mathproject >> 8.6. Weglängen

Definition: Ist

M \subset ℝ^{k}

und

[a, b]

ein geschlossenes Intervall in

ℝ

, so nennen wir jede Funktion der Form

w = (w_{1}, \dots w_{k}) : [a, b] \to M

[8.6.1]

einen Weg (in M). $w (a)$ ist der Anfangspunkt und $w (b)$ der Endpunkt des Wegs. w heißt geschlossen, falls $w (a) = w (b)$ . Den Bildbereich ${w (t) | t \in [a, b]}$ nennen wir die zu w gehörige Kurve.

Sind alle Koordinatenfunktionen $w_{1}, \dots, w_{k}$

stetig, so ist w ein stetiger Weg (auch: $C^{0}$ -Weg).
differenzierbar, so sprechen wir von einem differenzierbaren Weg ( $D^{1}$ -Weg) und nennen dann die Funktion

w^{'} ≔ ({w_{1}}^{'}, \dots, {w_{k}}^{'}) : [a, b] \to ℝ^{k}

[8.6.2]

die Ableitung von w. w heißt regulär falls $w^{'} (t) \neq 0$ für alle $t \in [a, b]$ .

Analog führt man mehrfach differenzierbare Wege und höhere Ableitungen ein.

stetig differenzierbar, so nennen wir w einen glatten Weg ( $C^{1}$ -Weg).
integrierbar, so ist w ein integrierbarer Weg und für $r, s \in [a, b]$ lesen wir den Vektor

\int_{r}^{s} w ≔ (\int_{r}^{s} w_{1}, \dots, \int_{r}^{s} w_{k})

[8.6.3]

als das Integral über w von r bis s.

Beispiel:

Für $a, b > 0$ ist die Ellipse

$t \mapsto (a \cdot \cos t, b \cdot \sin t), t \in [0,2 π]$

ein geschlossener $C^{\infty}$ -Weg in $ℝ^{2}$ . Die Skizze zeigt die zugehörige Kurve für $a = 2$ und $b = 1$ .
Der $C^{\infty}$ -Weg

$t \mapsto (t^{2} - 1, t^{3} - t), t \in [- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

ist nicht geschlossen. Da $1 \mapsto (0,0)$ und $- 1 \mapsto (0,0)$ durchläuft die Kurve den Punkt $(0,0)$ zweimal.
Lissajous-Kurven gehören zu $C^{\infty}$ -Wegen der Form

$t \mapsto (a \cdot \sin (n t + c), b \cdot \sin t), t \in [0,2 π]$

Die Skizze zeigt die Lissajous-Kurve zu $a = b = c = 1$ und $n = 3$ . Nicht alle Lissajou-Kurven sind geschlossen.

Die Spirale
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Spirale
$t \mapsto (t \cdot \cos t, t \cdot \sin t, t), t \in [0,20]$

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und die geschlossene Kurve von Viviani
i

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Kurve von Viviani
$t \mapsto (1 + \cos t, \sin t,2 \cdot \sin (\frac{t}{2})), t \in [0,4 π]$

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sind Beispiele für $C^{\infty}$ -Kurven im $ℝ^{3}$ .

Im Famous Curves Index findet man eine Vielzahl weiterer Kurven.

Für differenzierbare Wege gelten elementare Ableitungsregeln sowie eine Version des Mittelwertsatzes.

Bemerkung:

Sind $v, w : [a, b] \to ℝ^{k}$ zwei differenzierbare Wege, so ist jede Linearkombination $α v + β w : [a, b] \to ℝ^{k}$ ebenfalls ein differenzierbarer Weg mit

(α v + β w)^{'} = α v^{'} + β w^{'}

[8.6.4]

Ist $w : [a, b] \to ℝ^{k}$ ein differenzierbarer Weg, so gibt es zu je zwei verschiedenen Punkten $r, s \in [a, b]$ Zahlen ${\tilde{t}}_{1}, \dots, {\tilde{t}}_{k}$ zwischen
i

also ${\tilde{t}}_{i} \in] r, s [$ , falls $r < s$

und ${\tilde{t}}_{i} \in] s, r [$ , falls $s < r$ .

r und s, so dass

w (s) = w (r) + (s - r) \cdot ({w^{'}}_{1} ({\tilde{t}}_{1}), \dots, {w^{'}}_{k} ({\tilde{t}}_{k}))

[8.6.5]

Ist $w : [a, b] \to ℝ^{k}$ ein differenzierbarer Weg, so ist $w^{'}$ integrierbar und

\int_{r}^{s} w^{'} = w (s) - w (r)

[8.6.6]

für alle $r, s \in [a, b]$ .

