4.6. Komposition von Funktionen

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4.6. Komposition von Funktionen

Neben den vier Grundrechenarten gibt es noch eine fünfte Methode, zwei Funktionen zu einer weiteren zu verbinden. Sie ist ganz auf den Charakter der Funktionen abgestellt, nämlich dem Zuweisen von Elementen einer Menge zu denen einer anderen, und daher nicht auf irgendwelche speziellen Gegebenheiten, wie etwa die Reellwertigkeit, angewiesen. So läßt sich etwa das bloße Zuweisen beliebig nacheinander durchführen. Die folgende Skizze macht diesen Gedanken deutlich.

So wird hier dem Element x Î A mittels g das Element y Î B zugeordnet, das nun seinerseits durch die Funktion f auf das Element z Î D abgebildet wird. Blendet man den Zwischenschritt aus, so entsteht eine neue Zuordnung, die x direkt auf z abbildet.

Die Skizze zeigt auch bereits die typischerweise auftretenden Konstellationen:

Es gibt Elemente x Î A, deren g-Bild zwar existiert, das aber von f nicht weiter transportiert werden kann. Dies schränkt sofort den Definitionsbereich der neuen Funktion ein!
Der Definitionsbereich von f enthält Elemente, die gar keine g-Bilder sind.

Definition:
Sind g : A ® B und f : C ® D zwei Funktionen, so heißt die Funktion
$f \circ g$ : {x Î A | g(x) Î C} ® D gegeben durch $f \circ g (x) : = f (g (x))$
die Hintereinanderausführung (oder auch die Komposition) von f nach g.

beachte:

Der Bildbereich von $f \circ g$ ist per Definition die Menge D, also der Bildbereich der linken Funktion f.
Der Definitionsbereich von $f \circ g$ ist immer eine Teilmenge von A, also eine Teilmenge des Definitionsbereichs der rechten Funktion g.
Falls allerdings der Wertebereich von g vollständig im Definitionsbereich von f liegt, ist $f \circ g$ eine Funktion von (ganz) A nach D.
Haben C und der Wertebereich von g keine gemeinsamen Elemente, so ist $f \circ g$ die leere Funktion von Æ nach D.
Beim Ausrechnen der neuen Funktionswerte benötigt man nur diejenigen Elemente von C, die ein g-Urbild besitzen.

Beispiel:
Bei den folgenden Hintereinanderausführungen ermitteln wir jeweils den Definitions- und den Bildbereich, sowie die Funktionsvorschrift.
Der Bildbereich ist immer der Bildbereich der linken Funktion, so dass man hier wenig Mühe hat; auch die Funktionsvorschrift ist meist schnell notiert. Die eigentliche Arbeit steckt in Ermittlung des neuen Definitionsbereichs.
Oft läßt sich eine Hintereinanderausführung auch kompositionsfrei schreiben.

   $X^{2} \circ (2 X + 4)$ : {x ÎR | 2x + 4 ÎR} = R ® R
R  ist tatsächlich wieder der neue Definitionsbereich, denn die Bedingung 2x + 4 ÎR wird von jedem x erfüllt. Also kann jede Zahl in die neue Funktion eingesetzt werden. Der Funktionswert im Punkt 3 etwa berechnet sich zu:
$X^{2} \circ (2 X + 4) (3) = X^{2} (2 X + 4 (3)) = X^{2} (10) = 100$ .
Allgemein gilt für jedes x:
$X^{2} \circ (2 X + 4) (x) = X^{2} (2 X + 4 (x)) = X^{2} (2 x + 4) = {(2 x + 4)}^{2}$ ,
womit offensichtlich die Gleichheit $X^{2} \circ (2 X + 4) = {(2 X + 4)}^{2}$ erwiesen ist!

