9.13. Skalarprodukte

Wir wenden uns nun verstärkt geometrischen Aspekten zu: In diesem Abschnitt entwickeln wir Konzepte zur Längen- und zur Winkelmessung, im nächsten Abschnitt wird das Prinzip des zu einander Senkrechtstehens, der Orthogonalität, untersucht.

Zur Einführung geometrischer Begriffe benötigt man allerdings zusätzliche Strukturen. Als eine einheitliche Grundlage erweisen sich dabei die Skalarprodukte. Wir stellen sie zunächst vor.

Beachte:

• ${\displaystyle \ast }$ ist also genau dann ein Skalarprodukt, wenn ${\displaystyle \ast }$
   
  • kommutativ ist (Eigenschaft 1),
  • in der ersten Koordinate linear ist (Eigenschaften 2 und 3),
  • positiv definit ist (Eigenschaft 4).
     
• Zur Einsparung von Klammern vereinbaren wir, dass das Skalarprodukt stärker binden soll als Addition und Subtraktion, aber schwächer als die skalare Multiplikation. 2. und 3. läßt sich damit kürzer formulieren:
   
  ${\displaystyle \begin{array}{c}(v_1+v_2)\ast w=v_1\ast w+v_2\ast w\\ \alpha v\ast w=\alpha (v\ast w)\end{array}}$
  
   
• Wenn die Rechenoperationen und das Skalarprodukt festliegen, schreiben wir meist V statt ${\displaystyle (V,+,\cdot ,\ast )}$.
   
• Ist U Untervektorraum eines euklidischen Vektorraums ${\displaystyle (V,+,\cdot ,\ast )}$, so ist ${\displaystyle \ast }$ auch ein Skalarprodukt auf U; ${\displaystyle (U,+,\cdot ,\ast )}$ ist also ebenfalls ein euklischer Raum.

Ein Skalarprodukt ist in beiden Koordinaten linear. Es ist daher breits eindeutig bestimmt, wenn man seine Werte auf den Vektoren einer vorgegebenen Basis kennt. Umgekehrt läßt sich dieses Verhalten nutzen, um  jeden Vektorraum mit einem Skalarprodukt zu versehen, ihn also (auf mindestens eine Weise) zu einem euklidischen Vektorraum zu machen.

Wir geben nun einige konkrete Beispiele für ein Skalarprodukt an.

Beachte:

•   ${\displaystyle ·}$ aus a. ist das zur Standardbasis ${\displaystyle \{{\mathit{e}}_1,\dots ,{\mathit{e}}_n\}}$ gehörige Standardskalarprodukt:
   
  ${\displaystyle ·={\ast }_{\{e_1,\dots ,e_n\}\mathrm{,1}}}$.
   
  Man hat also insbesondere: ${\displaystyle {\mathit{e}}_i·{\mathit{e}}_j={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{l}1\text{falls}i=j\hfill \\ 0\text{falls}i\ne j\hfill \end{array}}$ .
   
  Wir werden im Folgenden den ${\displaystyle {ℝ}^n}$ stets mit diesem Skalarprodukt versehen. Allerdings zeigt das Beispiel b. dass ${\displaystyle {ℝ}^n}$ auch andere Skalarprodukte tragen kann.
   
• In ${\displaystyle {ℝ}^1=ℝ}$ ist das Standardskalarprodukt die gewöhnliche Multiplikation.
   
• ∗ in c. ist das klassische Skalarprodukt auf ${\displaystyle C^0([a,b])}$.
   
• Der Versuch das Skalarprodukt in d. "nur" auf ${\displaystyle {\mathbb{F}}_{konv}(\mathbb{N})}$ und nicht auf dem Quotientenraum einzuführen, also
   
  ${\displaystyle (a_n)\ast (b_n)=\lim a_n\cdot b_n}$
  
  zu setzen, scheitert (nur) an der positiven Definitheit: Zwar ist ${\displaystyle \left(\frac{1}{n}\right)\ne \mathbf{0}}$, aber ${\displaystyle \left(\frac{1}{n}\right)\ast \left(\frac{1}{n}\right)=\lim \frac{1}{n^2}=\mathbf{0}}$.
   

