8.9. Allgemeine Exponential- und Logarithmusfunktionen

Die Rechengesetze für ln und

e^{X}

bieten eine Alternative zur Berechnung von Potenzen an: Für alle

a > 0

und

n \in ℤ

ist nämlich

a^{n} = e^{\ln (a^{n})} = e^{n \cdot \ln a}

Diese Darstellung eröffnet nun die Möglichkeit, Potenzen mit beliebigen reellen Exponenten einzuführen.

Definition: Für $a, x \in ℝ$ , $a > 0$ , setzen wir

a^{x} ≔ e^{x \cdot \ln a}

[8.9.1]

Wie bisher nennen wir a die Basis und x den Exponenten der Potenz $a^{x}$ . Als Funktionswert der e-Funktion ist jede Potenz von a positiv: $a^{x} > 0$ .

Ferner beachte man, dass wir nach [8.8.25] auch die Schreibweise $a^{x} = \exp (n \cdot \ln a)$ verwenden dürfen.

Der neue Potenzbegriff ist nur für positive Basen erklärt. Um sicher zu gehen, dass er hier tatsächlich den alten fortsetzt, müssen zwei Punkte geklärt werden:

Stimmen für $x \in ℚ$ die neuen Werte mit den alten überein?
Gelten die Potenzgesetze auch weiterhin?

Beide Fragen beantworten wir positiv.

Bemerkung: Sei $a > 0$ . Dann gilt für alle $x \in ℚ$ :

a^{x} = \exp (x \cdot \ln a)

[8.9.2]

Beweis: Ist etwa $x = \frac{n}{m}$ , $m > 0$ , so hat man mit [8.8.2] und [8.7.6;10] in der alten Bedeutung für $a^{x}$ :

a^{x} = a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^{n}} = \exp (\ln \sqrt[m]{a^{n}}) = \exp (\frac{n}{m} \cdot \ln a) = \exp (x \cdot \ln a)

Auch beim Nachweis der Potenzgesetze greifen wir auf die Eigenschaften [8.8.2;3] zurück. Zusätzlich setzen wir die Rechenregeln für den Logarithmus [8.7.8;9] und für die e-Funktion [8.8.15;16] ein.

Bemerkung (Potenzgesetze): Sei $a, b > 0$ . Dann gilt für alle $x, y \in ℝ$ :

1. $a^{x} \cdot b^{x} = {(a \cdot b)}^{x}$	$\frac{a^{x}}{b^{x}} = (\frac{a}{b})^{x}$	$\frac{1}{b^{x}} = (\frac{1}{b})^{x}$	[8.9.3]
2. $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$	$\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$	$\frac{1}{a^{y}} = a^{- y}$	[8.9.4]
3. $\ln (a^{x}) = x \cdot \ln a$	${(\exp a)}^{x} = \exp (x \cdot a)$		[8.9.5]
4. $(a^{x})^{y} = a^{x \cdot y}$			[8.9.6]

Beweis:

1. ► $a^{x} \cdot b^{x} = e^{x \cdot \ln a} \cdot e^{x \cdot \ln b} = e^{x \cdot \ln a + x \cdot \ln b} = e^{x \cdot (\ln a + \ln b)} = e^{x \cdot \ln (a \cdot b)} = {(a \cdot b)}^{x}$

$\frac{a^{x}}{b^{x}} = \frac{e^{x \cdot \ln a}}{e^{x \cdot \ln b}} = e^{x \cdot \ln a - x \cdot \ln b} = e^{x \cdot (\ln a - \ln b)} = e^{x \cdot \ln \frac{a}{b}} = {(\frac{a}{b})}^{x}$

Die dritte Gleichung ist ein Spezialfall der zweiten.

2. ► $a^{x} \cdot a^{y} = e^{x \cdot \ln a} \cdot e^{y \cdot \ln a} = e^{x \cdot \ln a + y \cdot \ln a} = e^{(x + y) \cdot \ln a} = a^{x + y}$

$\frac{a^{x}}{a^{y}} = \frac{e^{x \cdot \ln a}}{e^{y \cdot \ln a}} = e^{x \cdot \ln a - y \cdot \ln a} = e^{(x - y) \cdot \ln a} = a^{x - y}$

Auch hier ergibt sich die dritte Gleichung aus der zweiten.

3. ► $\ln (a^{x}) = \ln (e^{x \cdot \ln a}) = x \cdot \ln a$

${(\exp a)}^{x} = e^{x \cdot \ln (\exp a)} = e^{x \cdot a}$

4. ► $(a^{x})^{y} = e^{y \cdot \ln (a^{x})} \underset{3 .}{=} e^{y \cdot x \cdot \ln a} = a^{x \cdot y}$

In einer ersten Anwendung des erweiterten Potenzbegriffs betrachten wir Exponentialgleichungen, d.h. Gleichungen der Form

a^{x} = b

Für $a \neq 1$ sind sie stets eindeutig lösbar, und zwar durch Logarithmieren.