   $(2 X + 4) \circ X^{2}$ : {x ÎR | x² ÎR} = R ® R
Die Bedingung x² ÎR wird auch hier wieder von jedem x erfüllt. Für 3 erhält man jetzt allerdings:
$(2 X + 4) \circ X^{2} (3) = 2 X + 4 (X^{2} (3)) = 2 X + 4 (9) = 22$ .
In ähnlicher Weise ergibt sich die Funktionsvorschrift zu:
$(2 X + 4) \circ X^{2} (x) = 2 X + 4 (X^{2} (x)) = 2 X + 4 (x^{2}) = 2 x^{2} + 4$ ,
also hat man hier: $(2 X + 4) \circ X^{2} = 2 X^{2} + 4$ .

   $\sqrt{X} \circ (2 X + 4)$ : {x ÎR | 2x + 4 ÎR^³0} = {x ÎR | 2x + 4 ³ 0} = R ^³-2 ® R

In diesem Beispiel erfüllt nicht mehr jedes x die geforderte Bedingung; vielmehr ist jetzt der Definitionsbereich die Lösungsmenge einer Ungleichung: $2 x + 4 \geq 0 &quad; \Leftrightarrow &quad; x \geq - 2$ .
Als Rechenbeispiel ermitteln wir den Funktionswert in 6:
$\sqrt{X} \circ (2 X + 4) (6) = \sqrt{X} (2 X + 4 (6)) = \sqrt{X} (16) = 4$ .
Oder allgemein für ein x ³ -2:
$\sqrt{X} \circ (2 X + 4) (x) = \sqrt{X} (2 X + 4 (x)) = \sqrt{X} (2 x + 4) = \sqrt{2 x + 4}$ .

   $X^{2} \circ X^{2}$ : {x ÎR | x² ÎR} = R ® R
Weil überdies $X^{2} \circ X^{2} (x) = X^{2} (X^{2} (x)) = X^{2} (x^{2}) = x^{4}$ , hat man offenbar:
$X^{2} \circ X^{2} = X^{4}$

   $\frac{1}{X} \circ (2 X + 4)$ : {x ÎR | 2x + 4 ÎR^¹0} = {x ÎR | 2x + 4 ¹ 0} = R ^¹-2 ® R

Aus der Äquivalenz $2 x + 4 = 0 &quad; \Leftrightarrow &quad; x = - 2$ läßt sich der angegebene Definitionsbereich leicht ermitteln. Man darf also etwa das folgende Zahlenbeispiel rechnen:
$\frac{1}{X} \circ (2 X + 4) (- 2) = \frac{1}{X} (2 X + 4 (- 2)) = \frac{1}{X} (2) = \frac{1}{2}$ .
Aus der Funktionsvorschrift
$\frac{1}{X} \circ (2 X + 4) (x) = \frac{1}{X} (2 X + 4 (x)) = \frac{1}{X} (2 x + 4) = \frac{1}{2 x + 4}$ , x ¹ -2,
erhält man die Funktionengleichung:
$\frac{1}{X} \circ (2 X + 4) = \frac{1}{2 X + 4}$ .

   $\frac{1}{X} \circ (X^{2} + 2 X + 4)$ : {x ÎR | x² + 2x + 4 ÎR^¹0} = R ® R
Da die quadratische Gleichung x² + 2x + 4 = 0 keine Lösung besitzt, ist kein x von der genannten Bedingung betroffen. Also ist der neue Definitionsbereich wieder R .
Ähnlich wie im letzen Beispiel läßt sich die neue Funktion auch kompositionsfrei schreiben:
$\frac{1}{X} \circ (X^{2} + 2 X + 4) = \frac{1}{X^{2} + 2 X + 4}$ .

Für die weiteren Ausführungen ist es günstig, das Konzept der konstanten Funktionen und der Identität etwas zu verallgemeinern.

Für eine beliebige Menge A bzw. für eine reelle Zahl c nennen wir die Funktion

X_A : A ® A gegeben durch X_A(x) := x
die Identität auf A. In diesem Sinn ist offenbar X_Rdie "alte" Identität.
c_A : A ® R gegeben durch c_A(x) := c
die konstante Funktion c auf A. Auch hier kommt die alte konstante Funktion c als c_R wieder vor.