Beweis:

1. ► Alle Koordinatenfunktionen $α v_{i} + β w_{i}$ sind nach Summen- und Faktorregel differenzierbar mit

(α v_{i} + β w_{i})^{'} = α {v_{i}}^{'} + β {w_{i}}^{'}

2. ► Wir betrachten wieder eine beliebige Koordinatenfunktion $w_{i}$ und finden über den Mittelwertsatz [7.9.5] ein ${\tilde{t}}_{i}$ zwischen r und s, so dass

w_{i} (s) = w_{i} (r) + (s - r) \cdot {w_{i}}^{'} ({\tilde{t}}_{i}) = w_{i} (r) + (s - r) \cdot {w^{'}}_{i} ({\tilde{t}}_{i})

3. ► Jede Koordinatenfunktion $w_{i}$ ist trivialerweise eine Stammfunktion zu ${w_{i}}^{'} = {w^{'}}_{i}$ .

Integrale über integrierbare Wege erfüllen dieselben Rechenregeln und haben die gleichen Eigenschaften wie gewöhnliche Integrale auch.

Bemerkung: Sind $v, w : [a, b] \to ℝ^{k}$ zwei integrierbare Wege, so gilt für $r, s, t \in [a, b]$ :

$\int_{r}^{r} w = 0, \int_{r}^{s} w = - \int_{s}^{r} w, \int_{r}^{s} w = \int_{r}^{t} w + \int_{t}^{s} w$

[8.6.7]

$\int_{r}^{s} α v + β w = α \int_{r}^{s} v + β \int_{r}^{s} w$

[8.6.8]

Sind r und s verschieden, so gibt es Zahlen ${\tilde{t}}_{1}, \dots, {\tilde{t}}_{k}$ zwischen r und s so dass

\int_{r}^{s} w = (s - r) \cdot (w_{1} ({\tilde{t}}_{1}), \dots, w_{k} ({\tilde{t}}_{k}))

[8.6.9]

Beweis: In allen Fällen ist die Gleichheit koordinatenweise zu begründen. Dies gelingt in

1. ► mit [8.2.2] - [8.2.4].

2. ► mit [8.2.5]/[8.2.7].

3. ► mit [8.2.8].

Für stetige Wege läßt sich auch die Abschätzung [8.2.11] übertragen. Die Formulierung wie auch der Beweis benutzen dabei das Skalarprodukt
i

Mit dem Skalarprodukt

$x \cdot y ≔ \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot y_{i}, x, y \in ℝ^{k}$

ist insbesondere die Länge $| x | = \sqrt{x \cdot x} = \sqrt{\sum_{i = 1}^{k} x_{i}^{2}}$ eines Vektors $x \in ℝ^{k}$ gegeben. Im Beweis benutzen wir die leicht einzusehende Identität

$| x |^{2} = x \cdot x$ ,

sowie die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

$| x \cdot y | \leq | x | \cdot | y |$

Ihren Nachweis, sowie weitere Eigenschaften des Skalarprodukts, wie etwa die Dreiecksungleichung

$| x + y | \leq | x | + | y |$

findet man im Abschnitt 9.13.

des $ℝ^{k}$ .

Bemerkung: Für jeden stetigen Weg $w : [a, b] \to ℝ^{k}$ ist

| \int_{a}^{b} w | \leq \int_{a}^{b} | w |

[8.6.10]

Beweis: Man beachte zunächst, dass die stetigen Wege w und $| w |$ auch integrierbar sind. Mit der Abkürzung

c ≔ \int_{a}^{b} w

, also

c_{i} = \int_{a}^{b} w_{i}

wird die folgende Rechnung übersichtlicher. Ist $| c | = 0$ , ist nichts zu zeigen, denn die rechte Seite von [8.6.10] ist stets positiv. Sei also $| c | \neq 0$ . Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung und der Monotonie des Integrals [8.2.10] erhalten wir jetzt die folgende Abschätzung

\begin{array}{l} | c | \cdot | \int_{a}^{b} w | = | c |^{2} = c \cdot c = \sum_{i = 1}^{k} c_{i} \cdot \int_{a}^{b} w_{i} & = \int_{a}^{b} \sum_{i = 1}^{k} c_{i} \cdot w_{i} \\ = \int_{a}^{b} c \cdot w \leq \int_{a}^{b} | c \cdot w | \leq \int_{a}^{b} | c | \cdot | w | = | c | \int_{a}^{b} | w | \end{array}

Wir wollen nun die Länge eines stetigen Weges w ermitteln. Bei der Flächenmessung haben wie die anstehende Fläche durch elementare Flächen (Vereinigung von Rechteckstreifen) mit bekanntem Maß approximiert. Hier nun werden wir analog w durch elementare Wege, nämlich die Vereinigung von Strecken approximieren.

