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4.4. Das Rechnen mit Funktionen

Wir betrachten in diesem Abschnitt ausschließlich reellwertige Funktionen. Mit ihren Funktionswerten kann man rechnen, denn es sind reellen Zahlen! Damit ist die Grundidee gegeben, die vier Grundrechenarten von den Zahlen auf die Funktionen zu übertragen, d.h. je zwei Funktionen  f und g eine Summe, eine Differenz, ein Produkt und einen Quotienten zuzuordnen.

Trägt man dafür Sorge, daß bei einem gegebenen x die Werte  f(x) und g(x) simultan vorliegen, so ergibt sich die folgende Definition nahezu von selbst.

Definition:  f : A ®R  und  g : B ®R   seinen zwei reellwertige Funktionen, dann heißt die Funktion  f + g : A Ç B ®R  gegeben durch  f + g(x) := f (x) + g(x)  die Summe von  f und g.  f - g : A Ç B ®R  gegeben durch  f - g(x) := f (x) - g(x)  die Differenz von  f und g.  f · g : A Ç B ®R  gegeben durch  f · g(x) := f (x) · g(x)  das Produkt von  f und g. $\frac{f}{g}$ : {x ΠA Ç B | g(x) ¹ 0} ®R  gegeben durch $\frac{f}{g}(x):=\frac{f(x)}{g(x)}$ der Quotient von  f und g.

Beachte:

1. Die Namen der Ergebnisfunktionen sind in Analogie zu den entsprechenden Namen bei Zahlenrechnungen gebildet. So wie dort ist z.B. f + g als der Name für eine Funktion zu betrachten.

2. Alle Ergebnisfunktionen haben wiederR  als Bildbreich.

3. Der Definitionsbereich ist maximale Bereich, in dem sowohl  f (x) wie auch g(x) gebildet werden können. In aller Regel ist der neue Definitionsbereich kleiner als die alten Definitionsbereiche. Ist allerdings A = B, sind also  f und g auf derselben Menge definiert, so ist - einmal abgesehen vom Quotienten - die Ergebnisfunktion wieder auf A erklärt.

4. Der Definitionsbereich eines Quotienten ist so konstruiert, daß bei der Ausführung der Funktionsvorschrift Divisionen durch Null nicht vorkommen können.

5. Ist A Ç B = Æ, so ist die Ergebnisfunktion die leere Funktion von Æ nachR .
   

Beispiel: X2 + X : R ÇR  = R ® R   und:   X2 + X(x) = X2(x) + X(x) = x2 + x. Der zusammengesetzte Name der Ergebnisfunktion spiegelt offenbar automatisch die Funktionsvorschrift wider. X2 - 5X + 6 : R ÇR ÇR ÇR  = R ® R und:  X2 - 5X + 6(x) = X2(x) - 5(x)X(x) +  6(x) = x2 - 5x + 6. $\frac{1}{X}ċX^3$ : R ¹0 ÇR  = R ¹0  ® R    und:   $\frac{1}{X}ċX^3(x)=\frac{1}{X}(x)ċX^3(x)=\frac{1}{x}{x}^3=x^2$ . Hier ist Vorsicht geboten: Auch wenn es die ausgerechnete Funktionsvorschrift nahelegt, wegen der unterschiedlichen Definitionsbereiche ist $\frac{1}{X}ċX^3\&neq;X^2$ . $\frac{1}{X}ċ\sqrt{X}=\frac{1}{\sqrt{X}}$ , denn:   $\frac{1}{X}ċ\sqrt{X}$ : R ¹0 ÇR ³0 = R >0  ® R   und: $\frac{1}{X}ċ\sqrt{X}(x)=\frac{1}{X}(x)ċ\sqrt{X}(x)=\frac{1}{x}\sqrt{x}=\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ . $\frac{X}{X^2-5X+6}$ : {x ÎR ÇR | x2 - 5x + 6 ¹ 0}= {x ÎR | x ¹ 2 Ù x ¹ 3} ® R , also: $\frac{X}{X^2-5X+6}$ : R \ {2,3} ® R    und:   $\frac{X}{X^2-5X+6}(x)=\frac{x}{x^2-5x+6}$ . $\frac{sin}{1-H}$ : {x ÎR ÇR ÇR | 1 - H(x) ¹ 0} = {x ÎR | H(x) ¹ 1}= R £0 ® R und:   $\frac{sin}{1-H}(x)=\frac{sinx}{1-H(x)}=\frac{sinx}{1-0}=sinx$ . $tan=\frac{sin}{cos}$  und   $cot=\frac{cos}{sin}$ .