Die folgenden allgemeinen Beispiele werden oft benutzt:

Beispiel: f : A ® B sei eine beliebige Funktion und c ÎR ; dann gilt:
$\begin{matrix} &quad; a . & f \circ X_{A} = f = X_{B} \circ f \\ &quad; b . & c_{B} \circ f = c_{A} \\ &quad; c . & Falls c \in A, gilt darüber hinaus:&quad; f \circ c_{A} = {(f (c))}_{A} \end{matrix}$
Falls A = B = R fallen natürlich alle Indizes weg und der Text sieht etwas freundlicher aus!
Beweis:
Zu a.: $f \circ X_{A}$ : {x Î A | X_A(x) = x Î A}= A ® B und $f \circ X_{A}$ (x) = f(X_A(x)) = f(x).
Und: $X_{B} \circ f$ : {x Î A | f(x) Î B} = A ® B und $X_{B} \circ f$ (x) = X_B (f(x)) = f(x).
Zu b.: $c_{B} \circ f$ : {x Î A | f(x) Î B} = A ® R und $c_{B} \circ f$ (x) = c_B(f(x)) = c = c_A(x).
Zu c.: $f \circ c_{A}$ : {x Î A | c_A(x) = c Î A} = A ® B und $f \circ c_{A}$ (x) = f(c_A(x)) = f(c) = (f(c))_A(x).

Wir kümmern uns zunächst um die üblichen Rechenregeln.

Bemerkung:

$\circ$ ist nicht kommutativ.
$\circ$ ist assoziativ.

Beweis:
Zu 1.: Hier reicht es, ein Beispiel zu nennen. In den Punkten a und b des ersten Beispiels haben wir bereits gezeigt:

$X^{2} \circ (2 X + 4) &neq; (2 X + 4) \circ X^{2}$ .

Zu 2.: Wir geben uns drei Funktionen h : A ® B, g : C ® D und f : E ® F vor, und überprüfen zunächst die Gleichheit der Bereiche:
$(f \circ g) \circ h$ : {x Î A | h(x) Î {x Î C | g(x) Î E}} = {x Î A | h(x) Î C Ù g(h(x)) Î E} ® F,
$f \circ (g \circ h)$ : {x Î {x Î A | h(x) Î C}| g(h(x)) Î E} = {x Î A | h(x) Î C Ù g(h(x)) Î E}® F,
und nun für ein x aus dem gemeinsamen Definitionsbereich die Gleichheit der Funktionswerte:
$(f \circ g) \circ h (x) = f \circ g (h (x)) = f (g (h (x)))$ ,
$f \circ (g \circ h) (x) = f (g \circ h (x)) = f (g (h (x)))$ .

Bei reellwertigen Funktionen tritt die Hintereinanderausführung in Kontakt mit den vier Grundrechenarten. Interessant ist hier die Untersuchung auf distributives Verhalten. Da $\circ$ nicht kommutativ ist, muß man zwischen links- und rechtsdistributiv unterscheiden, und in der Tat stellen sich auch unterschiedliche Ergebnisse ein. Wir vereinbaren gleichzeitig, zur Einsparung von Klammern, dass $\circ$ stärker binden soll als +, -, · und :.

Bemerkung:

$\circ$ verhält sich rechtsdistributiv zu den vier Grundrechenarten,
aber nicht linksdistributiv

Beweis:
Zu 2.: Mit dem zweiten Beispiel erhält man etwa für die Addition:
$7 \circ (X + 1) = 7,&quad;aber:&quad; 7 \circ X + 7 \circ 1 = 7 + 7 = 14$ .
Zu1.: Wir zeigen beispielhaft das Distributivgesetz für die Multiplikation. Dazu geben wir uns drei reellwertige Funktionen h : A ® R, g : B ® R und f : C ® R vor, und untersuchen auch hier zunächst die Bereiche:
$(f ċ g) \circ h$ : {x Î A | h(x) Î C Ç B} ® R ,
$f \circ h ċ g \circ h$ : {x Î A | h(x) Î C } Ç {x Î A | h(x) Î B} = {x Î A | h(x) Î C Ç B} ® R ,
und anschließend die Funktionsvorschrift:
$(f ċ g) \circ h (x) = (f ċ g) (h (x)) = f (h (x)) ċ g (h (x)) = f \circ h (x) ċ g \circ h (x) = f \circ h ċ g \circ h (x)$ .

