und hier wird außer der 2 keinem Element etwas zugeordnet und der 2 überdies auch noch unendlich viele!

Ist jedoch die Ausgangsfunktion  f  "gut genug", so ist auch ihre Umkehrung wieder eine Funktion:

Definition und Bemerkung: Wir nennen eine Funktion  f : A ® B umkehrbar (oder bijektiv), falls jedes Element y Î B genau ein Urbild x Î A besitzt. In diesem Fall stellt die Menge  f -1 := {(y,x) | (x, y) Î f} Ì B ´ A eine Funktion von B nach A dar, die jedem y Î B sein einziges Urbild x Î A zuweist.  f -1 heißt dann eine Umkehrfunktion von  f. (Wir benutzen hier dasselbe Symbol wie bei einer Potenzfunktion mit Exponent -1. Aus dem Kontext geht aber immer hervor, welche Bedeutung gerade gemeint ist.)

Wir beginnen unsere Untersuchungen der umkehrbaren Funktionen mit einer Bemerkung zur Rolle der leeren Funktion in diesem Zusammenhang:

Ist A ¹ Æ, so liegt überhaupt keine Funktion vor; ist B ¹ Æ, so hat kein  y aus B ein Urbild. Man hat also:

In diesem Fall ist Æ^-1 = Æ und X_A = X_B = Æ. Alle folgenden Bemerkungen sind auch für die leere Funktion gültig; der Beweis ergibt sich dabei stets aus den gerade genannten Beziehungen. Die jeweils notierten Beweise berücksichtigen nur den nicht-leeren Fall.

Als nächstes befreien wir uns von der Formulierung "eine Umkehrfunktion":

Bemerkung: Ist  f : A ® B umkehrbar, so heben sich  f und  f -1 in ihrer Wirkung gegenseitig auf: $\begin{array}{c}{f}^{-1}\circ f=X_A\hfill \\ f\circ f^{-1}=X_B\text{.}\hfill \end{array}$ Diese Eigenschaft charakterisiert darüber hinaus die Umkehrbarkeit bereits vollständig. Ist nämlich g : B ® A eine Funktion, derart daß $\begin{array}{cc}g\circ f=X_A\hfill & (*)\hfill \\ f\circ g=X_B\hfill \end{array}$ ist, so ist  f umkehrbar und g =  f -1. Insbesondere ist damit f -1 die einzige Funktion, die (*) erfüllt; wir nennen sie daher die Umkehrfunktion zu  f . Beweis: Zunächst zeigen wir die beiden Eigenschaften von  f -1: $f^{-1}\circ f$ : {x Î A | f(x) Î B} = A  ® A und $f^{-1}\circ f(x)=f^{-1}(f(x))=x$ ,   denn x ist das einzige Urbild von  f(x). $f\circ f^{-1}$ : {x Î B | f -1(x) Î A} = B  ® B und $f\circ f^{-1}(x)=f(f^{-1}(x))=x$ ,   denn f -1(x) ist nach Definition ein Urbild von x. Sei nun  g : B  ® A mit genannten Eigenschaften gegeben. Wir zeigen die Umkehrbarkeit von  f und geben dazu ein y Î B vor. Da $f\circ g=X_B\text{, hat man:\&quad;}y=X_B(y)=f\circ g(y)=f(g(y))$ , d.h. y ist das f-Bild von g(y) Î A. Also hat y überhaupt ein Urbild. Hätte y nun zwei Urbilder, etwa x1 und x2, so wäre $f(x_1)=y=f(x_2)\text{\&quad;}\&implies;\text{\&quad;}{x}_1=g\circ f(x_1)=g(y)=g\circ f(x_2)=x_2$ . Daher hat y auch nur ein Urbild, d.h. f ist umkehrbar. Schließlich ist g =  f -1, denn: $g=g\circ X_B=g\circ (f\circ f^{-1})=(g\circ f)\circ f^{-1}=X_A\circ f^{-1}=f^{-1}$ .

In konkreten Fällen ist es nützlich, Verfahren zu kennen, mit denen nach der Umkehrfunktion gesucht werden kann. Kann man  f graphisch darstellen, so läßt sich auch die Teilmenge  f ^-1, also die Menge {(y,x) | (x, y) Î f}, überblicken, denn sie entsteht aus  f durch Vertauschen der Koordinaten, so daß ihr Bild durch Spiegeln an der 1. Winkelhalbierenden gewonnen werden kann.

Spiegelt man z.B. den Graphen der Funktion 2X + 3, so sieht das Spiegelbild durchaus wie ein Funktionsgraph aus; 2X + 3  ist also wahrscheinlich umkehrbar.

Eine Berechnung der Umkehrfunktion ersetzt dieses Verfahren natürlich nicht. Hierzu benutzt man meist die folgende Überlegung:

Bemerkung: Eine Funktion  f : A  ® B ist genau dann umkehrbar, wenn sich für jedes y Î B die Gleichung f(x) = y eindeutig nach x auflösen läßt. In diesem Fall stellt die Zuordnung $y\mapsto x$ die Umkehrfunktion dar. Zum Beweis ist wenig zu sagen: die eindeutige Lösbarbarkeit der Gleichung bedeutet nichts anderes, als daß  jedes y genau ein Urbild hat. Wir demonstrieren dieses Prinzip an unserem Eingangsbeispiel  2X + 3: Für ein beliebiges y ÎR  gilt nun: $2X+3(x)=y\text{\&quad;}\iff \text{\&quad;}2x+3=y\text{\&quad;}\iff \text{\&quad;}x=\frac{1}{2}(y-3)$ . Also ist 2X + 3 umkehrbar und die Zuordnung  $y\mapsto \frac{1}{2}(y-3)$ liefert $\frac{1}{2}(X-3)$ als Umkehrfunktion.