In Beispielfällen kann man das Entstehen der Ergebnisfunktion auch optisch darstellen. Gute Möglichkeiten bestehen dabei aber nur für die Addition und Subtraktion. In der rechts stehenden Skizze ist Additon (X2 + 1) + X graphisch durchgeführt worden. Da an jeder Stelle der neue Funktionswert die Summe der beiden alten ist, muß also jeder y-Wert von X2 + 1 um den entpsrechenden y-Wert von X angehoben bzw. abgesenkt werden.

Da das Rechnen mit Funktionen konsequent auf das Rechnen mit Zahlen zurückgeführt ist, kann man erwarten, daß das neue Rechnen die alten Gesetze erfüllt. Das ist auch nahezu uneingeschränkt der Fall; Abweichungen haben ihre Ursache fast immer in nicht passenden Definitionsbereichen.

Es ist üblich, auch die schreibtechnischen Vereinbarungen zur Einsparung von Klammern zu übernehmen: Multiplikation und Division binden stärker als Addition und Subtraktion.

Bemerkung: Addition und Multiplikation sind kommutativ, d.h. f + g = g + f f · g = g · f Addition und Multiplikation sind assoziativ, d.h. ( f + g) + h = f + (g + h) ( f · g) ·h = f · (g · h) Multikplikation und Division verhalten sich distributiv zur Addition und Subtraktion, d.h.  f · (g + h) = f · g + f · h  f · (g - h) = f · g - f · h $\frac{g+h}{f}=\frac{g}{f}+\frac{h}{f}$ $\frac{g-h}{f}=\frac{g}{f}-\frac{h}{f}$ Beweis: In allen Fällen haben wir die Gleichheit zweier Funktionen nachzuweisen, d.h. es ist jeweils die Übereinstimmung von Funktionsvorschrift, Definitionsbereich und Bildbereich zu überprüfen. Die Bildbereiche aller hier auftretenden Funktion sind automatisch gleich (nämlich gleich R ), so daß immer nur zwei Nachweise zu führen sind. Alle Beweise sind einander sehr ähnlich, so daß beispielhaft nur eine dieser Aussagen gezeigt werden soll, etwa die Distributivität der Multiplikation: Sei dazu etwa   f : A  ® R ,  g : B  ® R  und   h : C  ® R . Dann ist der Definitionsbereich von f · (g + h) die Menge A Ç (B Ç C), der von  f · g + f · h die Menge (A Ç B) Ç (A Ç C). Das ist, so weiß man aus der Mengenlehre, natürlich zweimal diesselbe Menge, nämlich A Ç B Ç C. Ist nun A Ç B Ç C = Æ, so ist nichts weiter zu zeigen. Ansonsten ergibt sich für x ΠA Ç B Ç C die Gleichheit der Funktionsvorschriften aus dem Distributivgesetz für Zahlen:  f · (g + h)(x)  =   f(x) · (g + h)(x)  =   f(x) · (g(x) + h(x))  =   f(x) · g(x) + f(x) · h(x)  =   f · g(x) + f · h(x)  =   f · g + f · h(x).

Bemerkung: Es sei  f : A ® R  irgendeine Funktion; bezeichnet man mit  0, 1 und -1 die jeweils entsprechenden konstanten Funktionen auf A, und mit -f die Funktion 0 - f, so gilt: 0 + f = f 0 · f = 0 1 · f = f (-1) · f = -f Schließlich lassen sich auch hier Subtraktion und Division auf die Addition bzw. Multiplikation zurückführen:  f - g = f + (-g) $\frac{f}{g}=fċ\frac{1}{g}$ Beweis: Auch hier soll exemplarisch nur ein Nachweis geführt werden, z.B. der zu 3.: Der Definitionsbereich von 1 · f  ist hier A Ç A = A, also der von  f. Weiter hat man für ein x ΠA: 1 · f(x) = 1(x) · f(x) =1 · f(x) = f(x).

Als eine Folgerung aus den bisherigen Ergebnissen kann man zumindest der Addition eine hohe algebraische Qualität zuweisen:

Bemerkung: Für jede Menge A sei F(A) die Menge aller Funktionen deren Definitionsbereich A umfasst. Es gilt: (F(A), + )   ist eine abelsche Gruppe. Beweis: Zunächst beachte man, daß zwei Funktionen  f, g Î F(A) jeweils einen Definitionsbereich besitzen, der A umfasst, also ist auch  f + g auf mindestens A erklärt, d.h. f + g Î F(A). Das neutrale Element, also die konstante Funktion 0 auf A gehört zu F(A), und mit  f ist auch das inverse Element - f Î F(A). Schließlich ist die Addition assoziativ und kommutativ.