Wenn auch die Komposition gegenüber den Grundrechenarten nicht linksdistributiv ist, bei reellwertigen Funktionen spielen die Potenzfunktionen als linker Partner eine interessante Rolle:

Bemerkung:
Ist f : A ® R eine reellwertige Funktion, so gilt
$X^{n} \circ f = f^{n}$ .
Insbesondere ist: $\frac{1}{X} \circ f = \frac{1}{f}$ .
Beim Beweis überprüfen wir zunächst die Bereiche und unterscheiden dazu zwei Fälle (über fⁿ kann man sich hier noch einmal informieren):
n ³ 0: $X^{n} \circ f$ : {x Î A | f(x) ÎR } = A ® R.
n < 0: $X^{n} \circ f$ : {x Î A | f(x) ÎR ^¹0} = {x Î A | f(x) ¹ 0} ® R.
Für die Funktionsvorschrift gilt in jedem Fall: $X^{n} \circ f (x) = X^{n} (f (x)) = {(f (x))}^{n} = f^{n} (x)$ .

Als rechter Partner haben dagegen nur die Linearfaktoren X - a eine besondere Bedeutung:

Bemerkung:
Ist A Ì R und f : A ® R eine reellwertige Funktion, so gilt
Der Graph von $f \circ (X - a)$ entsteht durch Verschieben des Graphen von f um a Einheiten in der Waagerechten.
Kombiniert man dies mit dem Addieren konstanter Funktionen, erhält man die allgemeine Verschiebungsregel:
Verschiebt man f um a Einheiten in der Waagerechten und um b Einheiten in der Senkrechten, so entsteht die Funktion $f \circ (X - a) + b$ .
Beweis:
Wir berechnen zunächst den Definitionsbereich von $f \circ (X - a)$ :
{x ÎR | (X - a)(x) = x - a Î A} = {x + a | x Î A}
Also erhält man den neuen Definitionsbereich, indem zu jedem Element von A die Zahl a zugezählt wird; dies ist eine Verschiebung um a Einheiten nach rechts, falls a positiv, nach links, falls a negativ ist.
Die neue Funktion nimmt nun auf dem neuen Definitionsbereich die alten Werte an:
$f \circ (X - a) (x + a) = f (x + a - a) = f (x)$ .
Addiert man schließlich noch die konstante Funktion b, ändert sich der Definitionsbereich nicht mehr ({x + a | x Î A} ÇR = {x + a | x Î A}, da A Ì R ); es werden nur noch die Funktionswerte um b Einheiten angehoben, bzw. abgesenkt.

Die folgenden Beispiele können alle im zweiten (bzw. dritten) Abschnitt noch einmal optisch realisiert und durch eigene ergänzt werden.

Beispiel:

${(X - 3)}^{2} - 5 = X^{2} \circ (X - 3) - 5$ ist die um 3 in der Waagerechten und -5 in der Senkrechten verschobene Quadratfunktion.

$H (X + 8) - 4 = H \circ (X + 8) - 4$ ist die um -8 in der Waagerechten und -4 in der Senkrechten verschobene Heavisidefunktion.

$\frac{1}{X + 2} + 7 = \frac{1}{X} \circ (X + 2) + 7$ ist die um -2 in der Waagerechten und 7 in der Senkrechten verschobene Kehrwertfunktion.

$sin (X - 3 &pgr;) = sin \circ (X - 3 &pgr;) "> ist die um 3$ p in der Waagerechten verschobene Sinusfunktion.

Zum Ende dieses Teils vereinbaren wir noch eine schreibtechnische Erleichterung (die auch schon stillschweigend benutzt wurde). Gelegentlich, wenn es zu keinen Mißverständnissen führt, schreiben wir $f (g) &quad;statt&quad; f \circ g,&quad;also etwa&quad; H (X^{2} + 1) &quad;statt&quad; H \circ (X^{2} + 1)$ , oder z.B. sin(cos) statt $sin \circ cos$ .

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