Zunächst treffen wir einige technische Vorbereitungen: Unter einer Zerlegung Z des Intervalls $[a, b]$ verstehen wir eine endliche Sequenz $(t_{0}, \dots, t_{n})$ in $[a, b]$ , $n \geq 1$ , so dass

a = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{n - 1} < t_{n} = b

Die Zahl $\max {t_{1} - t_{0}, \dots, t_{n} - t_{n - 1}}$ nennen wir die Feinheit von Z.

Ist w ein vorgegebener Weg, so zeichnet eine Zerlegung Z $n + 1$ Punkte $w (t_{0}), \dots, w (t_{n})$ in w aus, deren fortlaufende Verbindungstrecken sich zu einem Polygonzug $p_{Z}$ zusammensetzen:

p_{Z} (t) = w (t_{i - 1}) + \frac{t - t_{i - 1}}{t_{i} - t_{i - 1}} (w (t_{i}) - w (t_{i - 1}))

, falls

t \in [t_{i - 1}, t_{i}]

[8.6.11]

Alle Polygonzüge $p_{Z}$ sind Wege mit Anfangspunkt $w (a) = w (t_{0})$ und Endpunkt $w (b) = w (t_{n})$ . Sie approximieren einen stetigen Weg w im folgenden Sinn:

Bemerkung: Ist $w : [a, b] \to ℝ^{k}$ ein stetiger Weg, so gibt es zu jedem $ε > 0$ ein $δ > 0$ , so dass für jede Zerlegung Z mit einer Feinheit kleiner δ gilt

| w (t) - p_{Z} (t) | < ε

für alle

t \in [a, b]

[8.6.12]

Beweis: Sei $ε > 0$ gegeben. Da jede der stetigen Koordinatenfunktion $w_{j}$ auf dem abgeschlossenen Intervall $[a, b]$ auch gleichmäßig stetig ist (siehe [6.5.5]), gibt es zu $\frac{ε}{2 \sqrt{k}} > 0$ ein $δ_{j} > 0$ , so dass

s, t \in [a, b] \land | s - t | < δ_{j} \Rightarrow | w_{j} (s) - w_{j} (t) |^{2} < \frac{ε^{2}}{4 k}

Mit $δ ≔ \min {δ_{1}, \dots, δ_{k}}$ hat man daher für $s, t \in [a, b]$ mit $| s - t | < δ$

| w (s) - w (t) | = \sqrt{\sum_{j = 1}^{k} | w_{j} (s) - w_{j} (t) |^{2}} < \sqrt{k \frac{ε^{2}}{4 k}} = \frac{ε}{2}

[1]

Sei jetzt $Z = (t_{0}, \dots, t_{n})$ eine beliebige Zerlegung mit einer Feinheit kleiner als δ. Für ein $t \in [a, b]$ , etwa $t \in [t_{i - 1}, t_{i}]$ , ist dann

| t - t_{i - 1} | < δ

und

| t_{i} - t_{i - 1} | < δ

Über die Darstellung [8.6.11] und die Abschätzung [1] erhalten wir mit der Dreiecksungleichung nun

\begin{array}{l} | w (t) - p_{Z} (t) | & \leq | w (t) - w (t_{i - 1}) | + | w (t_{i - 1}) - p_{Z} (t) | \\ = | w (t) - w (t_{i - 1}) | + \underset{\leq 1}{\underset{︸}{| \frac{t - t_{i - 1}}{t_{i} - t_{i - 1}} |}} \cdot | w (t_{i}) - w (t_{i - 1}) | \\ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε \end{array}

Die Länge $L (p_{Z})$ eines solchen Polygonzugs ermitteln wir elementar, indem wir die Längen der Verbindungstrecken aufsummieren. Wir setzen also

L (p_{Z}) = \sum_{i = 1}^{n} | w (t_{i}) - w (t_{i - 1}) |

[8.6.13]

Da die Verbindungsstrecke der kürzeste Weg von $w (t_{i - 1})$ nach $w (t_{i})$ ist, erwarten wir, dass die Länge von w für jede Zerlegung Z oberhalb von $L (p_{Z})$ liegt. Wegen [8.6.12] ist daher das Supremum
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Es sei an das Vollständigkeitsaxiom erinnert:
Jede nicht-leere, beschränkte Teilmenge $M \subset ℝ$ besitzt in $ℝ$ eine kleinste obere Schranke, ihr Supremum (in Zeichen $\sup M$ ).
Eine obere Schranke s von M ist genau dann gleich $\sup M$ , wenn für jedes $ε > 0$ die Zahl $s - ε$ keine obere Schranke von M ist.

der Menge ${L (p_{Z}) | Z ist Zerlegung von [a, b]}$ ein guter Kandidat für die zu definierende Weglänge.