Das nachfolgende allgemeine Beispiel ermöglicht es, Skalarprodukte zu "importieren", also gewissermaßen eine euklidische Struktur von einem Vektorraum auf einen anderen zu übertragen.

 
Aus den definierenden Eingenschaften des Skalarprodukts ergben sich weitere:

 
Euklidische Vektorräume ermöglichen die Einführung geometrischer Strukturen. In diesem Abschnitt betrachten wir zwei grundlegende Konzepte: die Längen- und die Winkelmessung.

Wir beginnen mit der Längenmessung und orientieren uns dabei an den geometrischen Verhältnissen des ${\displaystyle {ℝ}^n}$. 

Stellt man sich unter der Länge eines Vektors x die Länge  des durch x gegebenen Pfeils vor, so kann man, etwa in ${\displaystyle {ℝ}^2}$,  diese Länge über den Satz des Pythagoras errechnen: ${\displaystyle \sqrt{x_1^2+x_2^2}=\sqrt{\mathit{x}·\mathit{x}}}$.

  

Definition:  Es sei V ein euklidischer Vektorraum. Für ${\displaystyle v\in V}$ setzen wir   ${\displaystyle \left|v\right|≔\sqrt{v\ast v}}$. Die Zahl ${\displaystyle \left|v\right|}$ heißt die Länge (bzw. die Norm) des Vektors v. Ist ${\displaystyle \left|v\right|=1}$, so nennen wir v einen Einheitsvektor.

Beachte:

• Da das Skalarprodukt ∗ positiv definit ist, hat man stets: ${\displaystyle v\ast v\ge 0}$. Also ist die Länge ${\displaystyle \left|v\right|}$ wohldefiniert.
   
• Statt ${\displaystyle v\ast v}$ schreiben wir abkürzend auch ${\displaystyle v^2}$, also auch ${\displaystyle \left|v\right|=\sqrt{v^2}}$. Damit hat man offensichtlich:
   
  ${\displaystyle v^2={\left|v\right|}^2}$.
  
   
• Benutzt man den Ausdruck Norm von v, so ersetzt man das Symbol ${\displaystyle \left|v\right|}$ oft durch ${\displaystyle \Vert v\Vert }$.
   
• In ${\displaystyle {ℝ}^n}$ ist ${\displaystyle \left|\mathit{x}\right|=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}}$, so dass wir gemäß Pythagoras die Länge des Vektors x als den Nullabstand des Punktes x im Koordinatensystem interpretieren dürfen.
   
• In ${\displaystyle {ℝ}^1}$ ist die Länge des Vektors x = (x) gleich dem Betrag der Zahl x: ${\displaystyle \left|\mathit{x}\right|=\sqrt{x^2}=\left|x\right|}$.
  

 