Bei den Rechenregeln für Brüche ist Vorsicht geboten! Nicht alle lassen sich übertragen:

Bemerkung (Rechenregeln für Brüche): $$ \frac{f}{r}ċ\frac{g}{s}=\frac{fċg}{rċs}$$ $\frac{f}{r}+\frac{g}{s}=\frac{fċs+rċg}{rċs}$ $\frac{f}{r}-\frac{g}{s}=\frac{fċs-rċg}{rċs}$ Im allgemeinen ist jedoch   $\frac{\frac{f}{r}}{\frac{g}{s}}\&neq;\frac{fċs}{rċg}$ , so ist z.B. $\frac{1}{\frac{X^2+1}{X}}\&neq;\frac{X}{X^2+1}$ , denn die beiden Funktionen unterscheiden sich in ihren Definitionsbereichen. Auch die Kürzungsregel gilt oft nicht. Im allgemeinen ist   $\frac{fċg}{rċg}\&neq;\frac{f}{r}$ .  Z.B. ist $\frac{XċH}{H}\&neq;X$ . Beweis: Wir zeigen nur die erste Regel. Haben die Funktionen  f, g, r und s der Reihe nach die Mengen A, B, C und D als Definitionsbereich, so ergibt sich der Definitionsbereich von $\frac{f}{r}ċ\frac{g}{s}$ zu {x ΠA Ç C | r(x) ¹ 0}Ç{x ΠB Ç D | s(x) ¹ 0}  =  {x ΠA Ç C Ç B Ç D | r(x) ¹ 0  Ù  s(x) ¹ 0 }  =  {x ΠA Ç B Ç C Ç D | r(x) · s(x) ¹ 0 }. Beachte: ein Produkt ist genau dann ungleich 0, wenn beide Faktoren ungleich 0 sind! Dies ist aber genau der Definitionsbereich von $\frac{fċg}{rċs}$ , nämlich die Menge {x Π(A Ç B) Ç (C Ç D) | r · s(x) ¹ 0 }. Die Gleichheit der Funktionsvorschriften ergibt sich wieder aus der entsprechenden Rechenregel für Zahlenbrüche.

Da nun u.a. das Produkt zweier Funktionen erklärt ist, kann man auch in der üblichen Weise Potenzen einführen:

Definition: Ist  f : A ®R  irgendeine Funktion und n ÎN , so sei f n := f ·....·f f 0 := 1 f -n :=  $\frac{1}{f^n}$ Mit 1 sei hier die konstante Funktion 1 : A  ® R  auf A gemeint.

Die Definitionsbereiche und die Funktionsvorschriften der Potenzen kann man sofort angeben:

Bemerkung: Ist  f : A  ® R  irgendeine Funktion und n ÎZ , so gilt f n : A  ® R , falls n ³ 0 f n : {x ΠA | f(x) ¹ 0} ® R , falls n < 0 und für die Berechnung der Funktionswerte:  f n(x) = (f (x)) n. Insbesondere sind daher die Potenzfunktionen X n genau die Potenzen der Identität X! Beweis: Die Aussage über den Definitionsbereich ergibt sich unmittelbar aus der Definition. Die Regel für die Funktionsvorschrift zeigen wir per Fallunterscheidung: n > 0:  f n(x) = f·....·f(x) = f (x)·....·f (x) = ( f (x)) n. n = 0:  f 0(x) = 1 = ( f (x)) 0. n < 0, etwa n = -k, k > 0: $f^n(x)=f^{-k}(x)=\frac{1}{f^k(x)}=\frac{1}{{(f(x))}^k}={(f(x))}^{-k}={(f(x))}^n$ .

Die Potenzgesetze sind bis auf eine Ausnahme nicht in vollem Umfang übertragbar:

Bemerkung:  f n · g n = ( f  · g) n $\frac{f^n}{g^n}={(\frac{f}{g})}^n$ I.a. ist  f n · f m ¹ f n + m, so ist etwa X 5 · X -2 ¹X 3. I.a. ist (f n) m ¹ f n·m, z.B. (X -2) -3 ¹ X 6 Beweis der ersten Gleichung in 1.: Wir denken uns  f : A  ® R  und  g  : B ® R  gegeben. Falls n ³ 0, haben sowohl  f n · g n wie auch ( f · g) n denselben Definitionsbereich: A Ç B. Falls n < 0, hat  f n · g n die Menge {x ΠA | f(x) ¹ 0}Ç{x ΠB | g(x) ¹ 0}, und ( f  · g) n die Menge {x ΠA Ç B | f · g(x) ¹ 0 } als Definitionsbereich. Aber auch in diesem Fall sind dies dieselben Mengen. Die Gleichheit der Funktionswerte folgt aus dem Potenzgesetz für Zahlen.