Die nebenstehende Abbildung zeigt einen Auschnitt eines Kartesischen Blatts von René Descartes, nämlich den Weg $t \mapsto (\frac{12 t}{1 + t^{3}}, \frac{12 t^{2}}{1 + t^{3}}), t \in [- 0.4,10]$ . Für ein dreidimensionales Beispiel kommen wir auf die Spirale
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Spirale
$t \mapsto (t \cdot \cos t, t \cdot \sin t, t), t \in [0,20]$

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aus dem Eingangsbeispiel zurück.

Definition: Ein stetiger Weg $w : [a, b] \to ℝ^{k}$ heißt rektifizierbar oder von endlicher Länge, falls die Menge ${L (p_{Z}) | Z ist Zerlegung von [a, b]}$ beschränkt ist. In diesem Fall nennen wir die Zahl

L (w) ≔ \sup {L (p_{Z}) | Z ist Zerlegung von [a, b]}

[8.6.14]

die Länge von w.

Interessanterweise sind glatte Wege stets rektifizierbar, wobei sich alle Längen $L (p_{Z})$ durch das Integral über die Länge der Ableitung $w^{'}$ abschätzen lassen. Allerdings gibt es auch nicht glatte Wege, die eine endliche Länge besitzen, wie etwa das Beispiel $w : t \mapsto (t, | t |), t \in [- 1, - 1]$
i

Ist $Z = (t_{0}, \dots, t_{n})$ eine Zerlegung von $[- 1,1]$ , so gibt es ein k, so dass $t_{k} \leq 0 < t_{k + 1}$ . Man weiß daher:

${(| t_{i} | - | t_{i - 1} |)}^{2} = {\begin{array}{l} {(t_{i} - t_{i - 1})}^{2}, falls i > k + 1 \\ {(- t_{i} + t_{i - 1})}^{2}, falls i \leq k \end{array}$

also ${(| t_{i} | - | t_{i - 1} |)}^{2} = {(t_{i} - t_{i - 1})}^{2}$ , und damit

$| w (t_{i}) - w (t_{i - 1}) | = \sqrt{{(t_{i} - t_{i - 1})}^{2} + {(| t_{i} | - | t_{i - 1} |)}^{2}} = \sqrt{2} (t_{i} - t_{i - 1})$

für alle $i \neq k + 1$ . Mit

$\begin{array}{l} | w (t_{k + 1}) - w (0) | = \sqrt{t_{k + 1}^{2} + | t_{k + 1} |^{2}} = \sqrt{2} | t_{k + 1} | = \sqrt{2} t_{k + 1} \\ | w (0) - w (t_{k}) | = \sqrt{t_{k}^{2} + | t_{k} |^{2}} = \sqrt{2} | t_{k} | = - \sqrt{2} t_{k} \end{array}$

können wir $L (p_{Z})$ nun folgendermaßen abschätzen:

$\begin{array}{l} L (p_{Z}) & = \sum_{i = 1}^{n} | w (t_{i}) - w (t_{i - 1}) | \\ \leq \sum_{i = 1}^{k} | w (t_{i}) - w (t_{i - 1}) | \\ + | w (t_{k + 1}) - w (0) | + | w (0) - w (t_{k}) | \\ + \sum_{i = k + 2}^{n} | w (t_{i}) - w (t_{i - 1}) | \\ = \sqrt{2} (\sum_{i = 1}^{k} t_{i} - t_{i - 1} + t_{k + 1} - t_{k} + \sum_{i = k + 2}^{n} t_{i} - t_{i - 1}) \\ = \sqrt{2} (t_{n} - t_{0}) = 2 \sqrt{2} \end{array}$

zeigt.

Bemerkung: Ist $w : [a, b] \to ℝ^{k}$ ein glatter Weg, so gilt für jede Zerlegung Z von $[a, b]$ :

L (p_{Z}) \leq \int_{a}^{b} | w^{'} |

[8.6.15]

w ist damit rektifizierbar.