Bemerkung:  Es sei V ein euklidischer Vektorraum. Dann gilt für alle ${\displaystyle v,w\in V}$ und ${\displaystyle \alpha \in ℝ}$: ${\displaystyle \left|v\right|\ge 0}$.   ${\displaystyle \left|v\right|=0\iff v=\mathbf{0}}$.   ${\displaystyle \left|\alpha v\right|=\left|\alpha \right|\cdot \left|v\right|}$.   ${\displaystyle \left|v\right|=\left|-v\right|}$.   ${\displaystyle \left|v\ast w\right|\le \left|v\right|\cdot \left|w\right|}$.("Cauchy-Schwarzsche Ungleichung")   ${\displaystyle \left|v\ast w\right|=\left|v\right|\cdot \left|w\right|\iff v,w\text{linear abhängig}}$.   ${\displaystyle \left|v+w\right|\le \left|v\right|+\left|w\right|}$.("Dreiecksungleichung")   ${\displaystyle \left|v-w\right|\ge \left|v\right|-\left|w\right|}$.("Zweite Dreiecksungleichung")   ${\displaystyle {\left|v+w\right|}^2+{\left|v-w\right|}^2=2{\left|v\right|}^2+2{\left|w\right|}^2}$.("Parallelogrammgesetz")   Beweis: Zu 1.:  Dies ist eine Eigenschaft der Wurzel: ${\displaystyle \left|v\right|=\sqrt{v^2}\ge 0}$. Zu 2.:  Für diese "${\displaystyle \Rightarrow }$" Richtung benötigen wir ebenfalls eine Wurzeleigenschaft: Ist nämlich ${\displaystyle v\ne \mathbf{0}}$, so ist ${\displaystyle v\ast v>0}$, also hat man auch ${\displaystyle \left|v\right|=\sqrt{v^2}>0}$. Die Richtung "${\displaystyle \Leftarrow }$ " ergibt sich sofort aus ${\displaystyle \mathbf{0}\ast \mathbf{0}=0}$. Zu 3.:  Es reicht, die Gleichheit der Quadrate festzustellen:   ${\displaystyle {\left|\alpha v\right|}^2=\alpha v\ast \alpha v=\alpha \alpha (v\ast v)={\alpha }^2{v}^2={\left|\alpha \right|}^2{\left|v\right|}^2={(\left|\alpha \right|\cdot \left|v\right|)}^2}$. Zu 4.:  Die Behauptung folgt mit ${\displaystyle \alpha =-1}$ direkt aus 3. Zu 5.:  Für ${\displaystyle w=\mathbf{0}}$ ist nichts zu zeigen; sei also ${\displaystyle w\ne \mathbf{0}}$. Der Beweis ist jetzt ein wenig trickreich. Neben einigen Eigenschaften des Skalarprodukts benötigen wir am Ende das Monotonieverhalten der Wurzelfunktion. Wir setzen nun ${\displaystyle c=\frac{v\ast w}{{\left|w\right|}^2}}$ und zeigen der Reihe nach: ${\displaystyle \begin{array}{ll}\hfill 0& \le (v-cw)\ast (v-cw)\hfill \\ \hfill & =v\ast v-2c(v\ast w)+c^2(w\ast w)\hfill \\ \hfill & ={\left|v\right|}^2-2c(v\ast w)+c^2{\left|w\right|}^2\hfill \\ \hfill & ={\left|v\right|}^2-2\frac{{(v\ast w)}^2}{{\left|w\right|}^2}+\frac{{(v\ast w)}^2}{{\left|w\right|}^2}\hfill \\ \hfill \Rightarrow 0& \le {\left|v\right|}^2\cdot {\left|w\right|}^2-{(v\ast w)}^2\hfill \\ \hfill \Rightarrow {(v\ast w)}^2& \le {\left|v\right|}^2\cdot {\left|w\right|}^2\hfill \\ \hfill \Rightarrow v\ast w& \le \left|v\right|\cdot \left|w\right|.\hfill \end{array}}$ Zu 6.:  "${\displaystyle \Rightarrow }$": Für ${\displaystyle w=\mathbf{0}}$ ist wieder nichts zu zeigen; sei also ${\displaystyle w\ne \mathbf{0}}$. Wie im Beweis zu 4. errechnen wir:   ${\displaystyle \begin{array}{ll}{(v-cw)}^2\hfill & ={\left|v\right|}^2-2\frac{{(v\ast w)}^2}{{\left|w\right|}^2}+\frac{{(v\ast w)}^2}{{\left|w\right|}^2}\hfill \\ \hfill & ={\left|v\right|}^2-2\frac{{\left|v\right|}^2\cdot {\left|w\right|}^2}{{\left|w\right|}^2}+\frac{{\left|v\right|}^2\cdot {\left|w\right|}^2}{{\left|w\right|}^2}\hfill \\ \hfill & ={\left|v\right|}^2-2{\left|v\right|}^2+{\left|v\right|}^2\hfill \\ \hfill & =0.\hfill \end{array}}$ Damit aber ist ${\displaystyle \left|v-cw\right|=\mathbf{0}}$, also ${\displaystyle v=cw}$. Die Sequenz  v,w  ist daher linear abhängig. "${\displaystyle \Leftarrow }$": Sei nun  v,w  linear abhängig, etwa ${\displaystyle v=\alpha w}$. Dann rechnet man der Reihe nach:   ${\displaystyle \left|v\ast w\right|=\left|\alpha w\ast w\right|=\left|\alpha \right|\left|w\ast w\right|=\left|\alpha \right|{\left|w\right|}^2=\left|\alpha \right|\left|w\right|\cdot \left|w\right|=\left|\alpha w\right|\cdot \left|w\right|=\left|v\right|\cdot \left|w\right|}$. Zu 7.:  Wir betrachten wieder nur die Quadrate:   ${\displaystyle \begin{array}{ll}\hfill & {\left|v+w\right|}^2\hfill \\ =\hfill & {(v+w)}^2\hfill \\ =\hfill & v^2+2(v\ast w)+w^2\hfill \\ \le \hfill & v^2+2\left|v\ast w\right|+w^2\hfill \\ \le \hfill & v^2+2\left|v\right|\cdot \left|w\right|+w^2\text{(Cauchy-Schwarz)}\hfill \\ \text{=}\hfill & {\left|v\right|}^2+2\left|v\right|\cdot \left|w\right|+{\left|w\right|}^2\hfill \\ =\hfill & {(\left|v\right|+\left|w\right|)}^2.\hfill \end{array}}$ Zu 8.:  Die Behauptung folgt sofort aus ${\displaystyle \left|v\right|=\left|v-w+w\right|\le \left|v-w\right|+\left|w\right|}$. Zu 9.:  ${\displaystyle {\left|v+w\right|}^2+{\left|v-w\right|}^2={(v+w)}^2+{(v-w)}^2=v^2+2(v\ast w)+w^2+v^2-2(v\ast w)+w^2=2{\left|v\right|}^2+2{\left|w\right|}^2}$.