Bemerkung und Definition: Für alle $a, b > 0$ , $a \neq 1$ ist

a^{x} = b \Leftrightarrow x = \frac{\ln b}{\ln a}

[8.9.7]

Die Zahl $\log_{a} b ≔ \frac{\ln b}{\ln a}$ nennen wir den Logarithmus von b zur Basis a. $\log_{a} b$ ist offensichtlich die eindeutig bestimmte Zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten:

a^{\log_{a} b} = b

Beweis: Mit [8.9.5] hat man: $a^{x} = b \Leftrightarrow \ln a^{x} = \ln b \Leftrightarrow x \cdot \ln a = \ln b \Leftrightarrow x = \frac{\ln b}{\ln a}$ .

Mit den Logarithmen zu einer festen Basis a können wir nun die allgemeinen Logarithmusfunktionen einführen.

Definition: Für jedes $a > 0$ , $a \neq 1$ , heißt die Funktion

\log_{a} : ℝ^{> 0} \to ℝ

[8.9.8]

die (allgemeine) Logarithmusfunktion zur Basis a. Statt $\log_{a} (x)$ schreibt man meist $\log_{a} x$ . Offensichtlich ist jede Logarithmusfunktion ein Vielfaches von ln: $\log_{a} = \frac{1}{\ln a} \cdot \ln$ .

Da $\ln e = 1$ hat man insbesondere $\log_{e} = \ln$ , die Logarithmusfunktion zur Basis e ist also der natürliche Logarithmus. Zwei weitere Logarithmusfunktionen zeichnen wir durch einen eigenen Namen aus:

den dekadischen Logarithmus $\lg ≔ \log_{10}$
den dualen Logarithmus $ld ≔ \log_{2}$

Als Vielfache von ln haben alle Logarithmen ähnliche Eigenschaften wie ln. So gelten etwa die Rechenregeln [8.7.6-10] sinngemäß auch für $\log_{a}$ . Ferner ist $\log_{a}$ integrierbar und beliebig oft differenzierbar, der Graph geht durch (senkrechtes) Strecken/Stauchen aus dem ln-Graphen hervor.

Mit der Erweiterung des Potenzbegriffs können weitere Funktionentypen verallgemeinert werden. Wir betrachten zunächst die allgemeinen Potenzfunktionen.

Definition: Für jedes reelle a heißt die Funktion

X^{a} ≔ e^{a \cdot \ln} : ℝ^{> 0} \to ℝ

[8.9.9]

die (allgemeine) Potenzfunktion zum Exponenten a. Man hat offenbar $X^{a} (x) = e^{a \cdot \ln x} = x^{a}$ .

Alle Potenzfunktionen sind differenzierbar und integrierbar. Ableitungen und Stammfunktionen werden dabei "wie üblich" gebildet:

Bemerkung: Jede Potenzfunktion $X^{a}$ ist

1. differenzierbar und $(X^{a})^{'} = a X^{a - 1}$	[8.9.10]
2. beliebig oft differenzierbar und $(X^{a})^{(n)} = \prod_{i = 0}^{n - 1} (a - i) \cdot X^{a - n}$ für alle $n > 0$	[8.9.11]
3. integrierbar und für $a \neq - 1$ ist $\frac{1}{a + 1} X^{a + 1}$ eine Stammfunktion zu $X^{a}$	[8.9.12]

Beweis:

1. ► Die Differenzierbarkeit folgt aus der Kettenregel [7.7.8], die auch die Ableitungsformel liefert:

(X^{a})^{'} = (e^{X} \circ a \cdot \ln)^{'} = ((e^{X})^{'} \circ a \cdot \ln) \cdot a \cdot \ln^{'} = (e^{X} \circ a \cdot \ln) \cdot a \cdot X^{- 1} = X^{a} \cdot a \cdot X^{- 1} = a X^{a - 1}

2. ► Es ist ein Induktionsbeweis erforderlich, wobei der Induktionsanfang mit 1. bereits gemacht ist. Sei also $X^{a}$ bereits n-mal differenzierbar und die angegebene Ableitungsformel gültig. Dann ist auch die n-te Ableitung $(X^{a})^{(n)} = \prod_{i = 0}^{n - 1} (a - i) \cdot X^{a - n}$ als Vielfaches einer Potenzfunktion differenzierbar mit

{(X^{a})}^{(n + 1)} = \prod_{i = 0}^{n - 1} (a - i) \cdot (X^{a - n})^{'} = \prod_{i = 0}^{n - 1} (a - i) \cdot (a - n) \cdot X^{a - n - 1} = \prod_{i = 0}^{n} (a - i) \cdot X^{a - (n + 1)}

3. ► Der Fall $a = - 1$ ist bekannt. Für $a \neq - 1$ errechnet sich nach 1. die Ableitung der differenzierbaren Funktion $\frac{1}{a + 1} X^{a + 1}$ zu $X^{a}$ .