Beweis: Mit der Darstellung [8.6.6], der Abschätzung [8.6.10] und der Zerlegungseigenschaft [8.6.7] erhalten wir für eine beliebige Zerlegung $Z = (t_{0}, \dots, t_{n})$ :

L (p_{Z}) = \sum_{i = 1}^{n} | w (t_{i}) - w (t_{i - 1}) | = \sum_{i = 1}^{n} | \int_{t_{i - 1}}^{t_{i}} w^{'} | \leq \sum_{i = 1}^{n} \int_{t_{i - 1}}^{t_{i}} | w^{'} | = \int_{a}^{b} | w^{'} |

[8.6.15] läßt sich deutlich verschärfen: Das Integral über $| w^{'} |$ ist nicht nur irgendeine obere Schranke der Menge ${L (p_{Z}) | Z ist Zerlegung von [a, b]}$ , sondern ihre kleinste und damit ihr Supremum.

Bemerkung: Für jeden glatten Weg $w : [a, b] \to ℝ^{k}$ gilt:

L (w) = \int_{a}^{b} | w^{'} |

[8.6.16]

Beweis: Nach [8.6.15] ist $\int_{a}^{b} | w^{'} |$ eine obere Schranke von ${L (p_{Z}) | Z ist Zerlegung von [a, b]}$ . Es reicht daher, zu jedem $ε > 0$ eine Zerlegung Z zu finden, so dass

\int_{a}^{b} | w^{'} | - ε \leq L (p_{Z})

Da die Koordinatenfunktionen ${w_{j}}^{'}$ stetig differenzierbar sind, sind die Funktionen ${({w_{j}}^{'})}^{2}$ stetig, auf dem geschlossenen Intervall $[a, b]$ also auch gleichmäßig stetig. Zu $\bar{ε} ≔ \frac{ε^{2}}{k {(b - a)}^{2}} > 0$ gibt es daher ein $δ_{j} > 0$ so dass für alle $s, t \in [a, b]$ gilt

\begin{array}{l} | t - s | < δ_{j} & \Rightarrow {({w_{j}}^{'} (t))}^{2} - {({w_{j}}^{'} (s))}^{2} \leq | {({w_{j}}^{'} (t))}^{2} - {({w_{j}}^{'} (s))}^{2} | < \bar{ε} \\ \Rightarrow {({w_{j}}^{'} (t))}^{2} < {({w_{j}}^{'} (s))}^{2} + \bar{ε} \end{array}

[2]

Man wähle jetzt eine Zerlegung $Z = (t_{0}, \dots, t_{n})$ , deren Feinheit kleiner als $δ ≔ \min {δ_{1}, \dots, δ_{k}}$ ist. Dann gibt es nach [8.2.8] bzw. [8.6.5] Zahlen

${\tilde{y}}_{i} \in] t_{i - 1}, t_{i} [$ so dass $\int_{a}^{b} | w^{'} | = \sum_{i = 1}^{n} \int_{t_{i - 1}}^{t_{i}} | w^{'} | = \sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - t_{i - 1}) \cdot | w^{'} ({\tilde{y}}_{i}) |$ [3]
${\tilde{x}}_{1, i}, \dots, {\tilde{x}}_{k, i} \in] t_{i - 1}, t_{i} [$ so dass

$\begin{array}{l} L (p_{Z}) = \sum_{i = 1}^{n} | w (t_{i}) - w (t_{i - 1}) | & = \sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - t_{i - 1}) \cdot | {w_{1}}^{'} ({\tilde{x}}_{1, i}), \dots, {w_{k}}^{'} ({\tilde{x}}_{k, i}) | \\ = \sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - t_{i - 1}) \sqrt{\sum_{j = 1}^{k} {({w_{j}}^{'} ({\tilde{x}}_{j, i}))}^{2}} \end{array}$ [4]

Da ${\tilde{y}}_{i}, {\tilde{x}}_{1, i}, \dots, {\tilde{x}}_{k, i} \in] t_{i - 1}, t_{i} [$ hat man für alle i

| {\tilde{y}}_{i} - {\tilde{x}}_{j, i} | < δ \leq δ_{j}

Mit [2] weiß man daher ${({w_{j}}^{'} ({\tilde{y}}_{i}))}^{2} < {({w_{j}}^{'} ({\tilde{x}}_{j, i}))}^{2} + \bar{ε}$ , so dass wir gemäß [3] und [4] das Integral über $| w^{'} |$ folgendermaßen abschätzen können (beachte dabei: $\sqrt{x + y} \leq \sqrt{x} + \sqrt{y}$ für positive x, y):

\begin{array}{l} \int_{a}^{b} | w^{'} | = \sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - t_{i - 1}) \sqrt{\sum_{j = 1}^{k} {({w_{j}}^{'} ({\tilde{y}}_{i}))}^{2}} & < \sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - t_{i - 1}) \sqrt{\sum_{j = 1}^{k} ({({w_{j}}^{'} ({\tilde{x}}_{j, i}))}^{2} + \bar{ε})} \\ \leq \sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - t_{i - 1}) \sqrt{\sum_{j = 1}^{k} {({w_{j}}^{'} ({\tilde{x}}_{j, i}))}^{2}} + \sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - t_{i - 1}) \sqrt{k \bar{ε}} \\ = L (p_{Z}) + (b - a) \sqrt{k \bar{ε}} \\ = L (p_{Z}) + ε \end{array}