 

Bemerkung und Bezeichnung:  Es sei V ein euklidischer Vektorraum, ${\displaystyle v\in V}$. Ist ${\displaystyle v\ne \mathbf{0}}$, so setzt man   ${\displaystyle v°=\frac{v}{\left|v\right|}}$. ${\displaystyle v°}$ heißt der zu v gehörige Einheitsvektor. Dabei gilt: ${\displaystyle \left|v°\right|=1}$.   ${\displaystyle <v°>=<v>}$. Beweis: Zu 1.:   ${\displaystyle \left|v°\right|=|\frac{1}{\left|v\right|}v|=\frac{1}{\left|v\right|}\cdot \left|v\right|=1}$. Zu 2.:   Die Gleichheit folgt mit ${\displaystyle v=\left|v\right|v°}$ aus einer elementaren Gesetzmäßigkeit für Erzeugnisse.

Direkt verbunden mit dem Längenbegriff ist das Konzept der Abstandsmessung. Die folgende Definition orientiert sich an den Verhältnissen des ${\displaystyle {ℝ}^n}$. Hier repräsentiert der Vektor ${\displaystyle \mathit{x}-\mathit{y}}$ die Nebendiagonale des von x und  y aufgespannten Prallelogramms; seine Länge ${\displaystyle \left|\mathit{x}-\mathit{y}\right|}$ mißt also die Entfernung zwischen den Punkten x und  y.
 

Definition:  Es sei V ein euklidischer Vektorraum. Für ${\displaystyle v,w\in V}$ heißt die Zahl   ${\displaystyle \left|v-w\right|}$ Abstand von v zu w.

