${\displaystyle \dim V=|V|}$. Beweis:  Sei ${\displaystyle B\subset V}$ eine nicht-endliche Basis. Da B maximal ist, hat man zunächst:   ${\displaystyle V=<B>=\cup \{<E>|E\subset B\text{endlich}\}=\cup \{<E>|E\in P_{\text{fin}}(B)\}}$.   Nun ist  für eine endliche, nicht-leere Menge ${\displaystyle E\subset B}$ das Erzeugnis ${\displaystyle <E>}$ gleichmächtig zu einem ${\displaystyle {ℝ}^n}$, d.h.: ${\displaystyle <E>=2^{\omega }}$. Also ist V die Vereinigung von ${\displaystyle |P_{\text{fin}}(B)|=|B|}$ vielen Mengen einer Mächtigkeit ${\displaystyle \le 2^{\omega }}$. Also hat man:   ${\displaystyle |V|\le \max \{2^{\omega },|B|\}=\max \{2^{\omega },\dim V\}}$. Falls also ${\displaystyle \dim V\ge 2^{\omega }}$, so ergibt sich: ${\displaystyle |V|\le \dim V}$, und damit: ${\displaystyle \dim V=|V|}$.

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9.5

9.7.