Die allgemeinen Exponentialfunktionen sind ebenfalls aus dem erweiterten Potenzbegriff zu gewinnen.

Definition: Für jedes $a > 0$ heißt die Funktion

a^{X} ≔ e^{X \cdot \ln a} : ℝ \to ℝ^{> 0}

[8.9.13]

die (allgemeine) Eponentialfunktion zur Basis a. Dabei ist $a^{X} (x) = e^{x \cdot \ln a} = a^{x}$ .

Zwei Exponentialfunktionen kennen wir schon länger:

Die Exponentialfunktion zur Basis 1 ist die konstante Funktion 1, denn mit $\ln 1 = 0$ ist

$1^{X} = e^{X \cdot \ln 1} = e^{0} = 1$
Die Exponentialfunktion zur Eulerschen Zahl e ist die natürliche Exponentialfunktion $e^{X} = \exp$ , denn mit $\ln e = 1$ ist

$e^{X} = \exp \circ (X \cdot \ln e) = \exp \circ X = \exp$

Diese Identität begründet die Potenzschreibweise für die e-Funktion nun inhaltlich: die e-Funktion ist eine spezielle Exponentialfunktion, und zwar die zur Basis e. Die in 8.8 eingeführte Schreibweise ist also nicht nur symbolisch zu verstehen, sondern spiegelt einen Sachverhalt wider.

Die Funktionswerte der Exponentialfunktionen sind Potenzen. Die Potenzgesetze [8.9.4-6] führen daher direkt zu den entsprechenden Funktionalgleichungen für Exponentialfunktionen, so etwa zu einem Spezialfall von [8.9.4]:

a^{X} (x + 1) = a^{X} (x) \cdot a^{X} (1) = a \cdot a^{X} (x)

Ein Zuwachs um eine Einheit im Argument x liefert also das a-fache des Funktionswerts.

Die innere Funktion in der Zerlegung $a^{X} = e^{X} \circ X \cdot \ln a$ ist ein Vielfaches von X, daher gehen die Graphen der Exponentialfunktionen durch (waagerechtes) Strecken/Stauchen aus dem $e^{X}$ -Graphen hervor:

Alle Exponentialfunktionen sind differenzierbar und integrierbar. Ableitungen und Stammfunktionen sind dabei leicht zu ermitteln.

Bemerkung: Jede Exponentialfunktion $a^{X}$ ist

1. differenzierbar und $(a^{X})^{'} = \ln a \cdot a^{X}$	[8.9.14]
2. beliebig oft differenzierbar und $(a^{X})^{(n)} = {(\ln a)}^{n} \cdot a^{X}$ für alle $n > 0$	[8.9.15]
2. integrierbar und für $a \neq 1$ ist $\frac{1}{\ln a} a^{X}$ eine Stammfunktion zu $a^{X}$	[8.9.16]

Beweis:

1. ► Differenzierbarkeit und Ableitungsformel folgen auch hier aus der Kettenregel [7.7.8]:

(a^{X})^{'} = (e^{X} \circ X \cdot \ln a)^{'} = ((e^{X})^{'} \circ X \cdot \ln a) \cdot (X \cdot \ln a)^{'} = (e^{X} \circ X \cdot \ln a) \cdot \ln a = \ln a \cdot a^{X}

2. ► Für den hier zu führenden Induktionsbeweis ist der Anfang in 1. bereits gemacht. Beim Induktionsschluss ist nur zu beachten, dass die n-te Ableitung von $a^{X}$ ein Vielfaches von $a^{X}$ , also sofort wieder differenzierbar ist. Bei der Ableitung von $(a^{X})^{(n)}$ tritt daher der Faktor $\ln a$ noch ein weiteres Mal auf, so dass die Ableitungsformel auch für $(a^{X})^{(n + 1)}$ gilt.

3. ► Der Fall $1^{X} = 1$ ist trivial. Für $a \neq 1$ bestätigt man mit 1. die Behauptung durch Ableiten der Funktion $\frac{1}{\ln a} a^{X}$ .

$e^{X}$ und ln sind zueinander invers. Für die allgemeinen Exponential- und Logarithmusfunktionen gilt dies ebenfalls.

Bemerkung: Für jedes $a > 0$ , $a \neq 1$ sind $a^{X}$ und $\log_{a}$ zueinander invers:

\begin{array}{l} a^{X} \circ \log_{a} = X | ℝ^{> 0} \\ \log_{a} \circ a^{X} = X \end{array}

[8.9.17]

Beweis: Wir zeigen, dass sich die beiden Funktionen in ihrer Wirkung gegenseitig aufheben:

Nach [8.9.7] gilt für alle $x > 0$ : $a^{\log_{a} x} = x$ .
Mit [8.9.8] und [8.9.5] ist $\log_{a} (a^{x}) = \frac{1}{\ln a} \cdot \ln (a^{x}) = \frac{1}{\ln a} \cdot x \cdot \ln a = x$ für alle x.

8.8. 8.10.