 

Bemerkung:  In einem euklidischen Vektorraum V  gilt für alle ${\displaystyle u,v,w\in V}$: ${\displaystyle \left|v-w\right|=\left|w-v\right|}$.   ${\displaystyle \left|v-\mathbf{0}\right|=\left|v\right|}$.   ${\displaystyle \left|v-w\right|=0\iff v=w}$.   ${\displaystyle \left|v-w\right|\le \left|v-u\right|+\left|u-w\right|}$. Beweis: Alle Punkte werden auf die entsprechenden Eigenschaften der Länge zurückgeführt. 2. ist offensichtlich richtig. Zu 1.:  ${\displaystyle \left|v-w\right|=\left|-(w-v)\right|=\left|w-v\right|}$. Zu 3.:  ${\displaystyle \left|v-w\right|=0\iff v-w=\mathbf{0}\iff v=w}$. Zu 4.:  ${\displaystyle \left|v-w\right|=\left|v-u+u-w\right|\le \left|v-u\right|+\left|u-w\right|}$.

 
Die Existenz eines Abstandsbegriffs eröffnet für euklidische Vektorräume eine völlig neue Perspektive: Grundprinzipien der reellen Analysis lassen sich in geeigneter Weise auf euklidische Vektorräume übertragen! Dieses Konzept soll am Beispiel der Konvergenz vorgestellt werden.
 

Definition:  Es sei V ein euklidischer Vektorraum ${\displaystyle \left(v_n\right)}$ eine Folge in V und ${\displaystyle v\in V}$.  Wir sagen ${\displaystyle \left(v_n\right)}$ konvergiert gegen v (in Zeichen: ${\displaystyle v_n\to v}$), falls es zu jedem ${\displaystyle \epsilon >0}$ ein ${\displaystyle n_0\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ gibt, so dass   ${\displaystyle \left|v_n-v\right|<\epsilon \text{für alle}n\ge n_0}$. Falls ${\displaystyle v_n\to v}$, so nennen wir ${\displaystyle \left(v_n\right)}$ konvergent und v einen Grenzwert (oder Limes) von ${\displaystyle \left(v_n\right)}$.   ${\displaystyle \left(v_n\right)}$ heißt Cauchy-Folge, falls es zu jedem ${\displaystyle \epsilon >0}$ ein ${\displaystyle n_0\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ gibt, so dass   ${\displaystyle \left|v_n-v_m\right|<\epsilon \text{für alle}n,m\ge n_0}$.   V heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge konvergiert.

 

Bemerkung:  V sei ein euklidischer Vektorraum. Dann gilt: Jede Folge ${\displaystyle \left(v_n\right)}$ in V hat höchstens einen Grenzwert.   Jede konvegente Folge ist eine Cauchy-Folge.   ${\displaystyle v_n\to v\wedge w_n\to w\Rightarrow \alpha v_n+\beta w_n\to \alpha v+\beta w}$.   Beweis: Zu 1.:  Angenommen v und v' sind zwei verschiedene Grenzwerte von ${\displaystyle \left(v_n\right)}$. Dann gibt es zu jedem ${\displaystyle \epsilon >0}$ ein n, so dass ${\displaystyle \begin{array}{ll}\hfill & \left|v_n-v\right|<\frac{\epsilon }{2}\wedge \left|v_n-v\text{'}\right|<\frac{\epsilon }{2}\hfill \\ \Rightarrow \hfill & \left|v-v\text{'}\right|=\left|v-v_n+v_n-v\text{'}\right|\le \left|v-v_n\right|+\left|v_n-v\text{'}\right|<\epsilon \hfill \\ \Rightarrow \hfill & \left|v-v\text{'}\right|=0\hfill \\ \Rightarrow \hfill & v-v\text{'}=\mathbf{0}\text{im Widerspruch zu}v\ne v\text{'}\hfill \end{array}}$ Zu 2.:  Sei ${\displaystyle \left(v_n\right)}$ konvergent gegen v und ${\displaystyle \epsilon >0}$ vorgegeben. Dann gibt es ein ${\displaystyle n_0}$, so dass ${\displaystyle \left|v_n-v\right|<\frac{\epsilon }{2}}$ für alle ${\displaystyle n\ge n_0}$. Damit hat man für ${\displaystyle n,m\ge n_0}$:   ${\displaystyle \left|v_n-v_m\right|=\left|v_n-v+v-v_m\right|\le \left|v_n-v\right|+\left|v_m-v\right|<\epsilon }$. Zu 3.:  Ist ${\displaystyle \epsilon >0}$ vorgegeben, so gibt es ${\displaystyle n_1,n_2}$, so dass ${\displaystyle \begin{array}{l}\left|v_n-v\right|<\frac{\epsilon }{2(\left|\alpha \right|+1)}\text{für alle}n\ge n_1\hfill \\ \left|w_n-w\right|<\frac{\epsilon }{2(\left|\beta \right|+1)}\text{für alle}n\ge n_2\hfill \end{array}}$ Für alle ${\displaystyle n\ge n_0=\max \{n_1,n_2\}}$ gilt damit:   ${\displaystyle \left|\alpha v_n+\beta w_n-(\alpha v+\beta w)\right|\le \left|\alpha \right|\left|v_n-v\right|+\left|\beta \right|\left|w_n-w\right|<\frac{\left|\alpha \right|\epsilon }{2(\left|\alpha \right|+1)}+\frac{\left|\beta \right|\epsilon }{2(\beta +1)}\le \epsilon }$.