Damit ist die Abschätzung $\int_{a}^{b} | w^{'} | - ε \leq L (p_{Z})$ gesichert. $\int_{a}^{b} | w^{'} |$ ist also die kleinste obere Schranke von ${L (p_{Z}) | Z ist Zerlegung von [a, b]}$ , ihr Supremum also.

Beschreibt ein Weg die Bewegung eines Punktes, so läßt sich nach [8.6.16] der dabei zurück gelegte Weg offenbar durch das Integral über den Betrag $| w^{'} |$ seiner Geschwindigkeit berechnen.

Obwohl [8.6.16] die (meist schwierige) Ermittlung eines Supremums durch die Berechnung eines Integrals ersetzt, läßt sich eine Weglänge selten leicht bestimmen. Der Integrand nämlich ist immer die Länge eines Vektors, also die Wurzel aus einer Summe positiver Funktionen. Die folgenden Beispiele machen dies deutlich.

Beispiel:

Der glatte Weg

$w : t \mapsto a + t (b - a) = (a_{1} + t (b_{1} - a_{1}), \dots, a_{k} + t (b_{k} - a_{k})), t \in [0,1]$

bildet die Verbindungsstrecke der Punkte $a = (a_{1}, \dots a_{k})$ und $b = (b_{1}, \dots b_{k})$ des $ℝ^{k}$ . Mit der konstanten Ableitung $w^{'} = (b_{1} - a_{1}, \dots, b_{k} - a_{k}) = b - a$ berechnen wir ihre Länge zu

$\begin{array}{l} L (w) & = \int_{0}^{1} | b - a | \\ = | b - a | \int_{0}^{1} 1 \\ = | b - a | \end{array}$

Die Länge stimmt also, wie erwartet, mit dem Abstand der Punkte a und b überein.

Wir berechnen für ein beliebiges $a > 0$ die Länge der durch

w : t \mapsto (t \cdot \cos t, t \cdot \sin t, t), t \in [0, a]

gegebenen Spirale aus dem Eingangsbeispiel:

Mit $w^{'} = (\cos - X \cdot \sin, \sin + X \cdot \cos,1)$ , also (mit dem Satz von Pythagoras: $\sin^{2} + \cos^{2} = 1$ )

\begin{array}{l} | w^{'} | & = \sqrt{{(\cos - X \cdot \sin)}^{2} + {(\sin + X \cdot \cos)}^{2} + 1^{2}} \\ = \sqrt{\cos^{2} - 2 X \cdot \cos \cdot \sin + X^{2} \cdot \sin^{2} + \sin^{2} + 2 X \cdot \sin \cdot \cos + X^{2} \cdot \cos^{2} + 1} \\ = \sqrt{X^{2} + 2} \end{array}

Zur Berechnung des Integrals $L (w) = \int_{0}^{a} \sqrt{X^{2} + 2}$ benötigen wir die hyperbolischen Funktionen sinh und cosh

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Der hyperbolische Sinus (sinus hyperbolicus) und der hyperbolische Kosinus (cosinus hyperbolicus) werden über die Exponentialfunktion exp (siehe [5.9.18]) definiert. Für $x \in ℝ$ setzen wir

$\begin{array}{l} \sinh x ≔ \frac{\exp (x) - \exp (- x)}{2} \\ \cosh x ≔ \frac{\exp (x) + \exp (- x)}{2} \end{array}$ [0]

Beide Funktionen sind beliebig oft differenzierbar und mit $\exp^{'} = \exp$ (siehe [7.5.8]) bestätigt man sofort die Ableitungen

$\sinh^{'} = \cosh$ und $\cosh^{'} = \sinh$ .