Mit Hilfe des gerade beschriebenen Verfahrens gelingt es, die konstanten und die linearen Funktionen vollständig zu überblicken.

Bemerkung: Keine konstante Funktion c ist umkehrbar. Jede lineare Funktion aX + b, mit a ¹ 0 ist umkehrbar. Die Umkehrfunktion ist wieder linear; ihre Steigungszahl ist der Kehrwert der alten: $\frac{1}{a}$ . Beweis: Zu 1.: c + 1 etwa hat kein Urbild. Zu 2.: Für jedes y Î R  ist   $aX+b(x)=y\text{\&quad;}\iff \text{\&quad;}ax+b=y\text{\&quad;}\iff \text{\&quad;}x=\frac{y-b}{a}$ . Daher ist  aX + b  umkehrbar und   $\frac{X-b}{a}=\frac{1}{a}X-\frac{b}{a}$ die Umkehrfunktion.

Bei der Umkehrbarkeit von Funktionen spielen Definitions- und Bildbereich eine entscheidendere Rolle als bisher. Dies zeigt sich sehr deutlich am Beispiel der Quadratfunktion:

Beispiel: Die Quadratfunktion X2 ist nicht umkehrbar. Die Funktion   f : R ® R ³0  gegeben durch  f(x) := x2 ist nicht umkehrbar. Die Funktion   f : R ³0 ® R ³0  gegeben durch  f(x) := x2 ist umkehrbar. Ihre Umkehrfunktion ist nicht die Wurzelfunktion $\sqrt{X}$ , sondern die Funktion  g : R ³0 ® R ³0  gegeben durch   $g(x):=\sqrt{x}$ . Beweis: Zu 1.: -1 hat kein Urbild. Zu 2.: 4 hat zwei Urbilder. Zu 3.: Sei x, y ÎR ³0. Dann gilt:   $f(x)=y\text{\&quad;}\iff \text{\&quad;}{x}^2=y\text{\&quad;}\iff \text{\&quad;}x=\sqrt{y}$ .

Bei den trigonometrischen Funktionen führen Überlegungen zur Umkehrbarkeit zu neuen Funktionen. Ohne Beweis notieren wir hier das folgende Ergebnis:

Definition und Bemerkung: sin und cos sind nicht umkehrbar, denn z.B. hat 0 in beiden Fällen unendlich viele Urbilder. Durch geeignete Einschränkung der Definitions- und Bildbereiche gelingt es, "Teile" dieser Funktionen umzukehren. Genauer gilt: Die Funktionen sin : [ $-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}$ ] ® [-1,1] cos : [ $0,\pi$ ] ® [-1,1] tan : [ $-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}$ ] ®R cot : [ $0,\pi$ ] ®R sind umkehrbar. Ihre Umkehrfunktionen heißen Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens und Arcuscotangens: arcsin : [-1,1] ® [ $-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}$ ] arccos : [-1,1] ® [ $0,\pi$ ] arctan : R  ® [ $-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}$ ] arccot : R  ® [ $0,\pi$ ]

Für theoretische Anwendungen nutzt man oft das Kriterium aus der ersten Bemerkung. Hier z.B. erhalten wir einen interessanten algebraischen Aspekt:

Bemerkung: XA ist umkehrbar und XA -1 = XA. Ist  f : A ® B umkehrbar, so auch  f -1, und zwar ist (f -1) -1 = f. Sind  g : A ® B  und  f : B ® C umkehrbar, so auch $f\circ g$ ; dabei ist: ${(f\circ g)}^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$ . Diese (und frühere) Aussagen kann man in folgendem algebraischen Sachverhalt bündeln: Bezeichnet man mit B(A) die Menge aller umkehrbaren (bijektiven) Funktionen von A nach A, so ist (B(A), $\circ$ ) eine nicht-abelsche Gruppe. Dabei ist XA das neutrale und  f -1 das zu  f inverse Element. Beweis: In allen drei Fällen reicht es nach der ersten Bemerkung aus, zu zeigen, daß die jeweils anstehende Funktion in den folgenden beiden Gleichungen die Rolle von g übernimmt: $\begin{array}{c}g\circ f=X_A\hfill \\ f\circ g=X_B\hfill \end{array}$ Zu 1.: Hier sind beide Gleichungen identisch und trivialerweise gültig:   $X_A\circ X_A=X_A$ . Zu 2.: Man hat für die Umkehrfunktion  f  -1 bereits: $f^{-1}\circ f=X_A\text{\&quad;und\&quad;}f\circ f^{-1}=X_B$ . Das sind aber (in vertauschter Reihenfolge) genau die Gleichungen, die  f zu erfüllen hat. Zu3.: Wir rechnen nach, dass $g^{-1}\circ f^{-1}$ die Eigenschaften der Umkehrfunktion besitzt: $\begin{array}{l}(g^{-1}\circ f^{-1})\circ (f\circ g)=(g^{-1}\circ (f^{-1}\circ f))\circ g=(g^{-1}\circ X_B)\circ g=g^{-1}\circ g=X_A\\ (f\circ g)\circ (g^{-1}\circ f^{-1})=(f\circ (g\circ g^{-1}))\circ f^{-1}=(f\circ X_B)\circ f^{-1}=f\circ f^{-1}=X_C\end{array}$