Beachte:

• In ${\displaystyle {ℝ}^m}$ ist der neue Konvergenzbegriff stark an den alten gekoppelt. Hier nämlich läßt sich die Konvergenz durch die koordinatenweise Konvergenz ersetzen:
   
  ${\displaystyle {\mathit{x}}_n\to \mathit{x}\iff x_{\mathrm{1,}n}\to x_1\wedge \dots \wedge x_{m,n}\to x_m}$.

  Denn wegen ${\displaystyle {\left|{\mathit{x}}_n-\mathit{x}\right|}^2={\left|x_{\mathrm{1,}n}-x_1\right|}^2+\dots +{\left|x_{m,n}-x_m\right|}^2}$ kann man folgendermaßen argumentieren:

  • "${\displaystyle \Rightarrow }$":  Ist ${\displaystyle {\left|{\mathit{x}}_n-\mathit{x}\right|}^2<{\epsilon }^2}$ für alle ${\displaystyle n\ge n_0}$, so gilt für diese n und für jedes ${\displaystyle k\in \{\mathrm{1,}\dots ,m\}}$:  ${\displaystyle {\left|x_{k,n}-x_k\right|}^2\le {\left|{\mathit{x}}_n-\mathit{x}\right|}^2<{\epsilon }^2}$.
     
  • "${\displaystyle \Leftarrow }$":  Ist ${\displaystyle {\left|x_{k,n}-x_k\right|}^2<\frac{{\epsilon }^2}{m}}$ für jedes ${\displaystyle k\in \{\mathrm{1,}\dots ,m\}}$ und für alle ${\displaystyle n\ge n_0}$, so gilt für diese n:  ${\displaystyle {\left|{\mathit{x}}_n-\mathit{x}\right|}^2<{\epsilon }^2}$.

Auch für das zweite geometrische Grundkonzept, die Winkelmessung, lassen wir uns durch die Verhältnisse im ${\displaystyle {ℝ}^n}$ motivieren. Betrachtet man etwa zwei Einheitsvektoren ${\displaystyle {ℝ}^2}$, so lässt sich der Kosinus des Winkel zwischen diesen Vektoren  elementargeometrisch am Einheitskreis ermitteln.

Nach der Skizze ist ${\displaystyle \alpha -\beta }$ der Winkel zwischen  x und y. Seinen Kosinus können wir mit Hilfe des Additionstheorems berechnen:   ${\displaystyle \begin{array}{ll}\cos (\alpha -\beta )\hfill & =\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta \hfill \\ \hfill & =x_1\cdot y_1+x_2\cdot y_2\hfill \\ \hfill & =\mathit{x}·\mathit{y}\hfill \end{array}}$

Diese Beziehung kann man nun leicht auf beliebige Skalarprodukte verallgemeinern:
 

Definition:  Ist V ein euklidischer Vektorraum, so heißt für ${\displaystyle v,w\in V,v,w\ne \mathbf{0}}$ die Zahl   ${\displaystyle \sphericalangle (v,w)≔{\cos }^{-1}(\frac{v\ast w}{\left|v\right|\cdot \left|w\right|})\in [\mathrm{0,}\pi ]}$ das Winkelmaß zwischen v und w.