Auch die folgenden Eigenschaften ergeben sich direkt aus der Definition [0]:

$\cosh + \sinh = \exp$

$\cosh^{2} - \sinh^{2} = 1$

$\cosh (x + y) = \cosh x \cdot \cosh y + \sinh x \cdot \sinh y$

$\sinh (x + y) = \sinh x \cdot \cosh y + \cosh x \cdot \sinh y$

$\cosh (- x) = \cosh x$

$\sinh (- x) = - \sinh x$

sinh ist sowohl injektiv (gemäß [7.9.6], denn $\sinh^{'} (x) = \cosh x > 0$ für alle x), wie auch surjektiv (eine Folgerung aus dem Zwischenwertsatz [6.6.2], denn sinh ist stetig und $\lim_{x \to \pm \infty} \sinh (x) = \pm \infty$ ), insgesamt also bijektiv. Die Umkehrfunktion
$arcsinh ≔ \sinh^{- 1} : ℝ \to ℝ$

ist der arcussinus hyberbolicus. Auf dieselbe Weise begründet man auch die Existenz des arcuscosinus hyperbolicus, der Umkehrfunktion von $\cosh | ℝ^{\geq 0}$ :

$arccosh ≔ (\cosh | ℝ^{\geq 0})^{- 1} : ℝ^{\geq 1} \to ℝ^{\geq 0}$

. Da $\frac{1}{2} (\sinh \cdot \cosh + X)$ eine Stammfunktion zu $\cosh^{2}$ ist
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Wir benutzen den Hauptsatz [8.2.13] und berechnen mittels partieller Integration (siehe [8.3.1]) für ein beliebiges x das Integral

$\begin{array}{l} \int_{0}^{x} \cosh^{2} & = \sinh \cdot \cosh |_{0}^{x} - \int_{0}^{x} \sinh^{2} \\ = \sinh (x) \cdot \cosh (x) - \int_{0}^{x} \cosh^{2} + \int_{0}^{x} 1 \\ \Rightarrow & 2 \int_{0}^{x} \cosh^{2} & = \sinh (x) \cdot \cosh (x) + x \end{array}$

Also ist $\frac{1}{2} (\sinh \cdot \cosh + X)$ eine Stammfunktion zu $\cosh^{2}$ .

, können wir mit der Substitution $g = \sqrt{2} \sinh$ (siehe [8.3.5]) folgendermaßen fortfahren:

\begin{array}{l} L (w) & = \int_{arcsinh 0}^{arcsinh \frac{a}{\sqrt{2}}} \sqrt{2 \sinh^{2} + 2} \cdot \sqrt{2} \cosh \\ = 2 \int_{0}^{arcsinh \frac{a}{\sqrt{2}}} \sqrt{\sinh^{2} + 1} \cdot \cosh \\ = 2 \int_{0}^{arcsinh \frac{a}{\sqrt{2}}} \sqrt{\cosh^{2}} \cdot \cosh \\ = 2 \int_{0}^{arcsinh \frac{a}{\sqrt{2}}} \cosh^{2} \\ = \sinh \cdot \cosh + X |_{0}^{arcsinh \frac{a}{\sqrt{2}}} \\ = \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \cosh (arcsinh \frac{a}{\sqrt{2}}) + arcsinh \frac{a}{\sqrt{2}} \\ = \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{2}} + arcsinh \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a}{2} \sqrt{2 + a^{2}} + arcsinh \frac{a}{\sqrt{2}} \end{array}

Erstaunlicherweise gelingt es nicht, für die Kurvenlänge einer Ellipse

$w : t \mapsto (a \cdot \cos t, b \cdot \sin t), t \in [0,2 π]$

einen geschlossenen Ausdruck anzugeben. Das Integral

$\begin{array}{l} L (w) = \int_{0}^{2 π} | w^{'} | & = \int_{0}^{2 π} | (- a \cdot \sin, b \cdot \cos) | \\ = \int_{0}^{2 π} \sqrt{a^{2} \cdot \sin^{2} + b^{2} \cdot \cos^{2}} \\ = a \int_{0}^{2 π} \sqrt{1 - \cos^{2} + \frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \cos^{2}} \\ = a \int_{0}^{2 π} \sqrt{1 - c \cdot \cos^{2}}, wobei c ≔ \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}} \end{array}$

ist ein sog. elliptisches Integral und läßt sich nur für die trivialen Fälle $c = 1$ und $c = 0$ ausrechnen. Im letzten Fall allerdings, wenn also $a = b$ ist, stellt die Ellipse einen Kreis mit Radius $r ≔ a = b$ dar, dessen Umfang wir somit zu

$L (w) = r \int_{0}^{2 π} 1 = 2 π r$

berechnen können.