Die binomischen Formeln dagegen stehen uns als Folgerung aus dem Distributivgesetz vollständig zur Verfügung:

Bemerkung: ( f + g) 2 = f 2 + 2fg + g 2 ( f - g) 2 = f 2 - 2fg + g 2 ( f + g)( f - g) = f 2 - g 2

Mit Hilfe der binomischen Formeln und dem damit verbundenen Prinzip der quadratischen Ergänzung, lassen sich nun die Funktionen zweiten Grades, also die Parabeln, übersichtlicher beschreiben:

Bemerkung (Scheitelpunktform): Jede Funktion  f = aX 2 + bX + c zweiten Grades mit a ¹ 0 läßt sich in der Form f = a(X - u) 2 + v darstellen. Diese Form heißt die Scheitelpunktform von  f. Dabei gilt für den Parabelscheitel (u,v): $(u,v)=(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a})$ . Beweis: $\begin{array}{ccc}f\hfill & =\hfill & a{X}^2+bX+c\hfill \\ \hfill & =\hfill & a(X^2+\frac{b}{a}X)+c\hfill \\ \hfill & =\hfill & a(X^2+\frac{b}{a}X+{(\frac{b}{2a})}^2-{(\frac{b}{2a})}^2)+c\hfill \\ \hfill & =\hfill & a({(X+\frac{b}{2a})}^2-{(\frac{b}{2a})}^2)+c\hfill \\ \hfill & =\hfill & a{(X+\frac{b}{2a})}^2-\frac{b^2}{4a}+c\text{.}\hfill \end{array}$ Weiter hat man: f(u) = v, d.h. v kommt als Funktionswert vor, und da alle anderen Funktionswerte aus v, etwa im Fall a > 0, durch Addition einer positiven Zahl entstehen, ist v auch der größte Funktionswert. Also ist (u,v) der Parabelscheitel.

Beispiel: X 2 - 6X + 5 = X 2 - 6X + 9 - 9 + 5 = (X - 3) 2 - 4  und (3,-4) ist der Scheitel. 8X 2 + 16X + 32 = 8(X 2 + 2X) + 32 = 8(X 2 + 2X + 1 - 1) + 32 = 8((X + 1) 2 - 1) + 32 = 8(X + 1)2 + 24, also liegt der Scheitel bei (-1,24). Die Umgestaltung zur Scheitelpunktform ist bei der Vorstellung der Quadratfunktion bereits mit berücksichtigt; man kann also die Umsetzungen dort noch einmal mitverfolgen.  ®

Zum Abschluß dieses Abschnitts beschäftigen wir uns noch einmal mit Treppenfunktionen. Dabei wird sich zeigen, daß die Heavisidefunktion (mit Hilfe der konstanten Funktionen) alle Treppenfunktionen erzeugen kann.

Dazu verschaffen wir uns zunächst Varianten der Heavisidefunktion, die Ihren Sprung an einer vorgegebenen Stelle haben:

Bezeichnung und Bemerkung: Für a ÎR  sei Ha := H(X - a) und aH := 1 - H(-X + a). Dann gilt: Ha(x) = 1, falls x > a und Ha(x) = 0, falls x £ a aH(x) = 1, falls x ³ a und aH(x) = 0, falls x < a Beweis: Da Ha und aH nur 0 und 1 als Werte annehmen, reicht es, jeweils den ersten Fall zu bestätigen. Zu 1.: Ha(x) = 1  Û  x - a > 0  Û  x > a Zu 2.: aH(x) = 1  Û  H(-x + a) = 0  Û  -x + a £ 0  Û   a £ x

Durch Subtraktion lassen sich nun aus den geraden eingeführten Funktionen alle Indikatorfunktionen zu Intervallen erzeugen:

Bemerkung: Für a, b ÎR  mit a < b hat man: c]a,b] = Ha - Hb c]a,b[ = Ha - bH c[a,b] = aH - Hb c[a,b[ = aH - bH Wir führen den Beweis exemplarisch für die dritte Aussage und unterscheiden dazu drei Fälle: x < a: Dann ist erst recht x < b und daher aH - Hb(x) = aH(x) - Hb(x) = 0 - 0 = 0 a £ x £ b: Hier ist aH - Hb(x) = aH(x) - Hb(x) = 1 - 0 = 1 b < x: Damit auch a < x, so daß aH - Hb(x) = aH(x) - Hb(x) = 1 - 1 = 0 Insgesamt also:   aH - Hb(x) = c[a,b](x)

Durch das Multiplizieren mit geeigneten Vorfaktoren und anschließendes Aufsummieren entstehen jetzt beliebige Treppenfunktionen, so ist etwa die in der Skizze dargestellte Funktion durch die Summe -3c]-2,-1] + c]-1,1] + 4c]1,5] gegeben.

Sogar Treppenfunktionen mit unendlich vielen Stufen, wie etwa die Gaußfunktion, sind darstellbar:

(Man beachte dabei, daß ein beliebiges x ÎR  in genau ein Intervall der Form [n,n+1[ fällt, so daß bei der Berechnung eines Funktionswertes niemals eine unendliche Summe gebildet werden muß!)