Beachte:

• Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung garantiert ${\displaystyle |\frac{v\ast w}{\left|v\right|\cdot \left|w\right|}|\le 1}$, somit ist die Zahl ${\displaystyle \sphericalangle (v,w)}$ wohldefiniert.
   
• Durch Umstellen der Definitionsgleichung für das Winkelmaß erhält man eine alternative Darstellung für das Skalarprodukt:
   
  ${\displaystyle v\ast w=\left|v\right|\cdot \left|w\right|\cdot \cos (\sphericalangle (v,w))}$.
  
   
• Einen Winkel zwischen v und 0 definieren wir nicht.
   
• In ${\displaystyle {ℝ}^n}$ ist ${\displaystyle \sphericalangle (\mathit{x},\mathit{y})}$ das Bogenmaß des von den Vektoren x und  y gebildeten Winkels.
   

 

Bemerkung:  Es sei V ein euklidischer Vektorraum, ${\displaystyle v,w\in V,v,w\ne \mathbf{0}}$. Dann gilt für ${\displaystyle \alpha \ne 0}$: ${\displaystyle \sphericalangle (v,v)=0}$. ${\displaystyle \sphericalangle (v,w)=\sphericalangle (w,v)}$. ${\displaystyle \sphericalangle (\alpha v,w)=\sphericalangle (v,w)}$. ${\displaystyle \sphericalangle (v,w)=\sphericalangle (v°,w°)={\cos }^{-1}(v°\ast w°)}$.  Beweis: Zu 1.:  ${\displaystyle \sphericalangle (v,v)={\cos }^{-1}(\frac{v\ast v}{\left|v\right|\cdot \left|v\right|})={\cos }^{-1}(\frac{{\left|v\right|}^2}{{\left|v\right|}^2})={\cos }^{-1}(1)=0}$. Zu 2.:  ${\displaystyle \sphericalangle (v,w)={\cos }^{-1}(\frac{v\ast w}{\left|v\right|\cdot \left|w\right|})={\cos }^{-1}(\frac{w\ast v}{\left|w\right|\cdot \left|v\right|})=\sphericalangle (w,v)}$. Zu 3.:  ${\displaystyle \sphericalangle (\alpha v,w)={\cos }^{-1}(\frac{\alpha v\ast w}{\left|\alpha v\right|\cdot \left|w\right|})={\cos }^{-1}(\frac{\alpha }{\left|\alpha \right|}\frac{v\ast w}{\left|v\right|\cdot \left|w\right|})={\cos }^{-1}(\frac{\alpha }{\alpha }\frac{v\ast w}{\left|v\right|\cdot \left|w\right|})=\sphericalangle (v,w)}$. Zu 4.:  Die erste Gleichung folgt aus 3., die zweite direkt aus der Definition.

Wir ziehen nun Abbildungen zwischen euklidischen Vektorräume mit in unsere Betrachtungen ein. Diejenigen unter ihnen, die die geometrischen Zusatzeigenschaften respektieren zeichnen wir durch einen Namen aus.
 

Definition:   V und W seien zwei euklidische Vektorräume. Eine Funktion ${\displaystyle f:V\to W}$ heißt   längentreu, falls ${\displaystyle \left|f(v)\right|=\left|v\right|}$ für alle ${\displaystyle v\in V}$.  abstandstreu, falls ${\displaystyle \left|f(v)-f(w)\right|=\left|v-w\right|}$ für alle ${\displaystyle v,w\in V}$.  winkeltreu, falls ${\displaystyle f(v),f(w)\ne \mathbf{0}\wedge \sphericalangle (f(v),f(w))=\sphericalangle (v,w)}$ für alle ${\displaystyle v,w\ne \mathbf{0}}$.