Aufgaben:

Für $w : t \mapsto (\frac{3}{2} t, \sqrt{t^{3}}), t \in [0,1]$ ist $| w^{'} | = ? | (\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \sqrt{X}) | = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4} X}$ und damit

$L (w) = ? \frac{3}{2} \int_{0}^{1} \sqrt{1 + X} \underset{\begin{array}{c} Substitution mit \\ g = X - 1 \end{array}}{=} \frac{3}{2} \int_{1}^{2} \sqrt{X} = \sqrt{X^{3}} |_{1}^{2} = \sqrt{8} - 1$
Für das Parabelsegment $w : t \mapsto (t, t^{2}), t \in [0, 1]$ ist $| w^{'} | = ? | (1, 2 X) | = \sqrt{1 + 4 X^{2}}$ . Also ist

$L (w) = ? \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4 X^{2}} \underset{\begin{array}{c} Substitution mit \\ g = \frac{1}{2} \sinh \end{array}}{=} \frac{1}{2} \int_{0}^{arcsinh (2)} \underset{= \cosh}{\underset{︸}{\sqrt{1 + \sinh^{2}}}} \cdot \cosh = \frac{1}{2} \int_{0}^{arcsinh (2)} \cosh^{2}$

und da $? - wie zuvor gezeigt - \frac{1}{2} (\sinh \cdot \cosh + X)$ eine Stammfunktion zu $\cosh^{2}$ ist, folgt schließlich

$L (w) = ? \frac{1}{4} (\sinh \cdot \sqrt{1 + \sinh^{2}} + X) |_{0}^{arcsinh (2)} = \frac{1}{4} (2 \cdot \sqrt{5} + arcsinh (2))$

Die Länge eines glatten Wegs $w : t \mapsto w (t), t \in [a, b]$ läßt sich besonders leicht ausrechnen, wenn der Ableitungsvektor eine konstante Länge hat. Im Fall $| w^{'} | = 1$ ist sogar

L (w | [a, x]) = \int_{a}^{x} 1 = x - a

für alle $x \in [a, b]$ . Der Wegabschnitt ist also genauso lang wie der zugehörige Intervallabschnitt. Wir sagen dann, w sei nach der Bogenlänge parametrisiert. Reguläre Wege können stets nach der Bogenlänge parametrisiert werden.

Bemerkung: Ist $w : [a, b] \to ℝ^{k}$ ein regulärer Weg, so gibt es eine differenzierbare Bijektion $ϕ : [0, L (w)] \to [a, b]$ mit folgenden Eigenschaften:

$w \circ ϕ$ ist nach der Bogenlänge parametrisiert.
$w \circ ϕ$ und w erzeugen diesselbe Kurve.
$L (w \circ ϕ) = L (w)$ .

[8.6.17]

Beweis: Gemäß Hauptsatz [8.2.13] ist die Funktion $s : [a, b] \to [0, L (w)]$ , gegeben durch

s (x) ≔ \int_{a}^{x} | w^{'} |

eine Stammfunktion zu $| w^{'} |$ . Da w regulär ist, weiß man: $s (x) > 0$ für alle $x \in] a, b]$ . Nach [7.9.6] ist s daher injektiv und $ϕ ≔ s^{- 1}$ in jedem $x \in s ([a, b])$ differenzierbar mit (siehe [7.5.4])

ϕ^{'} (x) = \frac{1}{s^{'} (ϕ (x))} = \frac{1}{| w^{'} | (ϕ (x))} = \frac{1}{| w^{'} |} \circ ϕ (x) \neq 0

Schließlich garantiert der Zwischenwertsatz [6.6.2], dass $s ([a, b]) = [0, L (w)]$ , denn $s (a) = 0$ und $s (b) = L (w)$ . Nach Kettenregel [7.7.8] ist daher $w \circ ϕ : [0, L (w)] \to ℝ^{k}$ ein regulärer Weg mit

\begin{array}{l} (w \circ ϕ)^{'} & = (({w_{1}}^{'} \circ ϕ) \cdot ϕ^{'}, \dots, ({w_{k}}^{'} \circ ϕ) \cdot ϕ^{'}) \\ = (({w_{1}}^{'} \circ ϕ) \cdot \frac{1}{| w^{'} |} \circ ϕ, \dots, ({w_{k}}^{'} \circ ϕ) \cdot \frac{1}{| w^{'} |} \circ ϕ) \\ = \frac{w^{'}}{| w^{'} |} \circ ϕ \end{array}

Jetzt zeigen wir:

1. ► $| (w \circ ϕ)^{'} | = | \frac{w^{'}}{| w^{'} |} \circ ϕ | = \frac{| w^{'} |}{| w^{'} |} \circ ϕ = 1$

2. ► Da $ϕ$ bijektiv ist, hat man:

{w \circ ϕ (t) | t \in [0, L (w)]} = {w (ϕ (t)) | t \in [0, L (w)]} = {w (t) | t \in [a, b]}

3. ► $L (w \circ ϕ) = \int_{0}^{L (w)} 1 = L (w)$

8.5. 8.7.